第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年河南省南陽市鎮(zhèn)平第一高級中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知互不相等的一組數(shù)x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均數(shù)為x8，方差為s12，若x1，x2，x3A.s12>s22 B.s12=2.《天工開物》是我國明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法.首先，準備一個圓桶模具，圓桶底面外圓的直徑為30cm，高為10cm，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為3cm的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确?如圖)，等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦.若需要制作800片這種瓦片，則所需粘土的體積為(

)A.45πdm3 B.99πdm3 C.3.若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=1?i(i為虛數(shù)單位)，則|z|=(

)A.2 B.22 C.24.已知函數(shù)f(x)同時滿足：

①定義域內(nèi)任意實數(shù)x，都有f(x)+f(2?x)=0；

②對于定義域內(nèi)任意x1，x2，當x1≠x2時，恒有f(x1)?f(xA.(?∞,?2) B.(?∞,2]5.在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=π3，點E是AB的中點，點F在線段BD上(包含端點)，則FC?FEA.[?1116,1] B.[1,4] C.[0,4]6.在(2x2?1x)nA.5 B.4 C.3 D.27.若函數(shù)f(x)=x3?aex有唯一極值點，則實數(shù)A.[12e2,+∞) B.(0,12e8.已知a>0，b>0且滿足a+lna=e2+2b?blnbbA.a?b的最大值為e2?1e B.a+b的最小值為2e

C.ba的最大值為e2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.函數(shù)f(x)=ax?1?2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(1,?2)

B.若函數(shù)g(x)滿足g(?x)+g(x)=6，則函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(0,3)對稱

C.當x>0時，函數(shù)y=x+3x+1?1的最小值為210.已知正項數(shù)列{an}滿足0<a1<1,an+1A.數(shù)列{an}為遞增數(shù)列 B.a8>8

11.已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=4，雙曲線E的一條漸近線的傾斜角為πA.E的方程為x2?y23=1

B.A到E的兩條漸近線的距離之積為32

C.若直線AB，AC的斜率之積為3，則B，C關(guān)于原點對稱

D.若直線BC過點F2，且B三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A，上頂點為B，O13.箱子中有大小相同的6個小球，分別標有數(shù)字1，1，2，2，3，3.甲、乙兩人進行三輪比賽，在每輪比賽中，兩人依次從箱子中隨機摸出1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比較摸出的球的標號大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人不得分，如果數(shù)字一樣，則都不得分.經(jīng)過三輪比賽后，箱子中的球被摸完，此時甲的累計得分比乙的累計得分大的概率是

．14.已知a，b∈R，若直線y=3x+a是曲線f(x)=ex+2x?b與曲線g(x)=x+2lnx的公切線，則a+b=

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=ax?lnx，x∈(0,e]，a∈R．

(Ⅰ)當a=1時，討論f(x)的單調(diào)性，并求出f(x)的極值；

(Ⅱ)是否存在實數(shù)a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．16.(本小題15分)

已知橢圓C的兩個焦點F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，過F1點且與坐標軸不平行的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，△MNF2的周長等于16．

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若過點P(?8,0)的直線與橢圓C交于兩點A，B，設(shè)直線AF1，B17.(本小題15分)

已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=3，S2，S3+1，S5?3成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)18.(本小題17分)

某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)由2k?1(k∈N?)個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為p(0<p<1)，各元件之間相互獨立.當控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設(shè)備正常運行，否則設(shè)備停止運行，記設(shè)備正常運行的概率為pk(例如：p2表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常運行的概率，p3表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運行的概率)．

(1)若p=23，當k=2時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求p3；

(2)已知設(shè)備升級前，單位時間的產(chǎn)量為a(a∈N?)件，每件產(chǎn)品的利潤為1元，設(shè)備升級后，在正常運行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為14，每件高端產(chǎn)品的利潤是2元.記設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為Y(單位：元)．

19.(本小題17分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC1⊥平面ABC，AC1⊥平面BCC1B1．

(1)求證：BC

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：已知互不相等的一組數(shù)x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的平均數(shù)為x8，方差為s12，

若x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7的方差為s22，

即x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x88=x8，

2.【答案】D

【解析】解：四片瓦需要的粘土量為π×(15+3)2×10?π×152×10=3240π?2250π=990πcm3，

則800片瓦需要的粘土量為990π×200=198000πcm3=198πd3.【答案】D

【解析】解：∵(1+i)z=1?i(i為虛數(shù)單位)，

∴(1?i)(1+i)z=(1?i)(1?i)，

∴2z=?2i，即z=?i．

則|z|=1．

故選：D．

利用復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出．

本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】A

【解析】解：由定義域內(nèi)任意x1，x2，當x1≠x2時，f(x1)?f(x2)x1?x2>0，知：函數(shù)y=f(x)是R上的增函數(shù)．

由題設(shè)：f(1+2sin2x?sin2x)+f(a)<0，可得f(1+2sin2x?sin2x)<?f(a)，

根據(jù)f(x)+f(2?x)=0，則?f(x)=f(2?x)，則?f(a)=f(2?a)，

故f(1+2sin2x?sin2x)<f(2?a)，

則1+2sin2x?sin2x<2?a，化簡得1?2sin5.【答案】D

【解析】解：在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=π3，點E是AB的中點，點F在線段BD上(包含端點)，

設(shè)BF=λBD(0≤λ≤1)，因為四邊形ABCD是菱形，

所以FB=?λBD=?λBC?λBA,FC=FB+BC=(1?λ)BC?λBA，

由點E是AB的中點，得FE=FB+BE=?λBC+(12?λ)BA，6.【答案】A

【解析】解：因為在(2x2?1x)n的展開式中，僅有第5項的二項式系數(shù)最大，

所以n=8，

所以(2x2?1x)8的通項Tk+1=C8k(2x2)8?k(?1x)k=C8k?28?k?(?1)7.【答案】A

【解析】解：因為f(x)=x3?aex只有1個極值點，所以a≠0，

則f′(x)=3x2?aex，令f′(x)=0，則a=3x2ex，

設(shè)g(x)=3x2ex，g′(x)=6x?3x2ex=3x(2?x)ex，

令g′(x)>0，則0<x<2，令g′(x)<0，則x<0或x>2，

所以g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(?∞,0)和(2,+∞)上單調(diào)遞減，

且g(0)=0，g(2)=12e2，

當x→?∞時，g(x)→+∞，當x→+∞時，g(x)→0，

當a≤0時，直線y=a與g(x)的圖象無交點，f(x)無極值點，

當0<a<12e2時，直線y=a與g(x)的圖象有3個交點，則f(x)有3個極值點，

當a≥12e2時，直線y=a與g(x)的圖象僅在8.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x，定義域為R，

其導(dǎo)數(shù)f′(x)=ex+1，易得f′(x)=ex+1>0，則函數(shù)f(x)=ex+x是R上的增函數(shù)，

又由a+lna=elna+lna，而e2+2b?blnbb=e2b+2?lnb=e2elnb+2?lnb=e2?lnb+2?lnb，

若a+lna=e2+2b?blnbb，即f(lna)=f(2?lnb)，必有l(wèi)na=2?lnb，即lna+lnb=2，故ab=e2，

依次分析選項：

對于A，a?b=a?e2a，令g(a)=a?e2a(a>0)，

顯然g(a)=a?e2a在a∈(0,+∞)上單調(diào)遞增，故a?b無最大值，所以A錯誤；

對于B，由a>0，b>0，得a+b≥2ab=2e2=2e，

當目僅當9.【答案】BD

【解析】【分析】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的對稱性，基本不等式求解最值，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性檢驗選項A；

根據(jù)函數(shù)的對稱性檢驗選項B；

結(jié)合基本不等式檢驗選項C；

結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性檢驗選項D．【解答】

解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f(x)=ax?1?2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(1,?1)，A錯誤；

根據(jù)函數(shù)的對稱性可知，若函數(shù)g(x)滿足g(?x)+g(x)=6，則函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(0,3)對稱，B正確；

當x>0時，函數(shù)y=x+3x+1?1=x+1+3x+1?2≥23?2，當且僅當x+1=3x+1即x=3?1時取等號，C錯誤；

令?x2?x+2≥0可得10.【答案】ACD

【解析】解：對于A，因為an+12=an2+2an，所以an+12?an2=2an>0，

所以an+12>an2，即an+1>an，所以數(shù)列{an}遞增數(shù)列，故A正確；

對于B，因為an+12=an2+2an，所以an+12=an2+2an+1?1=(an+1)2?1<(an+1)2，所以an+1<an+1，

又因為0<a1<1，所以an<an?1+1<an?2+2<?<a1+n?1<n，所以a8<8，故B11.【答案】ACD

【解析】解：已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=4，

得|F1F2|=4=2a2+b2，ba=tanπ3=3，解得a=1，b=3，

因此E的方程為x2?y23=1，故A選項正確；

E的兩條漸近線的方程為y=±3x，即3x±y=0，

設(shè)A(x0,y0)，則x02?y023=1，

因此A到E的兩條漸近線的距離之積為|3x0?y0|3+1?|3x0+y0|3+1=|3x02?y02|4=34，故B選項錯誤；

設(shè)A(x0,y0)，B(x1,y1)，則B關(guān)于原點的對稱點D(?x1,?y1)也在E上，

又AB，AD的斜率之積為y0?y1x0?x1?y0+y1x0+x1=y02?y12x02?x12，

又A，B在E上，有x02?y023=1，x12?y123=1，因此y02?y1212.【答案】12【解析】解：由橢圓的左頂點為A，上頂點為B，O為坐標原點，滿足3|OA|=2|OB|，即3a=2b，

所以ba=32，

因此橢圓E的離心率為e=ca13.【答案】1130【解析】解：由題意知比賽對甲、乙是公平的，所以先計算甲、乙得分相同的概率，

情形一：甲、乙都得0分，即每一輪甲、乙摸到的球的標號相同，p1=A33?23A66=115；

情形二：甲、乙都得1分，即三輪中有一輪甲得1分，有一輪乙得1分，

有一輪兩人摸到的球的標號相同，都不得分，

若相同的標號為1，則p2=A33?23A14.【答案】1

【解析】解：因為f(x)=ex+2x?b，g(x)=x+2lnx，

所以，f′(x)=ex+2，g′(x)=1+2x，

設(shè)直線y=3x+a與f(x)=ex+2x?b，g(x)=x+2lnx的切點坐標分別為(m,n)，(p,q)，

因為直線y=3x+a是曲線f(x)和g(x)的公切線，

所以g′(p)=1+2p=3，解得p=1，則q=1+2ln1=1，

把(1,1)代入直線y=3x+a中可得a=?2，又f′(m)=em+2=3，解得m=0，

把m=0代入直線y=3x?2中可得n=?2，

再把(0,?2)代入f(x)=ex+2x?b中可得1?b=?2，即b=3，所以a+b=?2+3=1．

故答案為：1．

首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線y=3x+a與曲線g(x)=x+2lnx的交點15.【答案】解：(Ⅰ)當a=1時，f(x)=x?lnx，

f′(x)=1?1x=x?1x，

∴當0<x<1時，f′(x)<0，此時f(x)單調(diào)遞減；

當1<x<e時，f′(x)>0，此時f(x)單調(diào)遞增．

∴f(x)的極小值為f(1)=1．

(Ⅱ)假設(shè)存在實數(shù)a，使f(x)=ax?lnx，x∈[0,e]有最小值3，

f′(x)=a?1x=ax?1x，

①當a≤0時，f(x)在(0,e]上單調(diào)遞減，

f(x)min=f(e)=ae?1=3，a=4e(舍去)，

∴此時f(x)最小值不為3；

②當0<1a<e時，f(x)在(0,1a)上單調(diào)遞減，在(1a,+∞)上單調(diào)遞增，

∴f(x)min=f(【解析】(Ⅰ)當a=1時，f(x)=x?lnx，f′(x)=1?1x=x?1x，利用極值與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得出；

(Ⅱ)對a分類討論：當a≤0時，當0<16.【答案】(1)x216+y212=1

(2)由題意可知直線斜率存在，

當直線斜率為0時，顯然k1=k2=0，∴k1+k2=0；當直線斜率不為0時，設(shè)直線AB方程為x=my?8，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立方程x=my?8【解析】解：(1)由題意，橢圓焦點在x軸上，

且c=24a=16a2=b2+c2，解得a=4b=23c=2，

∴橢圓C的方程為x216+y212=1．

(2)證明：由題意可知直線斜率存在，

當直線斜率為0時，顯然k1=k2=0，∴k1+k2=0；

當直線斜率不為0時，設(shè)直線AB方程為x=my?8，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立方程x=my?8x216+y212=1，消去x整理得(3m17.【答案】an=2n+1

【解析】解：(1)已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，

a1=3，S2，S3+1，S5?3成等比數(shù)列，

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

由題意得，S2=a1+a2=d+6，

S3+1=3(a1+a3)2+1=3a2+1=3(a1+d)+1=3d+10，

S5?3=5(a1+a5)2?3=5a3?3=5(a1+2d)?3=10d+12，

根據(jù)等比中項可得，(S3+1)2=S2(S5?3)?(3d+10)2=(d+6)(10d+12)，

整理得d2+12d?28=(d+14)(d?2)=0，解得d=2或d=?14，

因為{18.【答案】答案見解析，2，6481．

(i)E(Y)=5apk；

(ii)當12<p<1時，增加2個元件設(shè)備正常工作的概率變大，

當0<p≤12時，增加2個元件設(shè)備正常工作的概率沒有變大，

當12<p<1時，增加【解析】(1)每個元件正常工作的概率均為p(0<p<1)，各元件之間相互獨立，

∵k=2，∴控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，

∵每個元件的工作相互獨立，且正常工作的概率均為p=23，∴X～B(3,23)，

∴P(X=0)=C30(23)0(1X0123P1248控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3×23=2，

p3產(chǎn)量4a0設(shè)備運行概率p1?∴升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量的期望為4ap產(chǎn)品類型高端產(chǎn)品一般產(chǎn)品產(chǎn)量(單位：件)a3a利潤(單位：元)21設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為2apk+3apk=5apk，即E(Y)=5apk．

(