第二章行列式學(xué)時(shí)：18學(xué)時(shí)。教學(xué)手段：課堂講授與學(xué)生自學(xué)提出問(wèn)題進(jìn)行討論相結(jié)合，教師輔導(dǎo)答疑，學(xué)生演練習(xí)題。根本內(nèi)容和教學(xué)目的：根本內(nèi)容：置換概念，行列式的定義、性質(zhì)及其計(jì)算。教學(xué)目的：1．準(zhǔn)確理解和掌握行列式的定義和性質(zhì)，2．能較為熟練地進(jìn)行行列式的計(jì)算。本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)行列式的計(jì)算難點(diǎn)行列式概念,行列式的展開(kāi)定理及用定義證明行列式性質(zhì)§2.1引言§2.1引言解方程是代數(shù)中一個(gè)根本問(wèn)題，在中學(xué)我們學(xué)過(guò)一元、二元、三元以至四元一次線性方程組。在解線性方程組時(shí)，我們?cè)么胂ê图訙p消元法來(lái)解線性方程組。例如，對(duì)二元一次方程組〔〕利用加減消元法，由和得假設(shè)，那么有我們用記號(hào)表示，+－假設(shè)，那么是方程組〔〕的公式解。對(duì)三元一次線性方程組〔〕假設(shè)+－那么是方程組〔〕的公式解。這里是分別用代替中第1列，第2列，第3列所得的行列式。由此，我們引入了二階行列式和三階行列式的定義，同時(shí)給出了二元一次和三元一次線性方程組的公式解。我們自然要問(wèn)，對(duì)于n元一次線性方程組〔〕是否也有類似于〔2.1.1)、〔〕的公式解？這首先就必須解決：能否把二階、三階行列式推廣到n階行列式？要解決這個(gè)問(wèn)題，必須答復(fù)以下一系列問(wèn)題：這個(gè)n階行列式如何定義？n階行列式中一共包含有多少項(xiàng)？每一項(xiàng)由哪些元素組成？哪些項(xiàng)前面帶正號(hào)？哪些項(xiàng)前面帶負(fù)號(hào)？有了n階行列式的定義后，我們才能研究方程組〔〕有沒(méi)有類似于二元、三元方程組的公式解?！?.2排列一、排列與對(duì)換排列的定義：由n個(gè)數(shù)碼1，2，…，n組成的一個(gè)無(wú)重復(fù)的有序數(shù)組稱為這n個(gè)數(shù)碼的一個(gè)排列，簡(jiǎn)稱為n元排列。例如，312是一個(gè)3元排列，2341是一個(gè)4元排列，45321是一個(gè)5元排列，等等。3元排列共有多少種不同的排列？123132213231312321n元排列共有多少種不同的排列？在n元排列中，只有123…n這個(gè)排列是按自然順序排列，其他排列或多或少破壞自然排列。反序的定義：在一個(gè)n元排列中，如果有一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼前面，那么稱這兩個(gè)數(shù)碼在這個(gè)排列中構(gòu)成一個(gè)反序，一個(gè)n元排列中所有反序的總和稱為這個(gè)排列的反序數(shù)，記為或。例如：一般地，這是計(jì)算一個(gè)n元排列的反序數(shù)的一般方法，特別在證明題中有用。對(duì)換的定義：在一個(gè)n元排列中，如果交換某兩個(gè)數(shù)碼的位置而別的數(shù)碼不動(dòng)，那么稱對(duì)這個(gè)排列施行了一個(gè)對(duì)換。如果交換的兩個(gè)數(shù)碼是和，就把這個(gè)對(duì)換記為例如問(wèn)題1：任意兩個(gè)n元排列是否可經(jīng)一系列對(duì)換而互變？引理1：

任意一個(gè)n元排列可經(jīng)一系列對(duì)換變?yōu)樽匀慌帕?2…n。證明〔用歸納法〕：1、當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論顯然成立。2、假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1元排列成立，〔1〕那么對(duì)任一個(gè)n元排列，假設(shè)，那么由歸納假設(shè)知可經(jīng)一系列對(duì)換變?yōu)?2…〔n-1〕。于是經(jīng)同樣一系列的對(duì)換，變?yōu)?2…(n-1)n；〔2〕假設(shè)，設(shè)，于是經(jīng)一次對(duì)換，得由〔1〕知，經(jīng)一系列對(duì)換可把變?yōu)?2…n。因而可經(jīng)一系列變換變?yōu)?2…n。(證畢)由于對(duì)換是可逆的，因此有推論1：自然排列12…n可經(jīng)一系列的對(duì)換變到任意一個(gè)n元排列：。由引理1和推論1，我們圓滿地解決上面提出的問(wèn)題1，這就是：定理：任意兩個(gè)n元排列可經(jīng)一系列對(duì)換互化。問(wèn)題2：排列的反序數(shù)可以是，反序數(shù)究竟有何作用？二、排列的奇偶性。排列的奇偶性：如果一個(gè)n元排列的反序數(shù)是一個(gè)奇數(shù)，那么稱該排列為奇排列，反序數(shù)是偶數(shù)的排列稱為偶排列。例如：是奇排列，而是偶排列。問(wèn)題3：對(duì)n元排列施行一次對(duì)換，對(duì)排列的奇偶性有沒(méi)有影響？例如，，。定理：每一個(gè)對(duì)換均改變排列的奇偶性。證明：〔先特殊后一般〕1、先考慮特殊情況，即對(duì)換的兩個(gè)數(shù)在n元排列中是相鄰的。設(shè)排列〔1〕：化為排列〔2〕：，在排列〔1〕中，假設(shè)與其他數(shù)構(gòu)成反序，那么在排列〔2〕中仍然構(gòu)成反序；假設(shè)與其他數(shù)不構(gòu)成反序的，那么在排列〔2〕中也不構(gòu)成反序。不同的是的順序發(fā)生變化，假設(shè)在〔1〕中構(gòu)成一個(gè)反序，那么在〔2〕中經(jīng)對(duì)換(j,k)不構(gòu)成反序，或在〔1〕中不構(gòu)成一個(gè)反序，那么在〔2〕中構(gòu)成一個(gè)反序。無(wú)論是減少還是增加一個(gè)反序，排列反序數(shù)的奇偶性均發(fā)生變化，因此定理成立。2、再考慮一般情況，設(shè)排列為〔3〕：經(jīng)對(duì)換后化為排列〔4〕：這樣一個(gè)對(duì)換可以經(jīng)由一系列相鄰數(shù)碼的對(duì)換來(lái)實(shí)現(xiàn)。從〔3〕出發(fā)，依次把與對(duì)換，與對(duì)換，…，與對(duì)換。經(jīng)過(guò)S+1次相鄰數(shù)碼的對(duì)換，排列〔3〕化為排列〔5〕：；再把依次與對(duì)換，那么經(jīng)S次相鄰數(shù)碼的對(duì)換，排列〔5〕就化為排列〔4〕。故經(jīng)2S+1相鄰數(shù)碼的對(duì)換，就把排列〔3〕化為排列〔4〕。由第一步知每一次相鄰位置的對(duì)換均改變排列的奇偶性，因此，奇數(shù)次的對(duì)換的最終結(jié)果仍然改變排列的奇偶性。問(wèn)題4：在全體n元排列中，究竟是奇排列多還是偶排列多？定理：當(dāng)時(shí)，在n!個(gè)n元排列中，奇、偶排列各占一半，即各有個(gè)。證明：由于，故由定理知，在n元排列中總有奇排列和偶排列，設(shè)在n!個(gè)n元排列中，有S個(gè)奇排列和T個(gè)偶排列。把S個(gè)奇排列中的每一個(gè)排列的任兩個(gè)數(shù)碼對(duì)換，這S個(gè)奇排列就都變成偶排列，但總共只有T個(gè)偶排列，故。同理對(duì)T個(gè)偶排列中每一個(gè)進(jìn)行對(duì)換，得。因此，又，§2.3n階行列式的定義問(wèn)題：如何定義n階行列式？、二階與三階行列式的構(gòu)造特點(diǎn)：〔1〕二階行列式是一個(gè)含有項(xiàng)的代數(shù)和；〔2〕每一項(xiàng)都是兩個(gè)元素的乘積，這兩個(gè)元素既位于不同的行，又位于不同的列，并且展開(kāi)式恰好是由所有這些可能的乘積組成；〔3〕任意項(xiàng)中每個(gè)元素都帶有兩個(gè)下標(biāo)，第一個(gè)下標(biāo)表示元素所在行的位置，第二個(gè)下標(biāo)表示該元素所在列的位置。當(dāng)把每一項(xiàng)乘積的元素按行指標(biāo)排成自然順序后，每一項(xiàng)乘積的符號(hào)由這一項(xiàng)元素的列指標(biāo)所成的排列的奇偶性決定，奇排列取負(fù)號(hào)，偶排列取正號(hào)。對(duì)三階行列式也有相同的特點(diǎn)特點(diǎn)：〔1〕共有3！項(xiàng)的代數(shù)和；〔2〕每一項(xiàng)為哪一項(xiàng)三個(gè)元素的乘積，這三個(gè)元素既位于不同的行又位于不同的列，展開(kāi)式恰由所有這些可能的乘積組成；〔3〕當(dāng)把每一項(xiàng)乘積的元素按行下標(biāo)排成自然順序后，每一項(xiàng)的符號(hào)由這一項(xiàng)元素的列指標(biāo)所成的排列的奇偶性決定。二、n階行列式的定義1、為一個(gè)n階行列式，它等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和，這里是的一個(gè)排列。每一項(xiàng)中把行下標(biāo)按自然順序排列后，其符號(hào)由列下標(biāo)排列的奇偶性決定。當(dāng)偶排列時(shí)取正號(hào)，當(dāng)是是奇排列時(shí)取負(fù)號(hào)，即

根據(jù)定義可知：n階行列式共由n!項(xiàng)組成；要計(jì)算n階行列式，首先作出所有可能的位于不同行不同列元素構(gòu)成的乘積；把構(gòu)成這些乘積的元素的行下標(biāo)排成自然順序，其符號(hào)由列下標(biāo)所成排列的奇偶性決定；n階行列式的定義是二、三階行列式的推廣。2、例子例：計(jì)算行列式例：計(jì)算行列式例：用行列式定義計(jì)算例：設(shè)問(wèn)：是不是四階行列式的項(xiàng)？如果是，應(yīng)取何符號(hào)？是，取符號(hào)：-1是，取符號(hào)：-1例：設(shè)問(wèn)：〔1〕dhsy與ptaz是否為的項(xiàng)？應(yīng)取何符號(hào)？〔2〕含有t的項(xiàng)有多少？〔6項(xiàng)〕注：在一個(gè)行列式中，通常所寫的元素本身不一定有下標(biāo)，即使有下標(biāo)，其下標(biāo)也不一定與這個(gè)元素本身所在的行與列的位置完全一致。因此要確定一項(xiàng)的符號(hào)，必須按照各元素在行列式中實(shí)際所在的行與列的序數(shù)計(jì)算。在一般情況下，把n階行列式中第i行與第j列交叉位置上的元素記為在行列式中，從左上角到右下角這條對(duì)角線稱為主對(duì)角線定理在n階行列式中，項(xiàng)所帶的符號(hào)是證明：1、交換項(xiàng)—(1)中任兩個(gè)元素與的位置，不改變把〔1〕中與對(duì)換后得—(2)由于對(duì)換改變排列的奇偶性,故與與的奇偶性互化，2、逐次交換〔1〕中的元素的次序，可以把〔1〕化為故—(3)+與有相同的奇偶性+的奇偶性。—〔4〕而〔4〕的行下標(biāo)與列下標(biāo)所成排列和的奇偶性與〔3〕相同，于是因此項(xiàng)所帶的符號(hào)是注：本定理說(shuō)明在確定行列式中某項(xiàng)應(yīng)取的符號(hào)時(shí)，可以同時(shí)考慮該項(xiàng)行排列與列排列的反序數(shù)之和，而不一定要把行下標(biāo)排成自然順序。例：試確定四階行列式中項(xiàng)的符號(hào)，寫出四階行列式中包含且取正號(hào)的所有項(xiàng)。解所帶符號(hào)是:取正號(hào)的項(xiàng)包括，幾種特殊的行列式：對(duì)角形行列式上三角行列式下三角行列式§2.4行列式的根本性質(zhì)直接用定義計(jì)算行列式是很麻煩的事，本節(jié)要導(dǎo)出行列式運(yùn)算的一些性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，將使行列式的計(jì)算大為簡(jiǎn)化。轉(zhuǎn)置行列式：把n階行列式的第i行變?yōu)榈趇列〔i=1，2，…，n〕所得的行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，用表示。性質(zhì)1：行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式相等?！厕D(zhuǎn)置變換〕證：考察D的任意項(xiàng)—〔1〕它是取自D的不同行不同列的n個(gè)元素的乘積，因而也是取自的第行，1，2，…，n列的n個(gè)元素的乘積，因而也是中的一項(xiàng):—〔2〕?！?〕項(xiàng)所帶的符號(hào)是,(2)項(xiàng)所帶的符號(hào)也是。因而D中的任一項(xiàng)均為中的項(xiàng)而且所帶的符號(hào)也相同。同理可知中的任一項(xiàng)也是D中的項(xiàng)且所帶的符號(hào)相同。因此D=性質(zhì)1說(shuō)明，在行列式中，行與列的地位是相同的。但凡對(duì)行成立的性質(zhì)，對(duì)列也同樣成立。性質(zhì)2：把行列式D中某一行〔列〕的所有元素同乘以常數(shù)k，相當(dāng)于用數(shù)k乘這個(gè)行列式，即〔倍法變換〕證明：推論1：一個(gè)行列式中某一行〔列〕所有元素的公因式可以提到行列式的符號(hào)外面。推論2：如果行列式中某一行〔列〕所有元素都為零，那么這個(gè)行列式等于零。在性質(zhì)2中，取k=0，即知結(jié)論成立。性質(zhì)3：交換行列式D中的某兩行〔列〕，行列式變號(hào)?！矒Q法變換〕即設(shè)那么有：證：取D中任一項(xiàng)：—〔1〕它所帶的符號(hào)是：，顯然也是中的一項(xiàng)，它所帶符號(hào)為：。由于對(duì)換改變排列的奇偶性，故D中的任一項(xiàng)與中對(duì)應(yīng)項(xiàng)剛好相差一個(gè)符號(hào)，故推論3：如果行列式中有兩行〔列〕的元素對(duì)應(yīng)相同，那么這個(gè)行列式等于零?！步粨Q這兩行〔列〕即知〕推論4：如果行列式中有兩行〔列〕的元素對(duì)應(yīng)成比例，那么這個(gè)行列式等于零。〔利用性質(zhì)2和推論3〕性質(zhì)4：如果行列式中某一行〔列〕中的所有元素都可表成兩項(xiàng)之和，那么該行列式可拆成兩個(gè)行列式之和，即〔拆法變換〕證明：性質(zhì)5：把行列式中某一行〔列〕的所有元素同乘上一個(gè)數(shù)k再加到另一行〔列〕的對(duì)應(yīng)元素上，所得行列式與原行列式相等?！蚕ㄗ儞Q〕即利用性質(zhì)4和推論4即知。例2.4.1計(jì)算行列式例2.4.2計(jì)算行列式定理：任一個(gè)n階行列式都可以利用性質(zhì)5中的行或列變換化為一個(gè)與其相等的上〔下〕三角行列式。證明：設(shè)1、先設(shè)D中第一列元素不全為零，假設(shè)那么把第i行所有元素同乘1加到第一行上，那么故不妨設(shè)把第一行依次乘以后分別加到第2行，…，第n行，那么—〔1〕假設(shè)D中第一列元素全為零，那么D已經(jīng)是〔1〕的形式?，F(xiàn)對(duì)〔1〕中第二列的進(jìn)行考慮，同上類似，先設(shè)它們不全為零，不妨設(shè)，那么利用上面相似的方法，可得仿此不斷進(jìn)行下去，就可把D化為上三角行列式。例2.4.3計(jì)算n階行列式解法一：法二：在一個(gè)n階行列式中，假設(shè)有，那么稱為n階對(duì)稱行列式；假設(shè)有那么稱為反對(duì)稱行列式。例2.4.4奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式等于0。證明：設(shè)為奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式。由于得于是例2.4.5(思考題)計(jì)算n階行列式§2.5行列式依行〔列〕展開(kāi)上一節(jié)我們利用行列式的性質(zhì)把一個(gè)行列式化為上三角或下三角行列式，然后根據(jù)定義算出行列式的值，或者把一個(gè)行列式化成其中含有盡量多個(gè)零的行列式，然后算出行列式的值。本節(jié)我們沿著另一條思路來(lái)計(jì)算行列式的值，即通過(guò)把高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式來(lái)計(jì)算行列式的值。例如如果我們能把n階行列式轉(zhuǎn)化為n-1階行列式，把n-1階行列式轉(zhuǎn)化為n-2階，…，而行列式的階數(shù)越小越容易計(jì)算，我們就可以化繁為簡(jiǎn)，化難為易，從而盡快算出行列式的值。為了這個(gè)目的，我們需引進(jìn)如下概念：一、余子式和代數(shù)行列式定義1〔余子式〕：在一個(gè)n階行列式中，劃去元素所在的行和列，余下的元素構(gòu)成一個(gè)n-1階子式，稱為元素

的余子式，記為定義2〔代數(shù)余子式〕：的余子式附以符號(hào)后，稱為元素的代數(shù)余子式，記為。例2.5.1.在行列式中，求元素p和s的余子式和代數(shù)余子式。二、行列式依行〔列〕展開(kāi)先考慮比較特殊的情況，即一個(gè)n階行列式中某一行〔列〕除一個(gè)元素外，其余元素都為零的情況，這時(shí)有以下引理。引理：如果行列式中，第i行〔或第j列〕中元素除了外其余都是零，那么證明：1、D中第一行元素除外其余皆為零，這時(shí)2、假設(shè)D中第i行除外其余皆為零，這時(shí)此時(shí)把D中的第i行依次與第i-1行，第i-2行，…，第1行對(duì)換，再把第j列依次與第j-1列，第j-2列，…，第1列對(duì)換，這樣共經(jīng)過(guò)〔i-1〕+〔j-1〕次行與列的對(duì)換，那么D轉(zhuǎn)化為注意到行列式中任兩行〔列〕的對(duì)換改變行列式的符號(hào)，故3、行列式依行〔列〕展開(kāi)定理2.5.1行列式等于它的任意一行〔列〕中所有元素與其代數(shù)余子式乘積的和，即有或證：定理2.5.2.行列式中，某一行〔列〕中元素與另一行〔列〕中對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即有考察行列式然后按第j行展開(kāi)即知。例2.5.2.計(jì)算行列式解：例2.5.3計(jì)算行列式解：計(jì)算行列式的一個(gè)根本方法是：先利用行列式的性質(zhì)把某行〔列〕化成有盡可能多的零，然后把行列式按這行〔列〕展開(kāi)，這樣計(jì)算要簡(jiǎn)單。如果不分青紅皂白把行列式降階，由于要計(jì)算的行列式個(gè)數(shù)成倍增多，那么計(jì)算量未必減少。例2.5.4計(jì)算范德蒙行列式解：這種計(jì)算行列式的方法稱為遞推法證明范德蒙行列式也可用歸納法證之§2.6行列式的計(jì)算對(duì)一般的數(shù)字行列式，如果它的元素之間沒(méi)有特定的規(guī)律，其計(jì)算方法是：1〕利用行列式性質(zhì)把它化為上三角或下三角行列式，那么行列式的值等于其主對(duì)角線上元素的連乘積；2〕選定某一行〔列〕，利用行列式性質(zhì)把其中元素盡可能多的化為0；然后按這一行〔列〕展開(kāi)，如此繼續(xù)下去可得結(jié)果。如果行列式的元素之間有某種規(guī)律，特別是含字母或式子的行列式，那么需根據(jù)不同情況采用不同方法加以計(jì)算，這方面的計(jì)算頗有技巧性，下面介紹一些典型方法。一、各行〔列〕倍數(shù)總加法例：計(jì)算解：練習(xí)1計(jì)算二、逐行〔列〕倍數(shù)依次相加法例2.6.2計(jì)算〔依次把第n列，第n-1列，…，第2列乘x加到第n-1列，…2，1列〕三、遞推法例2.6.3計(jì)算范德蒙行列式解：四、加邊法例2.6.4計(jì)算解：當(dāng)時(shí)，故五、歸納法例2.6.75計(jì)算解：我們猜測(cè)證明：當(dāng)n=2,3時(shí)，結(jié)論成立。假設(shè)結(jié)論對(duì)n-2階，n-3階行列式成立，即那么對(duì)n階行列式練習(xí)2計(jì)算§2.7Gramer法那么行列式理論在解一類特殊的線性方程組方面有重要應(yīng)用，對(duì)于二元一次和三元一次方程組，當(dāng)方程組的系數(shù)行列式不為0時(shí)，方程組有唯一的公式解。對(duì)于n元一次方程組，相應(yīng)的結(jié)論也成立，這就是下面要介紹的Gramer法那么。設(shè)n元一次線性方程組為—〔1〕稱為這個(gè)方程組的系數(shù)行列式。把D中的第j列換成常數(shù)列后所得行列式記為那么定理2.7.1〔Gramer法那么〕：如果線性方程組〔1〕的系數(shù)行列式有唯一解，其解為：，那么這個(gè)方程組—〔2〕其中是把D中的第j列元素?fù)Q成常數(shù)項(xiàng)所得的行列式，該定理包括三個(gè)結(jié)論：方程組在時(shí)有解；解是唯一的；解由公式〔2〕給出。這三個(gè)結(jié)論相互之間有聯(lián)系，因此證明的步驟是：1、把〔2〕代入方程組，驗(yàn)證它是方程組〔1〕的解；2、假設(shè)方程組有解，那么它的解必可由公式〔2〕給出。證：把方程組簡(jiǎn)寫成首先證明公式〔2〕確是方程組〔1〕的解。把代入第i個(gè)方程得：因此確是方程組〔1〕的解。再證方程組〔1〕的解必由公式〔2〕給出。設(shè)是方程組〔1〕的任一解，那么有—〔3〕用D中第j列元素的代數(shù)余子式依次乘以〔3〕中每個(gè)方程得把這n個(gè)方程相加得：而例2.7.1解線性方程組解：由于方程組的系數(shù)行列式故方程組有唯一解。由于方程組的解是注意：克萊姆法那么只適用于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等，且系數(shù)行列式不等于零的線性方程組。如果方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)不相等或雖相等，但系數(shù)行列式等于零，克萊姆法那么失效。如果在線性方程組〔1〕中常數(shù)項(xiàng)全為零，即有—〔4〕稱方程組〔4〕為齊次線性方程組，這種方程組顯然有解：稱其為零解。齊次線性方程組如果有其他的解，那么稱為非零解。我們關(guān)心方程組〔4〕什么時(shí)候有非零解。定理：

假設(shè)齊次線性方程組〔4〕的系數(shù)行列式，那么方程組〔4〕只有零解。證：由Gramer法那么，方程組〔4〕只有唯一解：但由于推論：齊次線性方程組〔4〕有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式等于零。例2.7.2當(dāng)取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解。解：當(dāng)或時(shí)，方程組有非零解?！?.8Laplace展開(kāi)定理利用行列式的依行〔列〕展開(kāi)可以把n階行列式化為n-1階行列式來(lái)處理，這在簡(jiǎn)化計(jì)算以及證明中都有很好的應(yīng)用。但有時(shí)我們希望根據(jù)行列式的構(gòu)造把n階行列式一下降為n-k階行列式來(lái)處理，這是必須利用Laplace展開(kāi)定理。為了說(shuō)明這個(gè)方法，先把余子式和代數(shù)余子式的概念加以推廣。定義〔k階子式和它的余子式〕：在n階行列式D中，任意取定k行或k列〔〕，設(shè)為第行和第列。位于這些行列式交叉位置上的元素構(gòu)成的k階子式記為N，那么在D中劃去這k行k列后，余下的元素按照原來(lái)相對(duì)位置所構(gòu)成的n-k階子式，稱為子式N的余子式。定義〔代數(shù)余子式〕：N的余子式M附以符號(hào)，即稱為N的代數(shù)余子式。注意：1、當(dāng)k=1時(shí)，上面定義的余子式和代數(shù)余子式就是§2.5中關(guān)于一個(gè)元素的余子式和代數(shù)余子式。2、M是N的余子式，N便是M的余子式，M、N互為余子式。例2.8.1寫出行列式第三行所得的所有二階子式及它們的余子式和代數(shù)余式。二階子式共有中取定第一行和個(gè)。引理：n階行列式D的任一個(gè)子式N與它的代數(shù)余子式乘積中的每一項(xiàng)都是行列式D的展開(kāi)式中的一項(xiàng)，而且符號(hào)也一致。證明：首先考慮N位于行列式D的左上方〔即第1，2，…，k行和第1，2，…，k列〕的情況。這時(shí)D中k階子式N的余子式位于右下角，其代數(shù)余子式為N的每一項(xiàng)可寫作：，其中是1，2，…，k的一個(gè)排列。所以這一項(xiàng)前面所帶符號(hào)為：，中每一項(xiàng)可寫為其中是k+1,k+2,…,n的一個(gè)排列。這一項(xiàng)在M中所帶的符號(hào)是：〔或〕。這兩項(xiàng)的乘積是：所帶的符號(hào)是：由于都比k大，所以上述符號(hào)等于。因此這個(gè)乘積是行列式D中的一項(xiàng)