2026屆山東省青島即墨區(qū)高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，.若雙曲線M的右支上存在點P，使，則雙曲線M的離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.2．如圖所示，已知是橢圓的左、右焦點，為橢圓的上頂點，在軸上，，且是的中點，為坐標(biāo)原點，若點到直線的距離為3，則橢圓的方程為（）A B.C. D.3．已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)在，上均為增函數(shù)，則的取值范圍是A. B.C. D.4．設(shè)，，若，其中是自然對數(shù)底，則（）A. B.C. D.5．已知圓與圓相交于A、B兩點，則圓上的動點P到直線AB距離的最大值為（）A. B.C. D.6．如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，，則點A到平面PBC的距離為（）A.1 B.C. D.7．下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A.4 B.3C.2 D.18．“不到長城非好漢，屈指行程二萬”，出自毛主席1935年10月所寫的一首詞《清平樂·六盤山》，反映了中華民族的一種精神氣魄，一種積極向上的奮斗精神.從數(shù)學(xué)邏輯角度分析，其中“好漢”是“到長城”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．在直三棱柱中，側(cè)面是邊長為的正方形，，，且，則異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.10．若，則（）A.1 B.2C.3 D.411．如圖，是水平放置的的直觀圖，其中，，分別與軸，軸平行，則（）A.2 B.C.4 D.12．已知橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，則的值為（）A.1 B.3C.9 D.81二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列的公差為1，且是和的等比中項，則前10項的和為___________.14．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點和，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，P為兩曲線的一個公共點，且（O為坐標(biāo)原點）．若，則的取值范圍是______15．在三棱錐中，點Р在底面ABC內(nèi)的射影為Q，若，則點Q定是的______心16．已知曲線，則曲線在點處的切線方程為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列通項公式為：，其中．記為數(shù)列的前項和（1）求，；（2）數(shù)列的通項公式為，求的前項和18．（12分）如圖，在四棱錐中中，平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.19．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，滿足，（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項和，①求；②若不等式對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)的取值范圍20．（12分）在①，②是與的等比中項，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題：已知數(shù)列{}的前n項和為，，且滿足___（1）求數(shù)列{}的通項公式；（2）求數(shù)列{}前n項和注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分21．（12分）已知拋物線：的焦點是圓與軸的一個交點.（1）求拋物線的方程;（2）若過點的直線與拋物線交于不同的兩點A、B，О為坐標(biāo)原點，證明：.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在時的最大值和最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間存在極小值，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用三角形正弦定理結(jié)合，用a，c表示出，再由點P的位置列出不等式求解即得.【詳解】依題意，點P不與雙曲線頂點重合，在中，由正弦定理得：，因，于是得，而點P在雙曲線M的右支上，即，從而有，點P在雙曲線M的右支上運動，并且異于頂點，于是有，因此，，而，整理得，即，解得，又，故有，所以雙曲線M的離心率的取值范圍為.故選：A2、D【解析】由題設(shè)可得，直線的方程為，點線距離公式表示到直線的距離，又聯(lián)立解得即可得出答案.【詳解】且，則△是等邊三角形，設(shè)，則①，∴直線方程為，即，∴到直線的距離為②，又③，聯(lián)立①②③，解得，，故橢圓方程為.故選：D.3、A【解析】由，函數(shù)在上均為增函數(shù)，恒成立，,設(shè)，則，又設(shè)，則滿足線性約束條件，畫出可行域如圖所示，由圖象可知在點取最大值為，在點取最小值.則的取值范圍是，故答案選A考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，簡單的線性規(guī)劃4、A【解析】利用函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項.【詳解】令，因為均為，故為上的增函數(shù)，由可得，故，故選：A.5、A【解析】判斷圓與的位置并求出直線AB方程，再求圓心C到直線AB距離即可計算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，，即圓與相交，直線AB方程為：，圓的圓心，半徑，點C到直線AB距離的距離，所以圓C上的動點P到直線AB距離的最大值為.故選：A6、A【解析】設(shè)點A到平面PBC的距離為，根據(jù)等體積法求解即可.【詳解】因為平面ABC，所以,因為，，所以又，，所以,所以,設(shè)點A到平面PBC的距離為，則,即,，故選：A7、D【解析】根據(jù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，可判斷①；根據(jù)冪函數(shù)的求導(dǎo)公式，可判斷②；根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，可判斷③④.【詳解】由得：，故①錯誤；對于，，故，故②正確；對于，則，故③錯誤；對于，則，故④錯誤，故選：D8、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】解：設(shè)為不到長城，推出非好漢，即，則，即好漢到長城，故“好漢”是“到長城”的充分條件，故選：A9、C【解析】分析得出，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成的角.【詳解】由題意可知，，因為，，則，，因為平面，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點、、、，，，，因此，異面直線與所成的角為.故選：C.10、C【解析】由二項分布的方差公式即可求解.【詳解】解：因為，所以.故選：C.11、D【解析】先確定是等腰直角三角形，求出，再確定原圖的形狀，進(jìn)而求出.【詳解】由題意可知是等腰直角三角形，，其原圖形是，，，，則，故選：D.12、A【解析】根據(jù)條件，利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中長半軸長a，短半軸長b，半焦距c關(guān)系列式計算即得.【詳解】由橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，則半焦距c=2，于是得，解得，所以值為1.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用等比中項及等差數(shù)列通項公式求出首項，再利用等差數(shù)列的前項和公式求出前10項的和.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，由已知條件得，即，，解得，則.故答案為：.14、【解析】設(shè)出半焦距c，用表示出橢圓的長半軸長、雙曲線的實半軸長，由可得為直角三角形，由此建立關(guān)系即可計算作答.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線的對稱性知，不妨令焦點和在x軸上，點P在y軸右側(cè)，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，，因，即，而O是線段的中點，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案：15、外【解析】由可得，故是的外心.【詳解】解：如圖，∵點在底面ABC內(nèi)的射影為,∴平面又∵平面、平面、平面，∴、、.在和中，,∴，∴同理可得：,故故是的外心.故答案為：外.16、【解析】求解導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，并計算，利用點斜式寫出切線方程.【詳解】，由題意，切線的斜率為，，所以曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；；（2）.【解析】（1）驗證可知數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，則，；（2）由（1）可求得，利用錯位相減法可求得結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列；，；【小問2詳解】由（1）得：，，，，兩式作差得：.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)平面得到，結(jié)合得到證明。（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計算各點坐標(biāo)，計算平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式得到答案?！拘?詳解】由于平面，平面，所以，由于，又，所以平面【小問2詳解】兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為，由，得，故可取所以所以二面角的平面角的余弦值19、（1）證明見解析，（2）①；②【解析】（1）由得到，即可得到，從而得證，即可求出的通項公式，從而得到的通項公式；（2）①由（1）可得，再利用錯位相減法求和即可；②利用作差法證明的單調(diào)性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；【小問1詳解】證明：由，，當(dāng)時，可得，解得，當(dāng)時，，又，兩式相減得，所以，所以，即，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；所以，所以【小問2詳解】解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以整理得②由①知，所以，即單調(diào)遞增，所以，因為不等式對任意的正整數(shù)n恒成立，所以，即，解得或，即20、（1）；（2）.【解析】(1)選①，可得數(shù)列為等差數(shù)列，求出，由，可得數(shù)列的通項公式為選②是與的等比中項，可得，由，可得，從而利用累乘法求得數(shù)列的通項公式為選③，由，可得，則數(shù)列為等差數(shù)列，從而求出通項公式(2)由(1)知，求出，利用錯位相減求和法求出小問1詳解】選①.因為，，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列則，從而當(dāng)時，，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，也符合上式．所以選②.因為是與的等比中項所以，當(dāng)時，，兩式相減得，整理得，所以，經(jīng)檢驗，也符合上式，所以選③.由題設(shè)，得，兩式相減，得，整理，得，因為．所以，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以【小問2詳解】由(1)知，，所以，所以，則兩式相減，得，所以21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）由圓與軸的交點分別為，可得拋物線的焦點為，從而即可求解；（2）設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線方程，由韋達(dá)定理及，求出即可得證.【小問1詳解】解：由題意知，圓與軸的交點分別為，則拋物線的焦點為，所以，所以拋物線方程為；【小問2詳解】證明：設(shè)直線為，聯(lián)立方程，有，所以，所以，所以.22、（1）最大值為9，最小值為；（2）.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定在的極值、端點值，比較它們的大小即可知最值.（2）討論參數(shù)a的符號，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合已知區(qū)