安徽壽縣部分學(xué)校聯(lián)考學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)1月期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共小題，每小題4分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義；熟練掌握二次函數(shù)解析式的一般形式（其中）是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的定義，形如（其中）的函數(shù)是二次函數(shù)．檢查各選項(xiàng)，只有選項(xiàng)B符合此定義．【詳解】解：二次函數(shù)要求自變量的最高次數(shù)為2，且系數(shù)不為0．選項(xiàng)A：，的最高次數(shù)為1，是一次函數(shù)；選項(xiàng)B：，的最高次數(shù)為2，且系數(shù)，符合定義；選項(xiàng)C：，分母有未知數(shù)，不是二次函數(shù)；選項(xiàng)D：，分母有未知數(shù)，不是二次函數(shù)；故選：B．2.關(guān)于的函數(shù)的圖象與軸有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.且B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)絕對(duì)值的意義將整理為，根據(jù)圖象與軸有四個(gè)不同的公共點(diǎn)得到判別式，代入列出不等式組求解即可．【詳解】解：∵第1頁(yè)/共25頁(yè)∴，由題意得，且當(dāng)時(shí)，，即，解得：．故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了絕對(duì)值的意義，二次函數(shù)的判別式和與x軸交點(diǎn)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握．拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：Δ＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；Δ＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；Δ＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．3.長(zhǎng)為，寬為的矩形，四個(gè)角上分別剪去邊長(zhǎng)為的小正方形，然后把四邊折起來，做成底面積為的無蓋的長(zhǎng)方體盒子，則與之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，由題意知剪去四個(gè)角的小正方形后，折成的無蓋長(zhǎng)方體盒子的底面長(zhǎng)和寬各減少的取值范圍即可確定函數(shù)關(guān)系式，理解題意是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵矩形原長(zhǎng)，寬，四個(gè)角剪去邊長(zhǎng)為的小正方形，∴折起后，長(zhǎng)方體底面的長(zhǎng)為，寬為，∴，又∵，且，，∴，∴函數(shù)關(guān)系式為，故選：．4.已知二次函數(shù)，則下列關(guān)于這個(gè)函數(shù)圖象和性質(zhì)的說法，正確的是（）第2頁(yè)/共25頁(yè)A.圖象的開口向上B.圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C.當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小D.函數(shù)有最大值為【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．將二次函數(shù)配方為頂點(diǎn)形式，分析開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線的增減性和最值．【詳解】解：，，∴拋物線開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，函數(shù)最大值為；故D正確．故選：D．5.如圖，已知直線，直線分別交直線，，于點(diǎn)，，，直線分別交直線，，于點(diǎn)，，，若，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，，故選：D．6.如圖，D是等邊△ABC邊AB上的一點(diǎn)，且AD：DB＝2：3，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)C與D重合，折痕為EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC和BC上，則CE：CF＝（）第3頁(yè)/共25頁(yè)A.B.C.D.【答案】A【解析】DE＝CECF＝DFAD＝2kDB＝3k性質(zhì)即可解決問題．詳解】解：設(shè)AD＝2k，則DB＝3k，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC＝5k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，∴∠EDA＋∠FDB＝120°，又∵∠EDA＋∠AED＝120°，∴∠FDB＝∠AED，∴△AED∽△BDF，由折疊得CE＝DE，CF＝DF，∴△AED的周長(zhǎng)為7k，△BDF的周長(zhǎng)為8k，∴△AED與△BDF的相似比為7：8，∴CE：CF＝DE：DF＝7：8．故選：A．【點(diǎn)睛】主要考查了翻折變換性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比，學(xué)會(huì)根據(jù)條件用字母表示相應(yīng)的線段長(zhǎng)度．7.是以坐標(biāo)原點(diǎn)O的坐標(biāo)分別為第4頁(yè)/共25頁(yè)．若的長(zhǎng)為3，則的長(zhǎng)為（）A.B.4C.D.5【答案】C【解析】【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到，證明，即可求解．【詳解】解：五邊形是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為∴，∵，∴，∴，∵，∴，故選：C．8.中，是角平分線，，的值是()第5頁(yè)/共25頁(yè)A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義；根據(jù)等腰三角形的性，而即可求解．【詳解】解：，，平分，，，，過點(diǎn)作，平分，，，即：，解得：，，第6頁(yè)/共25頁(yè)故選D．9.°，∠MBC=30°，則警示牌的高CD為（）A.4米B.（2+2）米C.（4﹣4）米D.（4﹣4）米【答案】D【解析】【分析】在Rt△CMB中求出CM，在Rt△ADM中求出DM即可解決問題．【詳解】在Rt△CMB中，∵∠CMB=90°，MB=AM+AB=12米，∠MBC=30°，∴CM=MB?tan30°=12×=4，在Rt△ADM中，∵∠AMD=90°，∠MAD=45°，∴∠MAD=∠MDA=45°，∴MD=AM=4米，∴CD=CM-DM=（4-4）米，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題中考?？碱}型．10.如圖，在中，，，為上任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接在上且，連接，則的最小值為（）第7頁(yè)/共25頁(yè)A.B.C.D.【答案】C【解析】三點(diǎn)共線的時(shí)，的值最小即可解答．【詳解】解：取的中點(diǎn)，∵為的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線的時(shí)，的值最小∴，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，直角三角形的性質(zhì)，中位線定理，掌握中位線定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共分．的圖象上有兩點(diǎn)A和Ba和bA作y第8頁(yè)/共25頁(yè)軸平行線，過點(diǎn)B作x軸平行線，交于點(diǎn)C，連接，若面積為2，則_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)k值的幾何意義是關(guān)鍵.延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，根據(jù)條件可得，繼而，利用反比例函數(shù)k值的幾何意義進(jìn)行解答即可.【詳解】解：延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，∵點(diǎn)和點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別是和，且，，∵軸，面積為，，，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，∴，∵反比例函數(shù)在第二象限，，第9頁(yè)/共25頁(yè)故答案為：12.如圖，表示垂直于地面的兩根電線桿的主視圖，線段AB和線段CD表示兩根電線桿，線段AD和BC表示兩根拉緊的鐵絲，AD和BC交于點(diǎn)PP距地面的高度為3CD的長(zhǎng)為______米．【答案】12【解析】【分析】過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，證明，，即可得到，，根據(jù)，即可求出的長(zhǎng)度．【詳解】解：過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，如圖所示∵，∴∴由題意可得：米，米∴∴∵，∴∴第10頁(yè)/共25頁(yè)∴∵∴∵∴∴米故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，找到等量關(guān)系，聯(lián)立方程是解答本題的關(guān)鍵．13..的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則的正弦值是__________．【答案】【解析】【詳解】分析：先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．詳解：∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，則sin∠BAC==．故答案為．點(diǎn)睛：本題考查的是勾股定理以及銳角三角函數(shù)，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．14.如圖，一艘船從處向北偏西的方向行駛3海里到處，再?gòu)奶幭蛘龞|方向行駛5海里到處，此時(shí)這艘船與出發(fā)點(diǎn)處相距__________海里.第11頁(yè)/共25頁(yè)【答案】【解析】【分析】此題考查了方向角、解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的三角函數(shù)得出，解答．根據(jù)直角三角形的三角函數(shù)得出，，進(jìn)而得出，利用勾股定理得出即可．【詳解】解：如圖：，，，海里，海里，海里，故答案為：．三、解答題：本大題共9小題，共分．15.計(jì)算：．【答案】【解析】第12頁(yè)/共25頁(yè)【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算．代入特殊角的三角函數(shù)值運(yùn)算即可．【詳解】解：．16.【答案】y=-x2+4x-3【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)題意設(shè)出拋物線的解析式為y=a（x-2）2+k．把A（1，0B（0，-3）的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法求得即可．試題解析：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x?2)2+k.把A(1,0),B(0,?3)的坐標(biāo)代入,得解得.∴y=?(x?2)2+1=?x2+4x?3.即這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=?x2+4x?3.17.如圖，已知和，邊、交于點(diǎn)，平分，平分，且．求證：．【答案】見解析【解析】第13頁(yè)/共25頁(yè)對(duì)應(yīng)的角相等的兩個(gè)三角形相似”即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．18.足球訓(xùn)練中球員從球門正前方9米的離3米處時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面3米．現(xiàn)以為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）已知球門高為【答案】（1）（2）球能射進(jìn)球門【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決是關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把第14頁(yè)/共25頁(yè)代入函數(shù)表達(dá)式即可解答；（2）把代入函數(shù)表達(dá)式即可求出y的值，然后做出判斷即可．【小問1詳解】解：由題意得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線，把點(diǎn)代入得：，解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，球能射進(jìn)球門．19.如圖，為的直徑，是的切線，過點(diǎn)作射線的垂線，垂足為．（1）求證：點(diǎn)是弧的中點(diǎn)；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，圓周角定理．（1）連接，證明，即可證明點(diǎn)是弧的中點(diǎn)；（2）連接，證明，列出比例式，計(jì)算即可．【小問1詳解】證明：連接，第15頁(yè)/共25頁(yè)∵，∴；∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)C是弧中點(diǎn)；【小問2詳解】解：連接，∵為的直徑，∴；∵∴，∴，∵；∴，第16頁(yè)/共25頁(yè)∴，∵，，∴，∴故．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線和直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)是直線上方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（32位于直線的坐標(biāo)．【答案】（1）；；（2）；（3）．【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，等腰直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．（1）用待定系數(shù)法可得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；直線的函數(shù)表達(dá)式為；第17頁(yè)/共25頁(yè)（2）過作軸交于，設(shè)，則，故，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；（3）過作交的延長(zhǎng)線于，過作軸，過作于，過作于，，即得，用待定系數(shù)法得直線函數(shù)表達(dá)式為，聯(lián)立方程組，即可解得點(diǎn)的坐標(biāo)．【小問1詳解】解：把、，代入，可得，解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入得，，解得，，直線的函數(shù)表達(dá)式為；【小問2詳解】解：過作軸交于，如圖所示：第18頁(yè)/共25頁(yè)設(shè)，則，，，，當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)的坐標(biāo)為；【小問3詳解】解：直線下方存在點(diǎn)，使得，理由如下：過作交的延長(zhǎng)線于作作于作于，如圖所示：由（2）知，，，，，是等腰直角三角形，，，第19頁(yè)/共25頁(yè)，，，，，，設(shè)直線的解析式為，把、的坐標(biāo)代入可得，，解得：直線的解析式為：，則解得，或的坐標(biāo)為．21.小明同學(xué)計(jì)劃測(cè)量小河對(duì)面一幢大樓的高度C處測(cè)得大樓頂部點(diǎn)B的仰角的度數(shù)，大樓底部點(diǎn)A的俯角的度數(shù)．然后在點(diǎn)C正下方點(diǎn)D處，測(cè)得大樓頂部點(diǎn)B的仰角，，，，，；，，）第20頁(yè)/共25頁(yè)【答案】大樓的高度約為．【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，過作于，過作于，則四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，解直角三角形即可得到結(jié)論，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過作于，過作于，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，設(shè)，中，，∴，第21頁(yè)/共25頁(yè)在中，，∴，∴，∴，∴，答：大樓的高度約為．22.如圖，在矩形ABCD中，E是邊AD上的一點(diǎn)，將△CDE沿CE折疊得到△CFE，點(diǎn)F恰好落在邊AB上．（1）證明：△AEF∽△BFC．（2）若AB=，BC=1，作線段CE的中垂線，交AB于點(diǎn)P，交CD于點(diǎn)Q，連結(jié)PE，PC．①求線段DQ的長(zhǎng)．②試判斷△PCE的形狀，并說明理由．【答案】（12）2-3）等腰直角三角形．【解析】1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知，從而得出，轉(zhuǎn)化得到相似；（2）連接EQ，根據(jù)AB=，BC=1計(jì)算出BF的長(zhǎng)度，從而判斷都是等腰直角三角形，算出AF、DE的長(zhǎng)度，再根據(jù)PQ是CE的垂直平分線得出EQ=CQ，設(shè)，則，解直角三角形算出x即可；（3）設(shè)，則，根據(jù)利用勾股定理建立等量關(guān)系解出再證明全等即可．1）∵將△CDE沿CE折疊得到△CFE∴∴又∵第22頁(yè)/共25頁(yè)∴∴△AEF∽△BFC（2）①連接EQ，PQ是CE的中垂線，如圖：∵AB=，BC=1，將△CDE沿CE折疊得到△CFE，四邊形ABCD是矩形∴∴都是等腰直角三角形∴設(shè)，則，在直角三角形DEQ中：，解得：故DQ的長(zhǎng)為