微積分經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題試題及真題考試時長：120分鐘滿分：100分班級：__________姓名：__________學(xué)號：__________得分：__________試卷名稱：微積分經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題試題及真題考核對象：經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)本科二年級學(xué)生題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點處的瞬時變化率。2.若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)必有極值。3.定積分的幾何意義是曲線與x軸圍成的面積。4.級數(shù)∑(n=1to∞)(1/n)發(fā)散。5.拉格朗日乘數(shù)法適用于求解條件極值問題。6.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上必連續(xù)。7.偏導(dǎo)數(shù)表示多元函數(shù)在某個方向上的變化率。8.微分方程y''+y=0的通解為y=C?sin(x)+C?cos(x)。9.數(shù)列{a_n}收斂的必要條件是{a_n}有界。10.梯度向量的方向是函數(shù)值增加最快的方向。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(x)=x3-3x+2在x=1處的導(dǎo)數(shù)為（）。A.0B.1C.3D.52.下列函數(shù)中，在x→0時極限存在的是（）。A.sin(1/x)B.e^(-1/x)C.1/xD.|x|3.∫[0,1](x2+1)dx的值為（）。A.1B.2C.3/2D.5/24.級數(shù)∑(n=1to∞)(1/2^n)的收斂性為（）。A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.無法判斷5.函數(shù)f(x)=x2在[1,2]上的拉格朗日中值定理中的ξ值為（）。A.1.5B.√1.5C.1.732D.26.多元函數(shù)f(x,y)=x2+y2在約束x+y=1下的最小值為（）。A.0B.1C.2D.37.微分方程dy/dx=x2的通解為（）。A.y=(x3/3)+CB.y=x3+CC.y=(x?/4)+CD.y=(x2/2)+C8.數(shù)列{a_n}=(-1)^n/n的收斂性為（）。A.收斂于0B.發(fā)散C.收斂于1D.無法判斷9.函數(shù)f(x)=e^x在x=0處的泰勒展開式的前三項為（）。A.1+x+x2B.1+x+x2/2C.1+x-x2D.1-x+x210.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則f(x)在[a,b]上的積分為（）。A.必為正B.必為負(fù)C.可正可負(fù)D.必為零三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在x→0時等價于x的是（）。A.sin(x)B.tan(x)C.ln(1+x)D.e^x-12.下列級數(shù)中，收斂的是（）。A.∑(n=1to∞)(1/n2)B.∑(n=1to∞)(1/n)C.∑(n=1to∞)(-1)^n/nD.∑(n=1to∞)(2^n)3.拉格朗日乘數(shù)法適用于（）。A.無約束優(yōu)化問題B.條件極值問題C.多元函數(shù)極值問題D.單變量函數(shù)極值問題4.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的是（）。A.|x|B.x2C.sin(x)D.x35.微分方程y'+y=0的解為（）。A.y=Ce^(-x)B.y=Ce^xC.y=Csin(x)D.y=Ccos(x)6.下列說法正確的是（）。A.若函數(shù)在某點可導(dǎo)，則在該點必連續(xù)B.若函數(shù)在某點連續(xù)，則在該點必可導(dǎo)C.若函數(shù)在某區(qū)間可積，則在該區(qū)間必連續(xù)D.若函數(shù)在某區(qū)間連續(xù)，則在該區(qū)間可積7.多元函數(shù)f(x,y)=x2+y2在約束x2+y2=1下的極值點為（）。A.(1,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)8.下列說法正確的是（）。A.數(shù)列有界是收斂的必要條件B.數(shù)列收斂是有界的充分條件C.數(shù)列發(fā)散一定無界D.數(shù)列無界一定發(fā)散9.函數(shù)f(x)=x3-3x在[-2,2]上的極值點為（）。A.-2B.-1C.0D.110.下列運算正確的是（）。A.∫[0,1]xdx=1/2B.∫[0,1]x2dx=1/3C.∫[0,1](1/x)dx=ln(1)D.∫[0,1](1+x)dx=3/2四、案例分析（每題6分，共18分）1.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q)=10q+50，其中q為產(chǎn)量。若售價為p(q)=60-2q，求該公司的利潤最大時的產(chǎn)量及最大利潤。2.某投資者投資兩種資產(chǎn)A和B，期望收益率分別為10%和15%，投資比例分別為x和1-x。若投資組合的風(fēng)險（方差）為σ2=0.04x2+0.09(1-x)2-0.02x(1-x)，求使風(fēng)險最小化的投資比例。3.某城市人口增長模型為P(t)=P?e^(kt)，其中P?為初始人口，k為增長率。若該城市人口從100萬增長到200萬用了10年，求k的值及20年后的預(yù)計人口。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的作用，并舉例說明如何利用導(dǎo)數(shù)分析邊際成本、邊際收益等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。2.論述拉格朗日乘數(shù)法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，并舉例說明如何利用該方法求解消費者最優(yōu)選擇問題。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√；導(dǎo)數(shù)定義2.×；連續(xù)不一定有極值，如f(x)=x3.√；定積分幾何意義4.√；調(diào)和級數(shù)發(fā)散5.√；拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值6.×；可積不一定連續(xù)，如狄利克雷函數(shù)7.√；偏導(dǎo)數(shù)定義8.√；特征方程解法9.√；收斂數(shù)列必有界10.√；梯度方向為最速上升方向二、單選題1.C；f'(x)=3x2-3，f'(1)=02.D；|x|有極限3.D；∫[0,1](x2+1)dx=(1/3+1)=4/34.C；幾何級數(shù)收斂5.A；拉格朗日中值定理f(2)-f(1)=f'(ξ)(2-1)?ξ=1.56.B；拉格朗日乘數(shù)法求解7.A；dy=x2dx?y=∫x2dx=x3/3+C8.A；交錯級數(shù)條件收斂9.B；泰勒展開式10.A；單調(diào)遞增函數(shù)積分為正三、多選題1.ABCD；均為x的一階等價無窮小2.AC；p-series收斂，交錯級數(shù)條件收斂3.BC；適用于條件極值4.BCD；|x|在x=0不可導(dǎo)5.A；特征方程解法6.AD；可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)；可積不一定連續(xù)，連續(xù)必可積7.ABCD；極值點為(±1,0)和(0,±1)8.AD；有界不一定收斂，無界不一定發(fā)散9.BCD；f'(-1)=0，f'(1)=0，f'(0)不存在10.ABD；∫(1/x)dx=ln|x|，∫(1+x)dx=x+x2/2四、案例分析1.利潤函數(shù)π(q)=pq-C(q)=(60-2q)q-(10q+50)=50q-2q2-50求導(dǎo)π'(q)=50-4q，令π'(q)=0?q=12.5二階導(dǎo)π''(q)=-4<0，極大值最大利潤π(12.5)=50(12.5)-2(12.5)2-50=312.52.求導(dǎo)σ2對x求導(dǎo)：dσ2/dx=0.08x-0.18+0.04x=0.12x-0.18令dσ2/dx=0?x=1.5驗證二階導(dǎo)d2σ2/dx2=0.12>0，最小值投資比例x=1.5，不合理需調(diào)整（實際應(yīng)取邊界值）3.求kP(10)=200?100e^(10k)=200?k=ln(2)/10≈0.069320年人口P(20)=100e^(20k)=100e^(2ln(2))=400萬五、論述題1.導(dǎo)數(shù)作用：-邊際成本：C'(q)表示每增加