天津市2026屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，時(shí)間120分鐘.第I卷（選擇題共45分）監(jiān)測注意事項(xiàng)：1.答第I卷前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)涂在答題卡上.2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).3.本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：錐體的體積公式，其中表示錐體的底面積，表示錐體的高.球的體積公式，球的表面積公式，其中表示球的半徑.如果事件互斥，則.如果事件相互獨(dú)立，則.任意兩個(gè)事件與，若，則.一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.1 B.2 C. D.94.已知是空間兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題錯(cuò)誤的為（）A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5.車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會(huì)導(dǎo)致輪胎胎面磨損.某實(shí)驗(yàn)室通過試驗(yàn)測得行駛里程（單位：）與某品牌輪胎凹槽深度（單位：）的數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理.現(xiàn)有兩種模型可供選用，模型I為線性回歸模型，利用最小二乘法，可得到關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，模型I的決定系數(shù)為0.95，模型II為非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程，模型II的決定系數(shù)為0.99，則以下說法正確的是（）A.若選用模型I，則兩個(gè)變量正相關(guān)B.若選用模型I，當(dāng)自變量每增加1個(gè)單位時(shí)，因變量一定減少1.14個(gè)單位C.若選用模型II，則此品牌輪胎行駛里程越多，其輪胎凹槽深度一定越大D.模型II的擬合效果比模型I的擬合效果好6.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為（）A. B. C. D.7.已知某圓錐母線長為，該圓錐內(nèi)切球的球心與其外接球的球心重合，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若圖象關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的值為（）A. B. C. D.9.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且在第一象限，的平分線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.第II卷（非選擇題共105分）監(jiān)測注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2.本卷共11小題，共105分.二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對1個(gè)的給3分，全部答對的給5分）10.i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為___________.11.在的展開式中，的系數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）12.已知拋物線，其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓截得的線段長度為___________.13.已知某盒中裝有6個(gè)大小、質(zhì)地一致的乒乓球，其中有4個(gè)新球（從未被使用過）2個(gè)舊球，第一次比賽時(shí)從此盒中任取2個(gè)球來使用，賽后仍將兩球放回盒中，第二次比賽時(shí)再從此盒中任取2個(gè)球使用.（i）第二次比賽時(shí)取出的2個(gè)球都是新球的概率為___________；（ii）在第一次比賽時(shí)取出2個(gè)舊球，賽后將兩球放回盒中的條件下，第二次比賽時(shí)取出的2個(gè)球都是新球的概率為___________.14.已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線，則___________，若，且向量在向量上的投影向量為，則___________.15.已知，若對于任意的，不等式恒成立，則的最小值為___________.三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.在中，角所對的邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若.（i）求的值；（ii）求的值.17.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.18.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓下頂點(diǎn)，為等腰直角三角形，其周長為.（1）求橢圓的方程；（2）直線過點(diǎn)與橢圓交于點(diǎn)（異于橢圓頂點(diǎn)），線段中點(diǎn)為，射線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑圓上，求直線的方程.19.已知，數(shù)列滿足，其中為常數(shù)，且有，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求；（3）在（2）的條件下，若對任意的，均有成立，求整數(shù)的取值集合.20.已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且的最小值為.（i）求實(shí)數(shù)的值；（ii）若存在實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值.天津市2026屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，時(shí)間120分鐘.第I卷（選擇題共45分）監(jiān)測注意事項(xiàng)：1.答第I卷前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)涂在答題卡上.2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).3.本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：錐體的體積公式，其中表示錐體的底面積，表示錐體的高.球的體積公式，球的表面積公式，其中表示球的半徑.如果事件互斥，則.如果事件相互獨(dú)立，則.任意兩個(gè)事件與，若，則.一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集與并集即可得到答案.【詳解】全集，集合，則，則.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】化簡條件，根據(jù)充分、必要條件的概念判斷“”是“”的關(guān)系.【詳解】因?yàn)?由“”能推出“”，但“”不能推出“”.所以“”是“”充分不必要條件.故選：A3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.1 B.2 C. D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，結(jié)合通項(xiàng)的性質(zhì)求解的值即可.【詳解】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以，則.故選：B.4.已知是空間兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題錯(cuò)誤的為（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】利用面面垂直的判定判斷A；利用線面垂直的性質(zhì)判斷BD；確定面面位置關(guān)系判斷C.【詳解】對于A，由，得，A正確；對于B，由，得，B正確；對于C，由，得或相交，C錯(cuò)誤；對于D，由，得，D正確.故選：C5.車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會(huì)導(dǎo)致輪胎胎面磨損.某實(shí)驗(yàn)室通過試驗(yàn)測得行駛里程（單位：）與某品牌輪胎凹槽深度（單位：）的數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理.現(xiàn)有兩種模型可供選用，模型I為線性回歸模型，利用最小二乘法，可得到關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，模型I的決定系數(shù)為0.95，模型II為非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程，模型II的決定系數(shù)為0.99，則以下說法正確的是（）A.若選用模型I，則兩個(gè)變量正相關(guān)B.若選用模型I，當(dāng)自變量每增加1個(gè)單位時(shí)，因變量一定減少1.14個(gè)單位C.若選用模型II，則此品牌輪胎行駛里程越多，其輪胎凹槽深度一定越大D.模型II的擬合效果比模型I的擬合效果好【答案】D【解析】【分析】根據(jù)回歸方程的性質(zhì)可判斷A，B，C；根據(jù)決定系數(shù)的大小關(guān)系可判斷模型的擬合效果，即可判斷D.【詳解】模型I所得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，因?yàn)椋瑒t兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，故A不正確；若選用模型I，當(dāng)自變量每增加1個(gè)單位時(shí)，因變量估計(jì)減少1.14個(gè)單位，故B不正確；若選用模型II，則此品牌輪胎行駛里程越多，其輪胎凹槽深度可能越小，故C不正確；由于模型I的決定系數(shù)為0.95，模型II的決定系數(shù)為0.99，由于，則模型II的擬合效果比模型I的擬合效果好，故D正確.故選：D.6.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用零點(diǎn)存在定理及對數(shù)函數(shù)值計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，，，又因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為.故選：C.7.已知某圓錐的母線長為，該圓錐內(nèi)切球的球心與其外接球的球心重合，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓錐的軸截面可得圓錐底面半徑為，高為，母線為的關(guān)系，結(jié)合該圓錐內(nèi)切球的球心與其外接球的球心重合可得圓錐內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為之間的關(guān)系，列方程組從而可得，的值，即可得所求.【詳解】如圖，圓錐的軸截面為，圓錐的底面中心為，則點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切球的球心與其外接球的球心為，則點(diǎn)在圓錐的高上，連接，過作于，設(shè)圓錐內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為，圓錐底面半徑為，高為，母線為，由題可得，，，，則，由勾股定理可得：，所以，整理得所以，又由可得，聯(lián)立解得，故該圓錐內(nèi)切球的半徑為，所以內(nèi)切球的表面積為.故選：C.8.已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由求出，由的圖象關(guān)于軸對稱得到，結(jié)合求出的值，從而得到的表達(dá)式，利用的表達(dá)式求出.【詳解】，，的圖象關(guān)于軸對稱，，，，或，當(dāng)時(shí)，，，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，設(shè)為單調(diào)遞減函數(shù)，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意；故，，.故選：A.9.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且在第一象限，的平分線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先明確，再根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到，再結(jié)合雙曲線的定義得到，進(jìn)而可求雙曲線的離心率.【詳解】如圖：雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線即的距離為.所以.因?yàn)槠椒?，且，延長交于，則為等腰三角形，，且為中點(diǎn).又為中點(diǎn)，所以.根據(jù)雙曲線的定義，，即.所以雙曲線的離心率為.故選：D第II卷（非選擇題共105分）監(jiān)測注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2.本卷共11小題，共105分.二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對1個(gè)的給3分，全部答對的給5分）10.i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為___________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，從而得其虛部的值.【詳解】復(fù)數(shù)，則其虛部為1.故答案：1.11.在的展開式中，的系數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】，將其整理得到的次數(shù)為，解出的值，將代入中求解即可得到答案.詳解】，則，解得，則，故的系數(shù)為.故答案為：.12.已知拋物線，其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓截得的線段長度為___________.【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式求直線與圓相交所得弦的弦長.【詳解】拋物線，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，所以，所以焦點(diǎn).則過點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為：，即.因?yàn)椋瑘A心為，半徑為.圓心到直線的距離為：，所以直線被圓截得的線段長度為：.故答案為：13.已知某盒中裝有6個(gè)大小、質(zhì)地一致的乒乓球，其中有4個(gè)新球（從未被使用過）2個(gè)舊球，第一次比賽時(shí)從此盒中任取2個(gè)球來使用，賽后仍將兩球放回盒中，第二次比賽時(shí)再從此盒中任取2個(gè)球使用.（i）第二次比賽時(shí)取出的2個(gè)球都是新球的概率為___________；（ii）在第一次比賽時(shí)取出2個(gè)舊球，賽后將兩球放回盒中的條件下，第二次比賽時(shí)取出的2個(gè)球都是新球的概率為___________.【答案】①.②.##【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式分第一次取到0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)新球三種情況討論可求第二次所取出的球都是新球的概率；（2）根據(jù)條件概率公式求解即可．【詳解】（i）第一次取到0個(gè)新球的概率為，第一次取到1個(gè)新球的概率為，第一次取到2個(gè)新球的概率為，所以第二次所取出的球都是新球的概率；（ii）設(shè)事件“第一次比賽時(shí)取出2個(gè)舊球”，則，設(shè)事件“第二次比賽時(shí)取出的2個(gè)球都是新球”，則．故答案為：14.已知是內(nèi)的一點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線，則___________，若，且向量在向量上的投影向量為，則___________.【答案】①.②.3【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合共線定理即可得的值；由投影向量的定義可得的值，由，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)即可得的值.【詳解】因?yàn)?，整理得，則不在邊上，又，則，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得；向量在向量上的投影向量為，所以，則，則.故答案為：；3.15.已知，若對于任意的，不等式恒成立，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】本題為含參數(shù)不等式恒成立問題，通過對函數(shù)符號(hào)的分析，從而得到的等量關(guān)系，再利用均值不等式求出最小值．【詳解】若，當(dāng)時(shí)，，，而，乘積為負(fù)，不滿足恒成立，故；當(dāng)時(shí)，乘積，解得，則時(shí)，，故，不等式恒成立等價(jià)于，對恒成立．由于二次函數(shù)開口向上，判別式，故有兩個(gè)實(shí)根，且根的乘積為，即一正一負(fù)．設(shè)正根為，則：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．要使恒成立，需要二次函數(shù)的正根；將代入，得，解得；將代入，得；由均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立；又因?yàn)椋瑵M足，所以的最小值為．故答案為：．三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.在中，角所對的邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若.（i）求的值；（ii）求的值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）利用正弦定理，結(jié)合二倍角公式可求角.（2）（i）利用余弦定理列式，結(jié)合條件，可求的值.（ii）利用正弦定理求，結(jié)合二倍角公式和和角公式求值即可.【小問1詳解】由正弦定理及二倍角公式可得，又因?yàn)?，所以，解得，由，可?【小問2詳解】（i）將代入余弦定理，得，解得.（ii）因?yàn)?，故，由正弦定理，解得，由，故，代?17.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算確定平面的法向量，從而利用線面平行的向量關(guān)系可證得結(jié)論；（2）求解平面的法向量，利用面面夾角與向量夾角關(guān)系即可得所求；（3）根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.小問1詳解】因?yàn)槠矫妫酌鏋檎叫?，因此以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，證明：可知，由題意可得平面，則平面的法向量為，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面；【小?詳解】設(shè)平面的法向量為，又，則，令，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為；【小問3詳解】易知，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.18.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓下頂點(diǎn)，為等腰直角三角形，其周長為.（1）求橢圓的方程；（2）直線過點(diǎn)與橢圓交于點(diǎn)（異于橢圓頂點(diǎn)），線段中點(diǎn)為，射線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件求的值，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線的方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用可求的值，即得直線的方程.【小問1詳解】依題意，解得.故橢圓方程為.【小問2詳解】如圖：依題意，直線斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，由方程組，整理得，，故，有，即，故中點(diǎn)，所以直線方程為，則，又因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，故有①，由代入①式，解得，故直線方程為.19.已知，數(shù)列滿足，其中為常數(shù)，且有，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求；（3）在（2）的條件下，若對任意的，均有成立，求整數(shù)的取值集合.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)關(guān)系可得的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算得公比的值，從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法或結(jié)合并項(xiàng)求和與分組求和法得數(shù)列的前項(xiàng)和為；（3）將已知