/山東省煙臺市招遠市2025?2026學年上學期中考試九年級數(shù)學試題一、單選題1．下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中y是x的反比例函數(shù)的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．關于拋物線，下列說法正確的是（

）A．拋物線開口向下B．對稱軸是C．頂點坐標是D．拋物線向左平移1個單位，再向上平移1個單位可得拋物線3．下列說法中，正確的是（）A．在中，銳角A的兩邊都擴大3倍，則也擴大3倍B．若為銳角，，則C．D．三角形的三邊長為，則4．若點在反比例函數(shù)的圖象上，則代數(shù)式的值為（

）A．0 B． C．2 D．5．如圖，某人從山腳下的點走了到達山頂?shù)狞c，已知點到山腳的垂直高度為．若用課本上的科學計算器求坡角的度數(shù)，則下列按鍵順序正確的是（

）A．B．C．D．6．如圖，二次函數(shù)的圖象所在坐標系的原點是（

）A．點 B．點 C．點 D．點7．如圖，在矩形OABC中，，，將矩形繞點C逆時針旋轉至矩形，若經(jīng)過點B，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．8．已知二次函數(shù)自變量x與函數(shù)值y之間滿足下列數(shù)量關系，如下表，則代數(shù)式的值等于（）x…－3－2－10…y…－9－3－1－3…A．1 B． C． D．9．如圖，點A在反比例函數(shù)的圖象上，點B在反比例函數(shù)的圖象上，連接．若，則的值為（

）A． B． C． D．10．如圖，是二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）圖象的一部分，與x軸的其中一個交點在點和之間，對稱軸是直線．對于下列說法：①；②；③；④（m為實數(shù)）；其中正確的是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題11．若函數(shù)是關于x的二次函數(shù)，則m的值為．12．如圖，工人師傅在檢修校園的攝像頭時，將梯子斜靠在垂直墻面上，當梯子與水平地面的夾角為時，梯子底端A離墻根的垂直距離米，則梯子頂端B距地面的垂直高度的值為米．13．拋物線y=﹣x2+bx+c的部分圖象如圖所示，若y＞0，則x的取值范圍是．14．如圖，實線部分是一個正方體展開圖，點A，B，C，D，E均在的邊上，則的值為．15．如圖，在平面直角坐標系中，的邊軸于點A，，反比例函數(shù)的圖象分別過邊的中點D，頂點C，若，，則k的值為．16．如圖所示，在矩形中，，，將沿射線平移得，連接，，當是直角三角形時，平移的距離的長度為．三、解答題17．計算：（1）（2）18．如圖，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，過點作軸于點，在軸負半軸上有一點，連接．（1）求反比例函數(shù)解析式；（2）請用無刻度直尺和圓規(guī)，在軸負半軸上找一點，使得（不寫作法，保留痕跡）．19．如圖，點在拋物線上，且在拋物線C的對稱軸右側．（1）請直接寫出拋物線C的對稱軸，并寫出a的值；（2）在平面直角坐標系中放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點P及拋物線C的一段，分別記為點，拋物線．平移該膠片，使所在拋物線對應的函數(shù)恰為．求點移動的最短距離，并直接寫出點的坐標．20．某中學校園教學樓前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草間，小明站在雕像前，自C處測得雕像頂A的仰角為，小穎站在教學樓門前的臺階上，自D處測得雕像頂A的仰角為，此時，兩人的水平距離為，已知教學樓門前臺階斜坡的坡比為．請計算臺階的高度，并求出孔子雕像的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）21．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第二、四象限內的A、B兩點，點的坐標為，點的坐標為．（1）則，；（2）若時，則的取值范圍是；（3）過點作軸于點，連接，過點作于點D，求線段CD的長．22．【問題提出】已知，都是銳角，，，求的度數(shù)．【問題解決】（1）如圖，小明同學在邊長為1的正方形網(wǎng)格中畫出和，請你按照這個思路求的度數(shù)．（點都在格點上）【策略遷移】（2）已知都是銳角，，，則的度數(shù)為．（要求；在備用圖1中畫出求解過程的圖形，并直接寫出答案）（3）已知都是銳角，，，，求的值．（要求：1．在備用圖2中畫出求解過程的圖形，2．簡明寫出過程或直接寫出答案）23．“秋風起，吃臘味”，某臘腸店銷售A，B兩類臘腸．A類臘腸進價元/件，B類臘腸進價元/件．已知購買2件A類臘腸和1件B類臘腸需元，購買3件A類臘腸和5件B類臘腸需元．（1）求A類臘腸和B類臘腸每件的售價各是多少元？（2）A類臘腸供貨充足，按原價銷售每天可售出件．市場調查反映，若每降價1元，每天可多售出件（每件售價不低于進價）．設每件A類臘腸降價x元，每天的銷售量為y件，請直接寫出y與x的函數(shù)關系式，以及自變量x的取值范圍．（3）在（2）的條件下，設該店每天銷售A類臘腸的利潤為w元，請求出w與x的函數(shù)關系式，并求出每天每件A類臘腸降價多少元時利潤最大，最大利潤是多少元？24．（1）【知識再現(xiàn)】我們知道，直角三角形中有6個元素—三個角，三條邊．其中，有一個角為90度，對于其他五個元素，由已知元素求出所有未知元素的過程叫解直角三角形，下列兩個條件中，不能解直角三角形的是．①已知兩條邊；②已知一條邊和一個銳角；③已知兩個角．（2）【聯(lián)系拓展】擴展開去，任意三角形中有6個元素——三個角，三條邊，由已知元素求出所有未知元素的過程叫解三角形．三角函數(shù)是三角形邊角關系的紐帶，也可以作為解三角形的常用工具．如圖1，已知在中，，，，解這個三角形；（3）【延伸應用】如圖2，在中，，，，在解這個三角形時，若未知元素都有兩解的的取值范圍是．25．已知拋物線交軸于點，點，交軸于點．點向右平移4個單位長度，得到點D，點D在拋物線上，點E為拋物線的頂點．（1）求拋物線的表達式及頂點E的坐標；（2）連接，點是線段上一動點，連接，作射線．①在射線上取一點F，使，連接．當?shù)闹底钚r，點M的坐標為；②點N是射線上一動點，且滿足．在第四象限內過點C作射線，在射線上取一點G，使．連接．求的最小值；（請在備用圖中畫出草圖再求解）（3）點P在拋物線的對稱軸上，若，請直接寫出點P的坐標．

答案1．【正確答案】B【分析】本題考查反比例函數(shù)的定義，掌握相關知識是解決問題的關鍵．形如（為常數(shù)且）的函數(shù)是反比例函數(shù)，逐一判斷各函數(shù)即可．【詳解】解：①，不是反比例函數(shù)；②，是反比例函數(shù)；③，是反比例函數(shù)；④，分母不是，不是反比例函數(shù)；⑤，即，是反比例函數(shù)；⑥，不是反比例函數(shù)；⑦，即，是正比例函數(shù)，不是反比例函數(shù)．∴是反比例函數(shù)的有②、③、⑤，共3個．故選B．2．【正確答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，主要利用拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標，以及二次函數(shù)的增減性．根據(jù)二次函數(shù)的性質對各小題分析判斷即可得解．【詳解】A、拋物線中的，則該拋物線的開口方向向上，本選項錯誤；B、拋物線的對稱軸是，本選項錯誤；C、拋物線的頂點坐標是，本選項正確；D、拋物線向左平移1個單位，再向上平移1個單位可得拋物線，本選項錯誤．故選C．3．【正確答案】B【分析】本題考查三角函數(shù)的定義和性質，掌握相關知識是解決問題的關鍵．根據(jù)三角函數(shù)的定義和性質逐項判斷正誤．【詳解】解：A∶在中，銳角A的兩邊都擴大3倍，但是鄰邊與斜邊的比值，∴比值不變，故A錯誤．B∶，設對邊，鄰邊，則斜邊，∴，故B正確．C∶，兩者不相等，C錯誤．D∶不一定是直角三角形，不一定等于，D錯誤．故選4．【正確答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)解析式，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，得出的值，再代入代數(shù)式計算即可．【詳解】解：點在反比例函數(shù)的圖象上，，即．將代入代數(shù)式，得：．故選D5．【正確答案】C【分析】本題主要考查了解直角三角形以及計算器．先求出，再求出，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，∴，∴，故A、B選項錯誤，不符合題意；，故D選項錯誤，不符合題意；C選項正確，符合題意；故選C6．【正確答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是根據(jù)二次函數(shù)的解析式求得對稱軸，與軸交點坐標為，即可得到所在坐標系的原點．【詳解】解：∵，∴對稱軸是，與軸交點坐標為，∴點是二次函數(shù)所在坐標系的原點；故選D．7．【正確答案】A【分析】此題重點考查矩形的性質、旋轉的性質、銳角三角函數(shù)等知識，掌握相關知識是解決問題的關鍵．由矩形的性質得，，由旋轉得，，則，所以，求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，將矩形繞點逆時針旋轉至矩形，若經(jīng)過點，，，，，，故選A．8．【正確答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)的對稱性，頂點坐標，掌握相關知識是解決問題的關鍵．由表格數(shù)據(jù)可知，當和時，y值均為，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，對稱軸為，頂點坐標為，代入頂點公式關系求解．【詳解】解：∵時，時，∴對稱軸為，∴頂點橫坐標為，由表格知代入時，∴頂點縱坐標，即∴．故選A．9．【正確答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，的幾何意義，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識是解決問題的關鍵．如圖，作軸，垂足為，作軸，垂足為可得，由值幾何意義可知，，利用相似三角形的性質即可得到結果．【詳解】解：如圖，作軸，垂足為，作軸，垂足為，點在反比例函數(shù)的圖象上，點在反比例函數(shù)的圖象上，，，，，，∵，，，．故選D．10．【正確答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，由拋物線開口方向，對稱軸位置可判斷①，由對稱軸為直線可判斷②，由時及拋物線的對稱性可判斷③，由時函數(shù)取最大值可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，∵拋物線對稱軸為，∴，②正確．∴，①正確．∵時，∴時，，③不正確．由圖象可得時，函數(shù)值取最大值，即，∴，④正確．故選C．11．【正確答案】1【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，解一元二次方程，掌握二次函數(shù)的定義是解題關鍵．根據(jù)二次函數(shù)的定義得到，，即可求出m的值．【詳解】解：函數(shù)是關于x的二次函數(shù)，，，解得.12．【正確答案】【分析】本題考查的是解直角三角形的應用坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．根據(jù)正切的定義計算即可．【詳解】解：在中，，，米，，（米.13．【正確答案】－3＜x＜1【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸為x=﹣1，一個交點為（1，0），可推出另一交點為（﹣3，0），結合圖象求出y＞0時，x的范圍．【詳解】解：根據(jù)拋物線的圖象可知：拋物線的對稱軸為x=﹣1，已知一個交點為（1，0），根據(jù)對稱性，則另一交點為（﹣3，0），所以y＞0時，x的取值范圍是﹣3＜x＜1．14．【正確答案】【分析】本題考查了求角的余弦，勾股定理，掌握相關知識是解決問題的關鍵．由題意得，從而得出，設，則，由勾股定理得出，求得，即可得出答案．【詳解】解：如圖，由題意得：，，∴，設，則，，在中，，．15．【正確答案】10【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖形上點的坐標特征，三角形的面積，正確表示出線段的長度是解題的關鍵．設，由反比例函數(shù)的圖象過頂點C，可知，由題意，，，利用三角形面積公式，根據(jù)即可求得．【詳解】解：設，∵反比例函數(shù)的圖象過頂點C，∴，∵的邊軸于點A，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．16．【正確答案】或【分析】利用分類思想，當，延長交于M，過點F作，交的延長線于N，結合三角形相似，三角函數(shù)解答即可．【詳解】解：①如圖1所示，當，延長交于M，過點F作，交的延長線于N．∴．∵，∴．設，∴．∵，∴四邊形是矩形．∴．∴．∵，∴．∴，即．∴．∴；②如圖2所示，，由鄰補角定義可得．在中，．綜上所述，BE的長度是或．17．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪以及實數(shù)的混合運算，掌握相關知識是解決問題的關鍵．（1）先計算零指數(shù)冪，負指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)，再進行加減計算；（2）先計算特殊角的三角函數(shù)值，然后再進行加減計算．【詳解】（1）解：；（2）解：．18．【正確答案】（1）（2）見詳解【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)的解析式，尺規(guī)作圖：（1）把代入，即可求解；（2）過點B作交x軸于點D，即可．【詳解】（1）解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，反比例函數(shù)解析式為；（2）解：如圖所示，點即為所求．理由：由作法得：，∵軸，即，∴，平行x軸，∴，，∴．19．【正確答案】（1），8（2）線段的長度為，【分析】本題考查二次函數(shù)的性質，掌握相關知識是解決問題的關鍵。（1）根據(jù)拋物線的頂點式，判斷出頂點坐標，令，轉化為方程求出即可；（2）求出平移前后的拋物線的頂點的坐標，可得結論．【詳解】（1）解：原解析式變形為頂點式得，拋物線的頂點坐標為，對稱軸為，此時取得最大值5．把代入得，（舍去）．；故，8；（2）解：變形為頂點式得，，頂點坐標為，根據(jù)平移規(guī)律可知，拋物線向左平移了3個單位，向下平移了5個單位．點坐標為，的坐標為，即，線段的長度為，線段的長度為．20．【正確答案】，【分析】本題考查的是解直角三角形的應用坡度坡角，解直角三角形的應用仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．（1）根據(jù)教學樓門前臺階斜坡的坡比為計算即可；（2）作于，根據(jù)矩形的性質得到，，設，則，可證得，則，根據(jù)列方程求解得到答案．【詳解】解：教學樓門前臺階斜坡的坡比為，為，，，即臺階的高度為；如圖所示，作于，由題意得，四邊形是矩形，，，設，則，在中，，，，，即，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，答：孔子雕像的高度約．21．【正確答案】（1），（2）或（3）【分析】此題考查了反比例函數(shù)的圖形和性質，勾股定理，三角形的面積，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．（1）先將點坐標代入反比例函數(shù)解析式中，求出，再將點坐標代入反比例函數(shù)解析式中求出；（2）根據(jù)圖象直接得出結論；（3）先求出，，再求出，最后用三角形的面積公式建立方程求解，即可得出結論．【詳解】（1）解：點，在反比例函數(shù)的圖象上，，反比例函數(shù)的解析式為，在反比例函數(shù)的圖象上，，，故，；（2）解：由（1）知，，，，當或時，，故或；（3）解：軸，，，，點到的距離，作軸，軸，由勾股定理得：，，，．22．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】本題考查作圖應用與設計作圖，解直角三角形，勾股定理及逆定理的應用，解題的關鍵是學會數(shù)形結合的思想解決問題．（1）連接，利用勾股定理逆定理和等腰直角三角形的性質求解；（2）構造等腰直角三角形可得結論；（3）構造直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結論．【詳解】解：（1）如圖，連接，，，，，，；（2）如圖，連接，由題意，，，，∵，∴，是等腰直角三角形，且，，故；（3）如圖，，，，由勾股定理得：，∴，∴為直角三角形，且，在中，，，．23．【正確答案】（1）A類臘腸的售價為元/件，B類臘腸的售價為元/件（2）（）（3）2，每件A類臘腸降價2元時利潤最大，最大利潤為元【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應用，一元一次方程的應用，根據(jù)實際問題列一次函數(shù)關系式，解答本題的關鍵是找準等量關系，列出二次函數(shù)或一元一次方程．（1）根據(jù)題意設每件類臘腸的售價為元，則每件類臘腸的售價為元，進一步得到關于的一元一次方程求解即可；（2）根據(jù)降價1元，每天可多售出件列出函數(shù)關系式，結合進價與售價，且每件售價不低于進價得到得取值范圍；（3）結合（2）中類臘腸降價元與每天的銷售量件，得到類臘腸的利潤，整理得到關于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質求解即可．【詳解】（1）解：設每件類臘腸的售價為元，則每件類臘腸的售價為元，根據(jù)題意得，解得，則每件類臘腸的售價（元，答：類臘腸的售價為元件，類臘腸的售價為元件；（2）解：由題意得，類臘腸進價元件，售價為元件，且每件售價不低于進價，，答：；（3）解：，，當時，有最大值，答：類臘腸每件售價降價2元時，每天銷售利潤最大，最大利潤為元．24．【正確答案】（1）③；（2）、、；（3）．【分析】本題主要考查了三角函數(shù)的應用、三角形內角和定理以及三角形的邊角關系等知識點．解題關鍵在于對于解直角三角形，要清楚不同條件下能否唯一確定三角形的其他元素．解三角形時，通過作高將三角形轉化為直角三角形，利用三角函數(shù)建立邊與角的關系．確定三角形解的個數(shù)時，根據(jù)直角三角形的邊角關系和圖形特點來分析邊的取值范圍．（1）判斷解直角三角形的條件：根據(jù)直角三角形的性質和三角函數(shù)的定義，分析每個條件能否求出其他未知元素．（2）解三角形：通過作高構造直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值求出相關邊的長度，再根據(jù)三角形內角和定理求出第三個角．（3）確定的取值范圍：作高構造直角三角形，求出高的長度，再結合三角形解的個數(shù)與邊的關系，確定的取值范圍．【詳解】解：（1）判斷解直角三角形的條件：①已知兩條邊：根據(jù)勾股定理可求出第三邊，再利用三角函數(shù)可求出兩個銳角，所以能解直角三角形．②已知一條邊和一個銳角：利用三角函數(shù)可求出其他邊，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可求出另一個銳角，所以能解直角三角形．③已知兩個角：只知道三角形的三個角，沒有邊的信息，無法確定三角形的大小，所以不能解直角三角形．故③．（2）如圖，過點作于點在中，,設，則，．在中，,設，則．∴即∴，，,在中，由勾股定理可知（3）如圖，過點作于點在中，,∴由勾股定理可知∴當時，無法構成三角形，故舍去；當時，是直角三角形有一解；當時，以為圓心，為半徑畫弧與有兩個交點，此時有兩解．當時，有一解；綜上所述的取值范圍是．25．【正確答案】（1