PAGEI高等代數(shù)知識(shí)在幾何學(xué)中若干應(yīng)用研究摘要在大學(xué)一年級(jí)時(shí)，有兩門數(shù)學(xué)課程是同時(shí)開(kāi)展的，那便是《高等代數(shù)》和《解析幾何》，由于《高等代數(shù)》與《解析幾何》的特殊關(guān)系，在很多時(shí)候是利用《高等代數(shù)》知識(shí)去解決《解析幾何》，尤其是遇到比較麻煩的幾何問(wèn)題時(shí)，我們通常將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為高等代數(shù)知識(shí)，再去解決。古今中外，有許多學(xué)者對(duì)于《高等代數(shù)》與《解析幾何》之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，例如劉海琴（2018）在《高等代數(shù)與空間解析幾何的優(yōu)化教學(xué)》中探究了高等代數(shù)與解析幾何的相互轉(zhuǎn)化，相互證明的相關(guān)研究；而吳蘇（2020）在《高等代數(shù)在解析幾何問(wèn)題中的應(yīng)用研究》探討了在解析幾何問(wèn)題中，有哪些高等代數(shù)知識(shí)可以相應(yīng)的應(yīng)用；梁孟卓（2020）在文中也利用高等代數(shù)知識(shí)去解決平面和直線的位置等關(guān)系，這些都對(duì)《高等代數(shù)》和《解析幾何》之間的關(guān)系作出了詳細(xì)的闡述和說(shuō)明。而很少有學(xué)者能夠做到總體性地研究,即高等代數(shù)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用，系統(tǒng)的研究《高等代數(shù)》與《解析幾何》對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)知識(shí)與解析幾何知識(shí)有著重要的意義。關(guān)鍵詞：高等代數(shù)；解析幾何；應(yīng)用；關(guān)聯(lián)性目錄摘要 IAbstract II1、引言 42、相互滲透的知識(shí) 53、高等代數(shù)在幾何位置關(guān)系中的應(yīng)用及證明 63.1平面位置關(guān)系 63.2直線位置關(guān)系 83.3線面位置關(guān)系 94、高等代數(shù)在幾何向量關(guān)系中的應(yīng)用 11結(jié)語(yǔ) 12參考文獻(xiàn) 131、引言解析幾何課程是在大一與高等代數(shù)課程一起開(kāi)展的，我們知道在高等代數(shù)里，矩陣的應(yīng)用貫穿在整本書中，并且在高等代數(shù)中有一章著重講解了線性關(guān)系以及矩陣的拓展增廣矩陣；而在解析幾何中，平面內(nèi)與空間中的關(guān)系是我們的主要研究對(duì)象，在解析幾何的學(xué)習(xí)中，很多情況下為了便于理解與方便計(jì)算，我們會(huì)轉(zhuǎn)換為用高等代數(shù)里面的矩陣，行列式的運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題。在解析幾何的應(yīng)用中，高等代數(shù)中的線性關(guān)系是我們解決解析幾何應(yīng)用的利器，例如判斷直線與直線的關(guān)系，直線與面的關(guān)系，面與面的關(guān)系的時(shí)候，我們可以利用已知的矩陣的秩與增廣矩陣的秩的大小進(jìn)行比較[1]。幾何概念可以用代數(shù)方式展現(xiàn)，幾何中抽象的運(yùn)算也可以通過(guò)代數(shù)中的方法來(lái)計(jì)算；相反，幾何對(duì)于代數(shù)的意義在于它使代數(shù)語(yǔ)言得到了形象的展現(xiàn)，使代數(shù)語(yǔ)言變得更加直觀，便于理解其中的聯(lián)系與得到新的啟示，推動(dòng)數(shù)學(xué)世界的發(fā)展。只要高等代數(shù)與解析幾何不被聯(lián)系在一起學(xué)習(xí)與研究，必然會(huì)減緩它們發(fā)展的腳步，其應(yīng)用范圍也會(huì)狹隘許多。但是當(dāng)這兩門學(xué)科共同學(xué)習(xí)與探究時(shí)，它們就相輔相成，相互促進(jìn)，共同讓數(shù)學(xué)世界變得更加圓滿[2]。空間中的直線及平面都是我們?cè)诮馕鰩缀沃谐Ｒ?jiàn)的基礎(chǔ)內(nèi)容，自然來(lái)看，直線與平面的位置關(guān)系的判斷與分析也是解析幾何研究中的一項(xiàng)基本內(nèi)容。但是，我們發(fā)現(xiàn)通過(guò)閱讀每個(gè)大學(xué)的不同解析幾何的課本，發(fā)現(xiàn)很多課本對(duì)于直線與平面的位置關(guān)系重點(diǎn)放在了它們的對(duì)稱式方程與點(diǎn)法式方程上，并且利用高等代數(shù)知識(shí)去解決。而本文將通過(guò)運(yùn)用矩陣及其秩來(lái)證明對(duì)平面和直線的位置關(guān)系、平面與平面位置關(guān)系、兩直線位置關(guān)系以及向量之間的關(guān)系[3-4]。2、相互滲透的知識(shí)高等代數(shù)是一門討論維度有限情況下的線性空間以及線性理論為主要內(nèi)容的課程，其內(nèi)容邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，且相對(duì)抽象，是通過(guò)公理化來(lái)表述的，解析幾何是一門研究平面內(nèi)及空間中關(guān)系的一門課程，空間解析幾何對(duì)于空間想象能力以及向量相關(guān)的計(jì)算能力的要求較高。將高等代數(shù)知識(shí)運(yùn)用到幾何學(xué)中去解決幾何學(xué)的問(wèn)題，是本文重點(diǎn)探討的問(wèn)題，具體思路為首先找到高等代數(shù)與解析幾何之間的聯(lián)系，通過(guò)大學(xué)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，我們不難發(fā)現(xiàn)，高等代數(shù)中的向量知識(shí)是一個(gè)非常好的切入點(diǎn)，幾何向量作為線性空間的一個(gè)極好的表現(xiàn)形式，它簡(jiǎn)潔明了且直觀，是數(shù)形結(jié)合最合適的媒介，把高等代數(shù)知識(shí)與幾何學(xué)巧妙地連接起來(lái)。對(duì)于平面幾何與空間幾何知識(shí)的引入，我們可以借用高等代數(shù)中線性空間和線性變換內(nèi)容，對(duì)于抽象的幾何學(xué)內(nèi)容來(lái)說(shuō)，將抽象內(nèi)容轉(zhuǎn)變成數(shù)量的計(jì)算形式，這樣，解析幾何就不再是抽象而又晦澀難懂的內(nèi)容，在理解甚至是教學(xué)這些內(nèi)容的時(shí)候，都簡(jiǎn)單很多。例如：將二次曲面和二次型內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)學(xué)習(xí)，不僅便于理解，更利于學(xué)習(xí)者理解數(shù)學(xué)中不同課程之間的聯(lián)系。解析幾何在高等代數(shù)中的映射如下：對(duì)向量代數(shù)知識(shí)來(lái)說(shuō)，從2維和3維幾何空間引入后，在學(xué)習(xí)及教學(xué)相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)的同時(shí)，隨著空間維數(shù)的增加理所當(dāng)然地推廣到n組向量；對(duì)線性空間知識(shí)部分來(lái)說(shuō)，從向量之間的基本運(yùn)算下手，再利用大量的例證闡述；對(duì)線性變換知識(shí)部分，通過(guò)實(shí)數(shù)軸的函數(shù)運(yùn)算作為模型，同樣利用大量例證[5-9]。高等代數(shù)是研究幾何的一種科學(xué)技術(shù)，為研究解析幾何相關(guān)知識(shí)提供技術(shù)與方法支持。為了更好的學(xué)習(xí)幾何學(xué)的概念方法等相關(guān)知識(shí)，我們利用線性數(shù)學(xué)的知識(shí)來(lái)定義、形容和表述。由于高等代數(shù)與解析幾何有著密不可分的關(guān)系，在高等代數(shù)中，許多知識(shí)點(diǎn)的引入、陳說(shuō)也用到了解析幾何中的相關(guān)知識(shí)，例如線性空間的定義描述，就是通過(guò)解析幾何中的二維幾何空間及三維幾何空間模型，據(jù)此延展開(kāi)來(lái)，高等代數(shù)與解析幾何存在著密不可分的緊密聯(lián)系，對(duì)于解析幾何來(lái)說(shuō)，它的一維、二維、三維空間知識(shí)是線性代數(shù)中n

維空間知識(shí)的特殊情況體現(xiàn)，而對(duì)于線性空間中的大部分理論來(lái)說(shuō)，它又是一維、二維、三維幾何空間的延伸[10]。3、高等代數(shù)在幾何位置關(guān)系中的應(yīng)用及證明3.1平面位置關(guān)系我們都知道兩個(gè)平面之間只存在相交、平行、重合這三種位置關(guān)系。定理1：設(shè)兩個(gè)平面方程為當(dāng)Ⅰ與Ⅱ平行時(shí)，當(dāng)Ⅰ與Ⅱ相交時(shí)，不全相等當(dāng)Ⅰ與Ⅱ重合時(shí)，而用矩陣的表示則為當(dāng)Ⅰ與Ⅱ平行時(shí)，當(dāng)Ⅰ與Ⅱ相交時(shí)，當(dāng)Ⅰ與Ⅱ重合時(shí)，其中;證明：一般地，我們易建立線性方程組，下面我們Ⅰ與Ⅱ平行，則方程組無(wú)解，Ⅰ與Ⅱ無(wú)公共點(diǎn)，即由R(A)=1,可設(shè)，又，所以0，即，結(jié)論已成立。（2）Ⅰ與Ⅱ重合，即方程組有無(wú)窮個(gè)解而且只有一個(gè)方程，即當(dāng)且僅當(dāng)，，結(jié)論2成立。（3）Ⅰ與Ⅱ相交，即方程組有無(wú)窮個(gè)解而且有兩個(gè)不同的方程，即，，結(jié)論3成立。例1.求過(guò)一點(diǎn)（-1，2，4），并且這一點(diǎn)與平面和平面交線的平面方程。解：因?yàn)槠矫娼?jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，2，4），所以可設(shè)平面方程為,即所組成的方程組為由定理1我們可以得到，若兩平面相交則有，其中，，即則所求的平面方程為：4（x+1）-3(y-2)=03.2直線位置關(guān)系我們都知道兩條直線只存在相交、平行、重合與異面四種位置關(guān)系。定理2：設(shè)兩條直線的方程為，1. 直線與直線相交的充分必要的條件為：2.直線與直線重合的充分必要的條件為：3. 直線與直線平行的充分必要的條件為：4.直線與直線異面的充分必要的條件為：其中，證明：建立線性方程組下面我們討論有關(guān)線性方程組解的情況，我們易知道或者當(dāng)R(A)=2時(shí)（由非齊次線性方程組解的情況可知）=2,方程組有無(wú)窮解且直線與直線方向向量共線，則L1與L2重合，結(jié)論2成立。=3,線性方程組無(wú)解且直線與直線的方向向量共線,則L1與L2平行，結(jié)論3成立。當(dāng)R（A）=3=3,線性方程組有唯一解,則直線與直線相交,結(jié)論1成立。=4,線性方程組無(wú)解且直線與直線的方向向量不共線,則與L2異面，結(jié)論4成立。例2.嘗試判斷直線與直線的位置關(guān)系：：解：因?yàn)锳=,則R(A)=3,則R()=4即R(A)=3，R()=4，由定理2知直線與直線異面。3.3線面位置關(guān)系我們知道空間直線與平面一定有3種位置關(guān)系，分別為：相交、平行、直線在平面上。定理3：與平面：AX+BY+CZ+D=0的位置關(guān)系：直線與平面相交的充分必要條件為直線與平面平行的充分必要條件為直線在平面上的充分必要條件為其中，證明：顯然，我們可以建立線性方程組，且可以討論線性方程組解的情況，我們?nèi)菀椎玫剑?）當(dāng)R（A）=2時(shí)①R（）=2,線性方程組有無(wú)窮多解,即直線L與平面Π有無(wú)窮多交點(diǎn),直線L在平面Π上，結(jié)論3成立。②,線性方程組沒(méi)有解,即直線L與平面Π沒(méi)有交點(diǎn),則有直線L與平面Π相互平行，結(jié)論2成立。（2）當(dāng)R（A）=3時(shí)只有一種情況，線性方程組有唯一一個(gè)解，即直線與平面Π相交，結(jié)論1成立。例3.求過(guò)直線:與平面平行的平面方程。解：設(shè)我們所求的平面的方程為,因?yàn)樵撈矫媾c平面平行，所以我們?nèi)菀椎贸鲈O(shè)A=3t,B=2t,C=t,則該平面方程為3tX+2tY+tZ+D=0，建立線性方程組直線在平面上，由定理3得，該方程有無(wú)窮多解，則有=即，所以D=，所以該平面方程為3X+2Y+Z+=04、高等代數(shù)在幾何向量關(guān)系中的應(yīng)用記向量；（不全為零，不全為零，不全為零），則有若，即，則，，共面若，即，則，，異面其中證明：向量定理涉及三個(gè)向量，，共面問(wèn)題，注意到，，共面的充要條件是其中有一個(gè)向量可由其余兩個(gè)向量線性表示，于是若，即,于是，，線性相關(guān)，從而，，共面。若，即，于是，，線性相關(guān)，從而，，共面。一般地，向量共面的等價(jià)條件是該向量的極大無(wú)關(guān)組中至多只有兩個(gè)向量，從而共面的充要條件是。例4.判斷下列向量組是否共面，，，，，解：由，可知，故，，共面。由，可知，故不共面。結(jié)語(yǔ)將高等代數(shù)與解析幾何這兩門學(xué)科相互結(jié)合，可以使問(wèn)題更加簡(jiǎn)便化，同時(shí)更加的能激發(fā)同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，給數(shù)學(xué)注入活力。將高等代數(shù)知識(shí)運(yùn)用到解析幾何中，有利于學(xué)生在已知的結(jié)構(gòu)上進(jìn)行進(jìn)一步的完善，并且再次鞏固了高等代數(shù)知識(shí)[11-13]。利用已有的知識(shí)去學(xué)習(xí)新知識(shí)，相對(duì)而言是比較容易的。在判斷線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系、向量間的關(guān)系等時(shí)，利用代數(shù)的知識(shí)去求解也是比較簡(jiǎn)單的。對(duì)于老師來(lái)說(shuō)將高等代數(shù)知識(shí)運(yùn)用解析幾何中，能使解析幾何課程的教學(xué)效果提高，使計(jì)算簡(jiǎn)便化，并且培養(yǎng)了學(xué)生的主動(dòng)思維和創(chuàng)新思維具有促進(jìn)作用。在文中通過(guò)用高等代數(shù)知識(shí)中的矩陣中的秩去解釋說(shuō)明平面位置關(guān)系，直線位置關(guān)系，平面與直線的位置關(guān)系以及向量之間的關(guān)系。讓讀者進(jìn)一步去了解高等代數(shù)知識(shí)在解析幾何中的若干應(yīng)用，而代數(shù)知識(shí)在幾何學(xué)中的應(yīng)用也不止文中提到的，望讀者朋友前去探索發(fā)現(xiàn)。參考文獻(xiàn)[1]宋杰.《高等代數(shù)》課程中的若干數(shù)學(xué)思想方法[J]．韶關(guān)學(xué)院學(xué)報(bào),2009[2]倪淑琪,徐天長(zhǎng),李會(huì)葆,舒阿秀,郝慶一.《高等代數(shù)》與《解讀幾何》二課合一問(wèn)題研究[J]．安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào),2007[3]郁金祥.解空間結(jié)構(gòu)與幾何空間中線面關(guān)系的判定[J].高師理科學(xué)刊,2005[4]吳捷云.行列式在解讀幾何中的應(yīng)用[J].考試周刊,2018[5]胡源艷,梁燕來(lái),易亞利,凌征球.巧用代數(shù)方法解決解讀幾何中的某些問(wèn)題[J].玉林師范學(xué)院學(xué)報(bào),2018[6]馬艷琴.代數(shù)與幾何結(jié)合的應(yīng)用問(wèn)題研究[J].山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2018[7]楊先山.Cramer法則在解讀幾何中的應(yīng)用研究[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào),201