垂直平分線和角平分線【題型1：線段垂直平分線的性質在線段中的應用】【題型2：線段垂直平分線的性質在求角中的應用】【題型3：線段垂直平分線的性質在實際中的應用】【題型4：線段垂直平分線的性質的綜合應用】【題型5：作圖-線段垂直平分線和角平分線】【題型6：角平分線性質】

【題型7：角平分線性質在實際中應用】【題型8：角平分線的性質與全等】考點1：線段垂直平分線1.定義經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。2.線段垂直平分線的作圖1.分別以點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點；2.作直線CD，CD為所求直線考點2：線段垂直平分線性質線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.【題型1：線段垂直平分線的性質在線段中的應用】【典例1】（24-25八年級上·四川瀘州·期中）如圖，△ABC中，AB=AE，且AD⊥BC,EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，若△A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【答案】C【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質，等腰三角形的三線合一的運用，根據(jù)△ABC周長為16，AC=6，可得AB+BC=10，根據(jù)垂直平分線的性質可得EA=EC【詳解】解：∵△ABC周長為16∴AB+∵AC=6∴AB+∵EF垂直平分AC，∴EA=∵AB=∴BD=∴AB+∴DC=故選：C．【變式1-1】（24-25八年級上·吉林·期末）如圖，在△ABC中，AB，AC的垂直平分線分別交BC于點D，點M，交AB于點E，交AC于點F，若BC=4，則△ADMA．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質，根據(jù)垂直平分線的性質得到DB=DA，MA=【詳解】解：∵AB，AC的垂直平分線分別交BC于點D，點M，∴DB=DA，∵BC=4∴△ADM的周長為AD故選：A．【變式1-2】（24-25八年級上·四川涼山·階段練習）如圖，在ΔABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于點E，垂足為點D，若ED=3，則

A．6 B．4 C．3 D．1.5【答案】A【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質及直角三角形30°角所對直角邊等于斜邊一半，根據(jù)∠B=30°，ED=3【詳解】解：∵BC的垂直平分線交AB于點E，∴BE=CE，∵∠B=30°，∴CE=故選：A．【變式1-3】（24-25八年級上·遼寧大連·期末）如圖，在Rt△ABC中，已知，∠ACB=90°,∠B=15°，AB邊的垂直平分線交AB于點E，交BC于點A．13cm B．6.5cm C．30cm【答案】B【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質和含30°角的直角三角形的性質等知識，利用線段垂直平分線的性質得AD=BD，利用等腰三角形的性質得∠DAE=∠B=15°且AD【詳解】解：如圖，連接AD，∵AB邊的垂直平分線交AB于點E，交BC于點D，∴AD=∴∠DAE∵∠B=15°，∴∠DAE=∠B∴∠ADC∴AC=故選：B．【題型2：線段垂直平分線的性質在求角中的應用】【典例2】（23-24八年級上·浙江湖州·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BDC=60°，DE垂直平分ACA．55° B．65° C．75° D．80°【答案】C【分析】根據(jù)DE垂直平分AB，得出DA=DB，求出∠ABD【詳解】解：∵DE垂直平分AC，∴DA=∴∠ACD∵∠BDC=60°，∴∠A∵AB=AC，∴∠ACB故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，垂直平分線的性質，三角形的外角性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【變式2-1】（24-25八年級上·浙江嘉興·期中）如圖，在△ABC中，∠A=40°，∠B=35°分別以點B，C為圓心，以大于12BC長為半徑畫弧，交于點M，N，連接MN交AB于點DA．70° B．60° C．65° D．75°【答案】A【分析】本題考查了基本作圖、線段垂直平分線的性質、三角形的內角和定理，熟練掌握線段垂直平分線性質是關鍵．根據(jù)作圖得到MN垂直平分BC，進而得到BD=CD，得到∠DCB【詳解】解：由作圖可知：MN垂直平分BC，∴BD∴∠DCB∵∠A∴∠ACB∴∠ACD故選：A【變式2-2】（24-25八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線分別交AB，BC于點M，P，AC邊的垂直平分線分別交AC，BC于點N，Q．若∠PAQ=42°，則∠A．140° B．111° C．110° D．120°【答案】B【分析】在△ABC中，PM、QN分別是AB、BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質，可求得∠PAB=∠【詳解】解：在△ABC中，PM、QN∴PA=∴∠PAB∵∠B∴2∠∵∠PAQ∴∠B∴∠BAC故選：B．【變式2-3】（24-25八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，如圖，在△ABC中，∠B=76°，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接AD，若AB+BDA．28° B．38° C．36° D．30°【答案】B【分析】本題考查了垂直平分線的性質、等腰三角形的性質和判定，熟練掌握垂直平分線的性質、等腰三角形的性質和判定是解題的關鍵．由DE垂直平分AC以及垂直平分線的性質，可得AD=CD，再由AB+BD=BC，可得【詳解】解：∵DE垂直平分AC∴AD∴∠DAC∵AB∴AB∴AB∴AD∴∠ADB又∵∠ADB∴∠C故選：B．【題型3：線段垂直平分線的性質在實際中的應用】【典例3】（22-23八年級上·甘肅平?jīng)觥て谀┑饺切稳齻€頂點的距離都相等的點是這個三角形的（

）A．三條高的交點B．三條角平分線的交點C．三條中線的交點D．三條邊的垂直平分線的交點【答案】D【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．根據(jù)線段垂直平分線的性質即可直接得出答案．【詳解】解：到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，故選：D．【變式3-1】（24-25七年級上·山東煙臺·期中）如圖，在暑假期間，某學校對其校內的高中樓（圖中的點A），臨建樓（圖中的點B）和圖書館（圖中的點C）進行裝修，裝修工人需要放置一批裝修物資，使得裝修物資到點A，點B和點C的距離相等，則裝修物資應該放置在（

）A．AC、BC兩邊高線的交點處 B．在AC、BC兩邊中線的交點處C．在∠A、∠B兩內角平分線的交點處 D．在AC、【答案】D【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，根據(jù)線段垂直平分線的性質判斷即可．【詳解】解：如圖，作分別作AC、BC的垂直平分線交于點P，連接AP，BP，CP，則AP=CP，∴AP=故選：D．．【變式3-2】（24-25九年級上·福建廈門·期中）如圖，有A，B，C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應建在（）A．在邊AC,BCB．在邊AC,C．在邊AC,D．在∠ABC【答案】C【分析】本題考查了垂直平分線的性質的應用，根據(jù)線段的垂直平分線的性質：線段的垂直平分線上的點與線段的兩個端點的距離相等即可求解，熟練掌握垂直平分線的性質是解題的關鍵．要求到三小區(qū)的距離相等，首先思考到A小區(qū)、B小區(qū)距離相等，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理知滿足條件的點在線段AB的垂直平分線上，同理到B小區(qū)、C小區(qū)的距離相等的點在線段BC的垂直平分線上，于是到三個小區(qū)的距離相等的點應是其交點，答案可得．【詳解】解：根據(jù)線段的垂直平分線的性質：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．則超市應建在AC,故選：C．【變式3-3】（24-25八年級上·云南迪慶·期中）2024年10月23日至24日，第三屆“一帶一路”能源部長會議在山東舉行，提出了未來5年“一帶一路”能源合作伙伴成員國的七方面計劃．北京、莫斯科、雅典三地之間想建立一個貨物中轉倉，使其到三地的距離相等，如圖所示，則中轉倉的位置應選在（

）A．三邊中線的交點 B．三條角平分線的交點C．三邊垂直平分線的交點 D．三邊高線的交點【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質定理的逆定理，正確理解線段垂直平分線的性質定理逆定理是解答本題的關鍵．線段垂直平分線的性質定理逆定理：和線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上．根據(jù)線段垂直平分線的性質定理逆定理進行推理，即可得到答案．【詳解】解：到北京和莫斯科距離相等的點在北京和莫斯科兩地連線的垂直平分線上，到北京和雅典距離相等的點在北京和雅典兩地連線的垂直平分線上，則中轉倉的位置應選在△ABC故選：C．【題型4：線段垂直平分線的性質的綜合應用】【典例4】（23-24八年級上·天津東麗·期中）如圖，AD與BC相交于點O，OA=OC，∠A(1)求證OB=(2)求證：OE垂直平分BD．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，線段的垂直平分線的判定等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．（1）ASA證明△AOB（2）根據(jù)線段的垂直平分線的判定解決問題即可．【詳解】（1）證明：在△AOB與△∠A∴△AOB∴OB=（2）證明：由（1）得△AOB∴OB=∴點O在線段BD的垂直平分線上，∵BE=∴點E在線段BD的垂直平分線上，∴OE垂直平分BD．【變式4-1】（24-25八年級上·河南南陽·階段練習）如圖，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點M，N，直線EF與直線MN交于點(1)求證：點P在線段BC的垂直平分線上．(2)已知∠FAN=52°，求【答案】(1)詳見解析(2)64°【分析】（1）連接BP，AP，PC，根據(jù)線段垂直平分線的性質證明PB=（2）先根據(jù)相等垂直平分線的性質證明FA=FB，NA=NCAEP=∠AMP=90°，進而得∠ABC=∠BAF，本題主要考查了線段的垂直平分線的性質，三角形內角和定理，直角三角形的性性質，解題關鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的性質．【詳解】（1）證明：如圖，連接BP，AP，PC．∵EF垂直平分AB，MN垂直平分AC∴PA=PB∴PB∴點P在線段BC的垂直平分線上，（2）解：∵EF垂直平分AB，MN垂直平分AC∴FA=FB，NA∴∠ABC=∠BAF，∵∠ABC+∠ACB∴2∠ABC∴2∠∴∠ABC+∠∵∠PEA+∠PMA∴∠EPM+∠CAB∴∠【變式4-2】（24-25八年級上·貴州黔南·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD=CD，AB=CB，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．已知箏形ABCD的對角線AC，(1)請判斷AC與BD之間的位置關系，并說明理由；(2)若AC=6，BD=8，求四邊形【答案】(1)AC⊥(2)24【分析】本題考查線段垂直平分線的判定、四邊形的面積等知識點，掌握垂直平分線的判定方法是解題的關鍵．（1）先說明點B、點D都在線段AC的垂直平分線上即可證明結論；（2）根據(jù)S四邊形【詳解】（1）解：AC⊥∵AD∴點D在線段AC的垂直平分線上．∵AB∴點B在線段AC的垂直平分線上，∴BD是線段AC∴AC（2）解：由（1）得，AC⊥∴S四邊形ABCD【變式4-3】（23-24七年級上·陜西咸陽·期末）如圖，OE平分∠AOB，EC⊥OA于點C，DE⊥OB(1)試說明OD=(2)∠BDC與∠(3)OE是否垂直平分CD，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)∠BDC(3)OE垂直平分CD，理由見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，角平分線的定義，線段垂直平分線的判定：（1）利用AAS證明△EOD（2）設CD，OE交于H，證明△HOD（3）根據(jù)全等三角形的性質得到OD=【詳解】（1）證明：∵OE平分∠AOB∴∠EOD∵EC⊥OA，∴∠EDO又∵OE=∴△EOD∴OD=（2）解：∠BDC設CD，OE交于∵∠EOD=∠EOC，OD∴△HOD∴∠ODC∵∠ODC∴∠BDC（3）解：OE垂直平分CD，理由如下：、∵△EOD∴OD=∴點O和點E都在線段CD的垂直平分線上，∴OE垂直平分CD．考點3：角的平分線的性質（一）作已知角的平分線（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線）1、以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N。2、分別以M,N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C3、畫射線OC，射線OC即為所求。（二）角的平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E?！郟D=PE。重要拓展：1、三角形的三條角平分線相交于三角形內一點，且該點到三角形三邊的距離相等。反之，三角形內部到三邊距離相等的點是該三角形三條角平分線的交點。2、三角形的角平分線與三角形一邊交于一點，這條角平分線把三角形分成兩個小三角形，它們的面積比等于另外兩邊的長度的比?！逜D是∠BAC的角平分線；∴DF=DE；∵S△ADB=∴S△ADBS【題型5：作圖-線段垂直平分線和角平分線】【典例5】（24-25八年級上·青海西寧·期中）在兩條公路的交叉處有兩個村莊C、D，政府想在交叉處的內部建一個加油站P，并且使加油站到村莊C、【答案】見解析【分析】此題主要考查了應用設計與作圖，正確應用角平分線的性質以及線段垂直平分線的性質是解題關鍵．先作出線段CD的垂直平分線EF，再作出∠AOB的平分線OP，則EF與OP的交點P【詳解】解：如圖，點P即為所求作的點．【變式5-1】（24-25八年級上·四川宜賓·期中）如圖，在△ABC中，(1)尺規(guī)作圖：作∠ABC的平分線BD，交AC于點D(2)尺規(guī)作圖：在（1）問所得的角平分線上取一點P，使得PA=(3)求點D到AB的距離．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)8【分析】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖及性質、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質以及勾股定理等知識點，掌握相關結論是解題關鍵．（1）以點B為圓心，任意長為半徑畫弧與AB、（2）作出線段AB的垂直平分線即可；（3）作DH⊥AB，證△DHB≌△DCB，得BD【詳解】（1）解：如圖所示：BD即為所求（2）解：如圖所示：點P即為所求（3）解：作DH⊥∵BD平分∠ABC，DH⊥∴DH=∵DB=∴△DHB∴BD=∴AH=∵AD=∴DH解得：DH=∴點D到AB的距離為83【變式5-2】（24-25八年級上·江蘇連云港·期中）如圖，已知△ABC，∠B=90°(1)尺規(guī)作圖：在AC上作一點D，使點D到A、B兩點的距離相等（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)連接BD，若∠A=46°，則∠DBC【答案】(1)見解析(2)44【分析】本題考查了作圖-基本作圖，線段垂直平分線的作法及性質，等腰三角形的性質，解題的關鍵是：（1）作線段AB的垂直平分線，此直線與線段AC的交點即為D點；（2）先根據(jù)AD=BD求出∠ABD=46°，再由直角三角形的性質得出【詳解】（1）解：作線段AB的垂直平分線，此直線與線段AC相交于D點，∴DA=如圖，點D即為所求，；（2）解：由（1）知：DA=∴∠DBA∵∠ABC∴∠DBC故答案為：44．【變式5-3】（2024八年級上·黑龍江·專題練習）如圖，A，B，C為三個景點，連接各景點的有AB，BC，AC三條小路，現(xiàn)計劃在三個景點圍成的三角形區(qū)域內建立一個紀念品商店，要求商店與觀景點B和觀景點C的距離相等，且到小路AB，BC的距離也相等，請你確定紀念品商店的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作圖作線段的垂直平分和角平分線、角平分線的性質、線段垂直平分線的性質，作線段BC的垂直平分線AP，則直線AP上的點到B、C兩點的距離相等，作∠ABC的平分線BP，則BP上的點到小路AB，BC的距離也相等，所以AP、BP的交點P滿足與觀景點B和觀景點C的距離相等，且到小路AB，BC【詳解】解：如下圖所示，作線段BC的垂直平分線AP，作∠ABC的平分線BPAP、BP交于點P，點P即為所求作的紀念品商店位置．【題型6：角平分線性質】【典例6】（24-25九年級上·福建南平·期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，交BC于點D．若A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】本題考查的是直角三角形的性質和角平分線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)角平分線的性質可得DE=CD，根據(jù)直角三角形的性質得出【詳解】解：過點D作DE⊥AB于點∵AD平分∠BAC∴DE=∵∠C∴AB=2∴S△故選：C．【變式6-1】（2024八年級上·上海·專題練習）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于點D，DEA．8cm B．10cm C．12cm【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質，等腰三角形的定義，全等三角形的判定與性質，熟練掌握這些知識點是解題的關鍵．由角平分線得到DE=AD，再證明Rt【詳解】解：∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥∴DE在Rt△ABD和∵BD=∴Rt∴AB∴△DEC的周長=AD=AC=AB=BE=BC∵BC∴△DEC的周長是10故選：B．【變式6-2】（24-25七年級上·山東泰安·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡作射線AF交邊BC于點G．若BG=1，AC【答案】2【分析】此題考查了尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質．首先根據(jù)角平分線的性質得到GH=【詳解】解：如圖所示，過點G作GH⊥AC于點

由作圖痕跡知AG平分∠CAB，GH⊥AC∴GH=∵AC=4∴△ACG的面積=故答案為：2．【變式6-3】（2024八年級上·全國·專題練習）如圖，已知△ABC的周長是22，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且【答案】33【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得點O到AB、AC、BC的距離都相等，從而可得到【詳解】解：如圖，連接OA，∵OB、OC分別平分∠ABC∴點O到AB、∵△ABC的周長是22，OD⊥BC于D∴S△故答案為：33．【題型7：角平分線性質在實際中應用】【典例7】（24-25八年級上·浙江杭州·期中）如圖，點AB、BC、CA表示三條公路，現(xiàn)在要建一個加油站，要求它到三條公路的距離相等，則倉庫應建在

A．三邊中線的交點上 B．三內角平分線的交點上C．三條邊高的交點上 D．三邊垂直平分線的交點上【答案】B【分析】本題主要考查了角平分線的性質，掌握角平分線上的點到兩邊距離相等成為解題的關鍵．由它到三條公路的距離相等，即其在三條角平分線的交點上，據(jù)此即可解答．【詳解】解：A．三角形中線的交點為三角形的重心，到頂點的距離是到對邊中點的2倍，不符合題意；B．三角形角平分線的交點為三角形的內心，到各邊距離相等，符合題意；C．三角形高的交點為垂心，不符合題意；D．三角形三邊垂直平分線的交點到三角形的各頂點距離相等，不符合題意．故選B．【變式7-1】（22-23八年級上·河北保定·期中）如圖，有A,B,CA．∠A,∠B兩內角的平分線的交點處 BC．AC,AB兩邊中線的交點處 D．【答案】D【分析】本題考查了線段垂直平分線性質，根據(jù)根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，超市應建在AC,故選：D．【變式7-2】（24-25八年級上·廣東中山·期中）如圖，AB，AC，BC是三條相互交叉的公路，現(xiàn)要在三條公路圍成的三角形區(qū)域內修建一座加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，則加油站應修建在（

）A．△ABC三條角平分線的交點位置 B．△C．△ABC三邊的中垂線的交點位置 D．△【答案】A【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，熟記性質是解題的關鍵．根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質解答．【詳解】解：∵加油站在三條公路圍成的平地上且到三條公路的距離相等，∴加油站應該在△ABC故選：A【變式7-3】（24-25八年級上·廣西防城港·階段練習）如圖是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（

）A．△ABC三條中線的交點 B．△C．△ABC三條高所在直線的交點 D．△【答案】D【分析】本題主要考查的是角的平分線的性質在實際生活中的應用；由于涼亭到草坪三條邊的距離相等，所以根據(jù)角平分線上的點到邊的距離相等，可知是△ABC【詳解】∵涼亭到草坪三條邊的距離相等，∴涼亭選擇△ABC故選：D．【題型8：角平分線的性質與全等】【典例8】（24-25八年級上·內蒙古呼和浩特·期中）如圖，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，(1)求證：AD平分∠BAC(2)已知AC=18，AB=10，求【答案】(1)證明見解析(2)4【分析】（1）由DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，得∠E=∠CFD=∠AFD=90°，由∠ABD+∠DBE=180°，∠ABD+∠C（2）由AD=AD，DE=DF，根據(jù)“HL”證明Rt△本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的判定，證明△DBE【詳解】（1）證明：∵DE⊥AB，∴∠E∵∠ABD+∠DBE∴∠DBE在△DBE和△∠DBE∴△DBE∴DE=∵DE⊥AB，∴點D在∠BAC∴AD平分∠BAC（2）解：由（1）得∠E=∠AFD在Rt△ADE和AD=∴Rt△∴AE=∴AB+∵△DBE∴BE=∴10+BE∴BE=4∴BE的長為4．【變式8-1】（2024八年級上·全國·專題練習）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，∠BAD=100°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作EF⊥(1)求證：DE平分∠ADC(2)若AB=6，AD=4，【答案】(1)證明見解析(2)△ABE的面積為9【分析】本題主要考查了角平分線的判定與性質，三角形內角和定理，三角形的高．熟練掌握：角平分線上的點到角的兩邊距離相等，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上是解題的關鍵．（1）過點E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，先通過計算得出∠FAE（2）設EG=x，則EF=EH=EG=x，根據(jù)【詳解】（1）證明：如圖，過點E作EG⊥AD于G，EH⊥∵EF⊥∴∠FAE∵∠BAD∴∠CAD∴∠FAE∴CA為∠DAF又EF⊥∴EF=∵BE是∠ABC∴EF=∴EG=∴點E在∠ADC∴DE平分∠ADC（2）解：設EG=x，則∵S△∴S△∵AD=4∴12解得，x=3∵AB=6∴S△∴△ABE的面積為9【變式8-2】（24-25八年級上·江蘇南通·期中）如圖，∠B=∠C=90°，E是

(1)若AE平分∠DAB，求證：DE是∠(2)在（1）的條件下，若CD=3，AB=2，直接寫出AD的長為(3)若AE⊥DE，求證：DE是【答案】(1)見解析(2)5(3)見解析【分析】（1）如圖：過E作EF⊥AD，由角平分線的性質定理可得EF=BE，再結合已知條件可得（2）先證明Rt△EDC≌Rt△（3）如圖：延長DC,EF交于點N，再證明△AEB≌△NECSAS可得AE=【詳解】（1）證明：如圖：過E作EF⊥

∵AE平分∠DAB，∠B=90°∴EF=∵E是BC的中點，∴CE=∴CE=∵∠C=90°，∴DE是∠ADC（2）解：∵∠C=90°，∴∠EFE∵CE=EF，∴Rt△∴DF=

同理可得：AF=∴AD=故答案為：5．（3）證明：如圖：延長DC,EF交于點∵∠B∴∠B∵CE=BE，∴△AEB∴AE=∵AE⊥∴DE是線段AN的垂直平分線，∴AD=∵AE⊥∴DE是∠ADC

【點睛】本題主要考查了角平分線的判定與性質、全等三角形的判定與性質、垂直平分線的判定與性質、等腰三角形的判定與性質等知識點，靈活運用相關判定與性質定理成為解題的關鍵．【變式8-3】（24-25八年級上·遼寧撫順·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D在AC邊上，DE⊥AB于點E，點F在BC邊上，(1)求證：BD平分∠ABC(2)若AB=10，CF=2，求線段【答案】(1)見解析(2)6【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，角平分線的判定定理，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．（1）證明Rt△（2）證明Rt△BCD≌Rt△【詳解】（1）證明：∵DE∴∠BED在Rt△ADE和DF=∴Rt∴DC又∵DC⊥BC∴BD平分∠（2）解：在Rt△BCD與BD=∴Rt∴BC∵AE=CF∴AE∵AB∴BE∴BC∴BF∴BF一、單選題1．（24-25八年級上·吉林長春·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點D，作DE⊥AB于點E．若點E恰好是A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【分析】由線段垂直平分線的性質可得AD=BD，由等邊對等角可得∠A=∠ABD，由三角形角平分線的定義可得∠ABD=∠CBD，進而可得【詳解】解：∵DE⊥AB，點E∴AD∴∠A∵∠ABC的平分線交AC于點D∴∠ABD∴∠A又∵∠C∴∠A即：3∠A∴∠A故選：B．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，等邊對等角，三角形角平分線的定義，直角三角形的兩個銳角互余等知識點，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．2.（24-25八年級上·福建福州·期中）已知△ABC，下列尺規(guī)作圖能確定∠BAD=∠A．B．C．D．【答案】B【分析】本題考查作垂直平分線，角平分線，等邊對等角；觀察各選項作圖痕跡，根據(jù)垂直平分線，角平分線，垂線性質逐項判斷即可．【詳解】解：A、選項作圖痕跡可知，D為BC中點，不能確定∠BADB、選項作圖痕跡可知，D在AB的垂直平分線上，則DB=DA，∴C、選項作圖痕跡可知，AD是BC邊上的高，不能確定∠BADD、選項作圖痕跡可知，D在∠BAC的平分線上，能確定∠BAD=∠CAD故選：B．3．（24-25八年級上·浙江杭州·階段練習）如圖是用尺規(guī)作∠AOB的平分線OC的示意圖，這樣作圖的依據(jù)是(A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定定理的應用，作角平分線；根據(jù)作圖得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案．【詳解】解：連接CE、CD，在△OEC和△CE=∴△OEC∴∠AOC故選：B．4．（24-25八年級上·云南昭通·期末）如圖，在△ABC中，AB=9，AC=3，BC=7，點D在邊BC上，點D到邊AB，AC的距離相等，且AE=A．10 B．13 C．16 D．19【答案】B【分析】本題考查了角平分線的判定，全等三角形的判定與性質等知識，先根據(jù)角平分線的判定得出∠CAD=∠EAD，根據(jù)SAS證明△【詳解】解：∵點D到邊AB，AC的距離相等，∴∠CAD又AC=AE，∴△ACD∴CD=∵AB=9，AC=3，BC=7∴BE=∴△BDE的周長等于DE故選：B．5．（24-25八年級上·福建泉州·期末）如圖，△ABC中，DE是線段AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點D，E，∠B=55°，∠C=40°A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】B【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質和三角形內角和定理等知識點，能求出AD=根據(jù)線段垂直平分線的性質得出AD=CD，求出∠DAC【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線且分別交BC，AC于點D和E，∴AD=∴∠C∵∠C∴∠DAC在△ABC中，∠B=55°∴∠BAC∴∠故選：B．6．（24-25八年級上·河南洛陽·階段練習）如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AC于點E，S△ABC=10，DE=2A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質，三角形面積公式，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．作DF⊥AB于點F，根據(jù)角平分線的性質得到【詳解】解：作DF⊥AB于點∵AD平分∠BAC，DE⊥AC∴DF=∵AC=4∴S△∵S△∴S△∴12∴AB=6故選：B．二、填空題7．（24-25八年級上·四川自貢·階段練習）如圖，在△ABC中，AC=7cm，DE垂直平分AB，且BD=5cm，則【答案】2【分析】根據(jù)垂直平分線的性質，結合線段的和差計算即可．本題考查了線段的垂直平分線的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵DE垂直平分AB，∴DA=∵AC=AD+DC，∴DC=故答案為