初中數(shù)學八年級上冊《2定義與命題》《3平行線的判

定》等（同步訓練）

目錄

《2定義與命題》同步訓練.........................................1

《3平行線的判定》同步訓練.......................................20

《2定義與命題》同步訓練（答案在后面）

一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）

1、卜列命題中，屬于真命題的是：

A.任意兩個銳角之和為90°

B.如果（/=⑻，那么（a二份

C.三角形內角和為180°

D.一個數(shù)的平方總是正數(shù)

2、已知（/〃+〃=①且（〃-〃=/）,貝等于多少？

A.4

B.5

C.6

D.7

3、己知命題：“如果a+b=O,那么a和b互為相反數(shù)?！迸袛嘁韵抡f法:

A.這是一個假命題

B.這是一個真命題

C.這是一個定理

D.無法判斷

4、下列哪個選項是命題？

A.今天的天氣很好

B.這本書很有趣

C.2+2=4

D.我喜歡吃蘋果

5、下列哪個選項是正確的？

A.任何兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)。

B.如果l—b"則a-b。

C.一個三角形中至少有兩個銳角。

D.若x?=4,則X=2。

6、下列哪個命題是真命題？

A.如果兩個角相等，則這兩個角是對頂角。

B.對頂角相等。

C.如果a>b,則a2>b2。

D.如果a>b,則a+c>b+co

7、下列命題中，正確的是（）

A.如果a>b,貝ija-b>0

B.兩個偶數(shù)的和是奇數(shù)

C.如果a=b,則a2=b2

D.所有的鳥都會飛

8、下列關于命題“如果p,則q”的逆命題是（）

A.如果q,則p

B.如果非p,則非q

C.如果非q,則非p

D.如果q,則非p

9、下列哪個命題是正確的？

A.任意兩個銳角的和都是銳角。

B.任意兩個直角的和都是直角。

C.任意兩個鈍角的和都是鈍角。

D.任意兩個平角的和都是平角。

10、如果命題“如果x>5,則匚2>25”為真,則以下哪個選項是正確的?

A.如果/2>25,則x>50

B.如果x<5,則x*2W25o

C.如果-2W25,則xW5o

D.如果x25,則/2225o

二、計算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）

第一題:

已知：在三角形ABC中，ZA=45°,ZB=60°,BC=6cm。

求：三角形ABC的周長。

第二題

題目描述：

在數(shù)學中，定義是指對一個概念進行精確表述的方式。而命題則是一個陳述句，它

要么是真的（真命題），要么是假的（假命題）。已知命題：“如果一個三角形的兩邊相

等，則這個三角形一定是等腰三角形?！迸袛嘣撁}是否為真，并給出證明或反例。

第三題：

已知：在三角形ABC中，AB=AC,點D是邊BC上的一點，且BD二DC。

求證：AD是BC的中線。

三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共

55分）

第一題

已知一個三角形ABC的三個內角A、B、C滿足條件：

?ZA+ZB=90°

?ZC=30°

求證：這個三角形是一個直角三角形，并且其最大角是NA。

第二題：

已知命題“若a>b,則a?>b?”為假命題，請判斷以下命題的真假：

（1）若a?>b2,則a>b；

(2)若2<b,則a2<b2o

第三題

已知一個三角形的三個內角分別為(為、(為、(Q,且滿足條件：

1.(力+8+0=180)

2.(4=2B)

3.("=c-ia)

求解這個三角形各內角的度數(shù)。

第四題：

已知一個命題是：“如果兩個角相等，那么它們所對的邊也相等?！闭埮袛嘣撁}是

否正確，并給出證明或反例C

第五題；

已知命題命“若a=0,則b=0”,命題Q：“a和b都是實數(shù)”。

(1)判斷命題P是否為真命題，并說明理由。

(2)若命題P為真，寫出命題Q的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真

假。

第六題

已知在平面直角坐標系中，點A的坐標為(3,4；,點B的坐標為(-1,2)。

(1)求線段AB的長度；

(2)若點C是線段AB上的一個動點，且滿足AC:CB=1:2,請確定點C的坐標。

第七題：

已知命題“若a>0,則鼠2>0”為真命題，請判斷以下命題的真假，并給出理

由:

(1)若丁2>0,則a>0；

(2)若a>0,則￡220o

《2定義與命題》同步訓練及答案解析

一、選擇題(本大題有10小題，每小題3分，共30分)

1、下列命題中，屬于真命題的是：

A.任意兩個銳角之和為90°

B.如果(/=/),那么(a=Z?)

C.三角形內角和為180。

D.一個數(shù)的平方總是正數(shù)

答案：C

解析：選項A是假命題，因為只有兩個特定的銳角之和才為90°,即直角三角形

的兩個銳角之和為90°；選項B是假命題，當(a:-6)時，(/二⑹成立但(a*6)；選

項C是真命題，這是幾何學的基本定理之一；選項D是假命題，例如。的平方為0,不

是正數(shù)。

2、已知(m+n-①且(m-〃=/),貝lj(/-/)等于多少？

A.4

B.5

C.6

D.7

答案：A

解析：由已知條件（初+〃=3和（m-〃=/）,利用公式（d-/=（m+，）（〃L/；））,代

入得到（后-/=3*/=.?）,但題目中的選項可能有誤，實際應為3,但由于給定的選

項中沒有3,最接近的答案為A,表示結果為4,可能是題目設置的選項或計算過程中

的小誤差。正確答案應為3。

3、已知命題：“如果aib=O,那么a和b互為相反數(shù)」判斷以下說法：

A.這是一個假命題

B.這是一個真命題

C.這是一個定理

D.無法判斷

答案：B

解析：根據(jù)數(shù)學中的定義，如果兩個數(shù)相加等于0,那么這兩個數(shù)互為相反數(shù)。因

此，命題“如果a+b=0,那么a和b互為相反數(shù)”是真命題。

4、下列哪個選項是命題？

A.今犬的天氣很好

B.這本書很有趣

C.2+2=4

D.我喜歡吃蘋果

答案：C

解析：命題是一個陳述句，它必須具有明確的真值（真或假）。選項A、B和D都是

陳述句，但它們并不具有明確的真值，因為“天氣很好”、“這本書很有趣”和“我喜歡

吃蘋果”都是主觀評價，不涉及數(shù)學邏據(jù)的真假判斷。而選項C“2+2=4”是一個明確

的數(shù)學陳述，具有明確的真值，因此是一個命題。

5、下列哪個選項是正確的？

A.任何兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)。

B.如果a?二b?,則a二b。

C.一個三角形中至少有兩個銳角。

D.若X2=4,則X=20

答案：C,解析：A選項不正確，比如J2和-J2都是無理數(shù)，它們的和為是有

理數(shù)；B選項也不正確，比如當a=-2,b=2時，滿足a?二I』但a#b；C選項正確，任何

三角形內角和為180°,所以至少有兩個銳角；D選項不完全正確，因為x?=4還意味著

x=-2o

6、下列哪個命題是真命題？

A.如果兩個角相等，則這兩個角是對頂角。

B.對頂角相等。

C.如果a>b,則a2>b2。

D.如果a>b,則a+c>b+c。

答案：B,解析：A選項不正確，兩個角相等并不一定是對頂角，例如同位角相等;

C選項不總是正確，比如當a=l,b=-2時，雖然a>b但a2=l〈b?=4；D選項不總是正確,

比如當c<0時，a+c〈b+c；B選項是正確的，對頂角的定義就是兩個角大小相等且位置

相對的角。

7、下列命題中，正確的是（）

A.如果a>b,則a-b>0

B.兩個偶數(shù)的和是奇數(shù)

C.如果a=b,則a?=b2

D.所有的鳥都會飛

答案：C

解析：選項A中，如果a>b,那么a-b確實大于0,所以A是正確的。選項B

中，兩個偶數(shù)的和是偶數(shù)，而不是奇數(shù)，所以B是錯誤的。選項C中，如果a二b,那

么a?=b2,這是正確的。選項D中，這是一個普遍為誤解，因為有些鳥類不會飛，如

企鵝和鴕鳥。因此，正確答案是C。

8、下列關于命題“如果p,則q”的逆命題是（：）

A.如果q,則p

B.如果非p,則非q

C.如果非q,則非p

D.如果q,則非p

答案：A

解析：命題“如果P，則q”的逆命題是“如果q,則p"。在邏輯學中，逆命題是

將原命題的條件和結論互奏。因此，正確答案是A。選項B和C是原命題的逆否命題，

而選項D是原命題的否命題。

9、下列哪個命題是正確的？

A.任意兩個銳角的和都是銳角。

B.任意兩個直角的和都是直角。

C.任意兩個鈍角的和都是鈍角。

D.任意兩個平角的和都是平角。

答案：D

解析：此題考查對不同角度概念的理解。A項錯誤，因為兩個銳角的和可以是銳角、

直角或鈍角；B項錯誤，因為兩個直角的和為一個平角；C項錯誤，因為兩個鈍角的和

可能超過一個周角，變成一個大于180度小于360度的角，但不是鈍角；D項正確，因

為平角定義為180度的角度，兩個平角相加還是180度，即仍然是一個平角。

10、如果命題“如果x>5,則晨2>25”為真，則以下哪個選項是正確的？

A.如果x"2>25,RlJx>5?

B.如果x<5,則x'2W25o

C.如果x^2W25,則xW5o

D.如果x25,則丁2225o

答案：C

解析：原命題“如果x>5,則（2>25”表示當x大于5時，x的平方必然大于

250逆否命題為：“如果U2W25,則xW5"，這說明如果某個數(shù)的平方不大于25,

那么這個數(shù)必然不大于5。因此選項C正確。其他選項均不符合邏輯關系。

二、計算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）

第一題：

已知：在三角形ABC中，ZA=45°,NB=60°,BC=6cm0

求：三角形ABC的周長。

答案：

三角形ABC的周長=AB+BC+AC

由于NA=45°,ZB=60°,所以NC=180°-ZA-ZB=180°-45°-60°=

75°。

在直角三角形中，如果一個角是45°,另一個角是45°,那么這個直角三角形是

等腰直角三角形，其兩條直角邊相等。

因此，AB=BC=6cno

在直角三角形中，如果一個角是30°,那么其對邊是斜邊的一半。所以，如果N

B=60°,那么AB是斜邊，AC是斜邊的一半。

AC=BC/2=6cm/2=3cm?

所以，三角形ABC的周長=AB+BC+AC=6cm+6cm+3cm=15cm。

解析：

1.利用三角形內角和定理，計算出NC的度數(shù)。

2.利用等腰直角三角形的性質，得出AB的長度等于BC的長度。

3.利用直角三角形中30°角的對邊是斜邊的一半的性質，得出AC的長度。

4.將三邊長度相加，得到三角形ABC的周長。

第二題

題目描述：

在數(shù)學中，定義是指對一個概念進行精確表述的方式。而命題則是一個陳述句，它

要么是真的（真命題），要么是假的（假命題）。已知命題：“如果一個三角形的兩邊相

等，則這個三角形一定是等腰三角形」判斷該命題是否為真，并給出證明或反例。

答案：

該命題是真命題。

解析：

為了判斷這個命題是否為真，我們可以依據(jù)幾何學的基本定理來解釋。定義等腰三

角形為具有至少兩條邊長度相等的三角形。假設有一個三角形ABC,其中AB=AC（兩邊

相等），根據(jù)幾何學中關于等邊對等角的性質，我們有NB=NC。這意味著三角形ABC

中的兩個內角是相等的，從而滿足等腰三角形的定義。

所以，如果一個三角形的兩邊相等，那么這個三角形一定是一個等腰三角形。因此,

該命題是正確的。

第三題：

已知：在三角形ABC中，AB=AC,點D是邊BC上的一點，且BD二DC。

求證：AD是BC的中線。

答案：

證明：

5.由題意得，AB=AC,即三角形ABC是等腰三角形，所以NABC:NACB。

6.因為BD二DC,所以三角形BDC是等腰三角形，所以NBDONDBC。

7.由于NABC=NACB,所以NABC=NBDC。

8.在三角形ABC和三角形ADC中，有：

?ZABC=ZADC（己證）

?AB-AC（已知）

?NBAONDAC（三角形內角和為180°）

5.根據(jù)SAS（Side-Angle-Side）全等條件，可以得出三角形ABC和三角形ADC全

等。

6.因為三角形ABC和三角形ADC全等，所以它們的對應邊相等，即AD二AC。

7.所以AD是BC的中線。

解析：

本題主要考察了等腰三角形的性質和全等三角形的判定方法。首先，通過等腰三角

形的性質得出/ABC二NACB和NBDC二NDBC,然后通過等腰三角形的性質再次得出/

ABC=ZBDCo接著，根據(jù)SAS全等條件，證明三角形ABC和三角形ADC全等，從而得出

AD二AC,進而證明AD是BC的中線。

三、解答題(本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共

55分)

第一題

已知一個三角形ABC的三個內角A、B、C滿足條件：

?ZA+ZB=90°

?ZC=30°

求證：這個三角形是一個直角三角形，并且其最大角是NA。

答案：

證明：首先根據(jù)題目條件，我們知道：

[/力+/B=9(T]

因為三角形ABC的三個內角之和為180°,即：

[N/+N8+ZC=18/]

將已知條件代入上述等式中，得到：

[90°+18CT]

由題目中的NC=30。，代入得：

[900+30°=18(T]

這說明我們的前提條件是成立的。

接下來，由于NA+ZB=90°,而NC=30°,所以NA和ZB都小于90°。

這意味著，ZC是最大的角.因此，根據(jù)三角形內角的關系，這個三角形是一個直角三

角形，其中最大的角(NC)是30°,最小的角(NB)小于90°,而NA小于NB,但

仍然大于0°。

綜上所述，這個三角形是一個直角三角形，且最大角是NA。

解析：

此題主要考察了三角形內角和定理以及直角三角形的定義。首先通過已知條件得出

ZA+ZB的值為90°,進而利用三角形內角和定理求出NC的值。接著通過比較各

角度數(shù)大小來判斷哪個角是最大角。題目要求證明的是一個直角三角形并且指出最大角

是NA,通過邏輯推理可以得出結論。

第二題：

已知命題“若a>b,則a?>b2"為假命題，請判斷以下命題的真假：

(1)若a?>b2,則a>b；

22

(2)若。<b,則a<b0

答案：

(1)假命題

(2)真命題

解析：

(1)對于命題“若a?>b2,則a>b"，我們可以通過反例來證明其為假命題。

取a=-3,b=-2,則M=9,b2=4,顯然I>b2,但a<b,因此該命題為假命

題。

(2)對于命題“若a<b,則a?<b2",我們可以通過數(shù)學歸納法來證明其為真

命題。

①當a0,b=1時，顯然a?<tv成立。

22

②假設當a=k(k>0)時，a<b?成立，即k?<bo

③當a=k+1時，要證明(k+I)2<b2o

(k+I)2=k2+2k+1

由假設可得k?<b2,所以(k+l)2=k2+2k+1<b2+2k+lo

因為k>0,所以2k+1>0,所以b2+2k+1>b2?

所以所+I)2<b2o

由①和③可知，對于任意正數(shù)a和b,若a<b,則a2<b?成立。

因此，命題“若a<b,則a?<b2"為真命題。

第三題

已知一個三角形的三個內角分別為(/1)、?(6),且滿足條件：

1.(4+8+0=180)

2.(力=2取

3.僅二C-10)

求解這個三角形各內角的度數(shù)。

答案：

三角形的三個內角分別為Qi)、?(。，根據(jù)題目給定的條件，我們可以建立以下

方程組：

B+C=180)

2.(J=2階

3.[B=C-ia)

首先，由條件2和3可以表示出(1)和(。的關系:

?將(B=C-10)代入到條件2中得到：(A=2^C-10)=2C-20)

將(力=2C-20)和(6二c-Iff)代入到條件1中，得至I」：

\2C-20+C-10+C=18a]\4C-30=18G]卜C=210][c=52.5]

知道了(。的值后，我們可以計算(0和(力)的值：

-(B=C-10=52.5-10=42.5)

-(力=2C-20=2乂52.5-20=105-20=85)

因此，這個三角形的三個內角分別為?二修)，9=42.5)?52.5)。

解析：

本題通過給出的條件建立了關于三角形內角的方程組，并通過代數(shù)運算求解出各個

內角的具體度數(shù)。首先，利用條件2和3來表示出其中一個角的表達式，然后將其代入

到第一個條件中，從而形成一個關于單個變量的方程，進而求解出這個變量的值。之后,

再利用已知的變量值反推出其他兩個角的大小，最終得出三角形的三個內角。

第四題：

已知一個命題是：“如果兩個角相等，那么它們所對的邊也相等?！闭埮袛嘣撁}是

否正確，并給出證明或反例。

答案：

該命題不正確。這是一個反例證明，可以通過構造一個三角形來證明這一點。

解析：

首先，我們明確題目中給出的命題。這個命題的形式是“如果A,則B"，其中A

表示“兩個角相等”，B表示“它們所對的邊也相等"。要驗證這個命題的真假，我們需

要考慮是否存在一個反例，即存在兩個角相等但它們所對的邊不相等的情況。

取一個直角三角形ABC,其中NBAC=90°。假設NABC=NACB=45°,WJAABC

是一個等腰直角三角形。在等腰直角三角形中，兩條直角邊長度相等，設這兩條直角邊

分別為a,那么斜邊BC的長度為(?、?。

在這個情況下，兩個角NABC和NACB確實相等(都是45°)，但是它們所對的邊

AB和AC并不相等，因為AB=AC=a,而BC=a(匈，顯然ara(?。

因此，通過構造一個具體的例子，我們可以看到當兩個角相等時，并不意味著它們

所對的邊也一定相等。這說明題目中的命題是錯誤的。

綜上所述，原命題不成立，我們通過一個具體的幾何實例展示了這一事實。

第五題：

已知命題P：“若a=0,則b=0”,命題已“a和b都是實數(shù)”。

(1)判斷命題P是否為真命題，并說明理由。

(2)若命題P為真，寫出命題Q的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真

假。

答案：

(1)命題P為假命題。理由：命題P中的條件是“a=0”，而結論是“b=0"，當a=0

時，并不能必然推出b=0,因為b可以取任何實數(shù)值。因此，命題P的結論不成立，所

以命題P為假命題。

(2)若命題P為真，則命題Q的逆命題、否命題和逆否命題如下：

逆命題：若b=0,則2=0。這是一個真命題，因為如果b=0,根據(jù)命題P,可以推出

a也必須為0。

否命題：若a#0,則bWO。這是一個假命題，因為即使a不等于0,b也可以等于

0,這與命題P的結論相矛盾。

逆否命題：若bWO,則aWO。這是一個真命題，因為如果b不等于0,根據(jù)命題P

為真，那么a也必須不等于0,否則命題P的結論將不成立。

解析：

(1)通過分析命題P的條件和結論，發(fā)現(xiàn)結論并不一定成立，因此命題P為假。

(2)根據(jù)命題P的真假，可以確定逆命題和逆否命題的直假。逆命題由于與原命

題邏輯相同，因此也為真，否命題由于邏輯上與原命題相矛盾，因此為假。逆否命題由

于邏輯上與原命題相同，因此也為真。

第六題

已知在平面直角坐標系中，點A的坐標為(3,4；,點B的坐標為(T,2)o

(1)求線段AB的長度；

(2)若點C是線段AB上的一個動點，且滿足AC:CB=1:2,請確定點C的坐標。

答案：

(1)求線段AB的長度

首先，利用兩點間的距離公式來“算線段AB的長度。兩點間距離公式為：

d=JO.一肛).+—力

將點A(3,4)和點B(T,2)代入上述公式中，得：

卜仍二.((一力-92+(2-%"+(-32=77^=<20=啊

因此，線段AB的長度為(哂。

(2)確定點C的坐標

由于點C位于線段AB上，并且滿足AC:CB:1:2,我們可以使用向量方法來解決

這個問題。

設點C的坐標為(x,y),根據(jù)比例關系，我們有:

AC_r

這意味著點C分割了線段AB為兩部分，其中AC是AB總長度的三分之一，CB是AB

總長度的三分之二。

我們知道線段AB的長度為(2伺，因此：

?AC的長度=(斗)

?CB的長度二(4)

現(xiàn)在，我們需要找到點C的位置。考慮到點A的坐標為(3,4),點B的坐標為(T,

2),我們可以使用向量方法來確定點C的具體位置。

假設點C的位置可以表示為：

［C=A+t^B-A)］

其中t是參數(shù)，滿足(0<t<1)。為了找到t的值，我們利用AC和AB的比例關系：

心竽］

而2向,因此：

2^5'

］

=_A_C-FJ_

/山2^5飛

將t二(9代入到上面的向量表達式中，我們得到：

.二(3,0+貿(-40-(3,0)］卜(3,0+貿(-4-冽［=(3,0+(-3勺］

卜―卜(竽普卜(常］

因此，點C的坐標為((*3)。

解析:

此題涉及了基本的幾何概念和坐標兒何的應用，包括兩點間距離的計算以及根據(jù)比

例關系確定特定點的位置。通過運用距離公式和向量方法，能夠有效地解決問題。

第七題：

已知命題“若a>0,則丁2>0”為真命題，請判斷以下命題的真假，并給出理

由：

（1）若丁2>0,則a>0；

（2）若a>0,則a'220。

答案：

（1）假命題。因為雖然已知￡2>0,但是a可以是正數(shù)也可以是負數(shù)（例如a二

-1）,所以不能斷定a>0o

（2）真命題。因為已知a>0,根據(jù)平方的性質，任何正數(shù)的平方都是非負數(shù)，

即個220o

解析：

在解答這類題目時，需要根據(jù)命題的邏輯關系進行推理。

對于第一個命題“若￡2>0,則a>0"，這是一個逆命題。原命題是“若a>0,

則個2>0"，這個命題是真的，但是逆命題不一定成立。因為a可以是負數(shù)，負數(shù)的

平方也是正數(shù)，所以不能從丁2>0直接推出a>0o

對于第二個命題“若a>0,則丁220”，這是一個直接命題。由于a是正數(shù)，

其平方必定是非負數(shù)，因此這個命題是真的。這是基于平方的性質，即任何數(shù)的平方都

是非負數(shù)，特別是正數(shù)的平方總是正數(shù)。

《3平行線的判定》同步訓練（答案在后面）

一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）

1、數(shù)字：1

題目：在同一平面內，如果兩條直線都與第三條直線平行，則這兩條直線（）。

A.相交

B.平行

C.垂直

D.無法確定

2、數(shù)字：2

題目：在下列條件中，能判定直線a〃b的是（）。

A.Z1=Z2

R.Z3=Z4

C.Z5=Z6

D.Z7=Z8

3、在下列各組圖形中，能夠判定兩直線平行的是（）

A.一組平行線與一組相交線

B.一組平行線與一組垂直線

C.一組平行線與一組斜線

D.一組平行線與一組平行線

4、在平面內，若兩條直線分別與第三條直線垂直，則這兩條直線之間的關系是（）

A.相交

B.平行

C.垂直

D.無法確定

5、下列哪組條件可以判定兩直線平行？

A.同位角相等B.內錯角相等C.同旁內角互補D.對頂角相等

6、已知直線a與直線b平行，直線c也與直線b平行，則直線a與直線c的位置

關系是？

A.相交B.平行C.重合D.無法確定

7、在三角形ABC中，若NBAO90。，AB=AC,且DE〃BC,則下列結論正確的是：

A.ZADE=ZB

B.ZADE=ZC

C.NADE=NABC

D.ZADE=ZACB

8、在平面直角坐標系中，已知直線1的方程為y-kx+b,且直線1與x軸、y軸分

別相交于點A、B。若直線1與x軸、y軸的交點坐標分別是（-2,0）和（0,3）,則直

線1的斜率k的值為：

A.-1

B.1

C.-3/2

D.3/2

9、兩條直線被第三條直線所裁，如果同位角相等，則這兩條直線的位置關系是（）

A.相交B.平行C.垂直D.無法確定

10、在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線（）

A.相交B.平行C.垂直D.無法確定

二、計算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）

第一題：

在平行四邊形ABCD中，己知AD=6cm,BC=8cm,E是AD上的一點，且BE=4cm。求

證：CE=2cmo

第二題：

已知直線Q/：2x-y+3=。和直線（/z：x+改-5=

1.求直線（右）和直線（/2）的交點坐標。

2.若有一條垂直于（4）且通過點（1,4）的直線（力），求直線（力）的方程。

第三題：

在平行四邊形ABCD中，E是邊AD上的一點，F(xiàn)是邊BC上的一點。已知AE=3cm,

BF=4cm,且NBAE=60°,ZABC=45°。求EF的長度。

三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共

55分）

第一題

在平面直角坐標系中，己知點A（2,3）,B（6,3）,C（4,7）。

3.求直線AB的斜率，并判斷直線AB與直線CD是否平行（直線CD的方程為y=-lx

+5)0

4.求直線BC的方程，并判斷直線BC與直線AC是否垂直。

第二題：

已知直線AB和CD相交于點E,且NAEB=90°,ZDEC=90°。若AE=6cm,EB=4cm,

CD=8cm,求證：AB〃CD。

第三題

在平面直角坐標系中，已知直線（乙」=以+/）和直線（，2：y=-〈x+3）。求證：直

線（右）與直線（打）是平行線。

解答題：

為了證明直線（乙）和直線（打）是平行的，我們可以通過比較它們的斜率來解決這個

問題。兩條直線平行的條件之一是它們的斜率相等。首先，讓我們明確這兩條直線的斜

率。

對于直線（〃：y=2x+/）,其斜率（勿產(chǎn)0。

對于直線（12：y=-gx+3）,其斜率（和二-勺。

顯然，5尸吟,這似乎表明這兩條直線不平行。然而，這里有一個重要的概念

需要考慮一一當兩條直線斜率相等但截距不同的時候，它們并不會相交，因此也不會平

行。這意味著如果兩直線的斜率相等且截距不同，則這兩條直線平行。

但是，根據(jù)上面的分析，我們發(fā)現(xiàn)⑸二為且（改=-務這意味著這兩條直線的斜率

確實不相等。因此，根據(jù)直線平行的定義，直線（。）與直線（/力是平行的。

第四題：

己知直線AB和CD在同一平面內，且AB〃CD。點E在直線AB上，點F在直線CD

上，且AE=DF。求證：EF//ABo

第五題

己知直線（④、（份、（c）兩兩平行，且直線（a）與直線（力）之間的距離為Q0C〃7）,直線（6）

與直線（。）之間的距離為（/5cm）,求直線（a）與直線（c）之間的距離。

第六題：

在三角形ABC中，已知NA=45°,ZB=60°,AD是BC邊上的高，且AD二BD。

（1）求證：ABZ/CD；

（2）若點E在CD上，且DE=2AD,求證：BE二AE。

第七題

題目描述：

已知直線（//：y=a+/）與直線（介:F=-萬+書相交于點P，求直線（乙:y二x-3與直

線（乙）的交點坐標。

《3平行線的判定》同步訓練及答案解析

一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）

1、數(shù)字：1

題目：在同一平面內，如果兩條直線都與第三條直線平行，則這兩條直線（）。

A.相交

B.平行

C.垂直

D.無法確定

答案：B

解析：根據(jù)平行線的性質，如果?條直線與另?條直線平行，那么與第三條直線平

行的任何直線也會與這兩條直線平行。因此，正確答案是Bo

2、數(shù)字：2

題目：在下列條件中，能判定直線a〃b的是（）o

A.Z1=Z2

B.Z3=Z4

C.Z5=Z6

D.Z7=Z8

答案：A

解析：要判斷兩直線平行，可以通過同位角、內錯角或同旁內角相等來判斷。根據(jù)

題目中的選項，只有A選頃描述的是同位角相等的情況，符合平行線的判定定理之一。

因此，正確答案是Ao

3、在下列各組圖形中，能夠判定兩直線平行的是（）

A.一組平行線與一組相交線

B.一組平行線與一組垂直線

C.一組平行線與一組斜線

D.一組平行線與一組平行線

答案：D

解析：根據(jù)平行線的判定定理，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直

線也互相平行。因此，只有選項D中提到的“一組平行線與一組平行線”能夠直接判定

兩直線平行。其他選項中的關系無法直接得出兩條直線平行的結論。

4、在平面內，若兩條直線分別與第三條直線垂直，則這兩條直線之間的關系是（）

A.相交

B.平行

C.垂直

D.無法確定

答案：B

解析：根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行的判定定理，如果兩條直線都垂直于同一

條直線，那么這兩條直線必定平行。因此，選項B“平行”是正確的答案。選項A、C

和D都與這個判定定理不符。

5、下列哪組條件可以判定兩直線平行？

A.同位角相等B.內錯角相等C.同旁內角互補D.對頂角相等

答案：B、答案解析：根據(jù)平行線的判定定理，如果兩條直線被第三條直線所截，

形成的一對內錯角相等，那么這兩條直線平行。因此正確答案是B。

6、已知直線a與直線b平行，直線c也與直線b平行，則直線a與直線c的位置

關系是？

A.相交B.平行C.重合D.無法確定

答案：B、答案解析：根據(jù)平行公理的推論，如果一條直線與另一條直線平行，且

另一條直線又與第三條直線平行，那么第一條直線也與第三條直線平行。因此，直線a

與直線c的位置關系是平行。正確答案是B。

7、在三角形ABC中，若NBAC=90°,AB=AC,且DE〃BC,則下列結論正確的是：

A.ZADE=ZB

B.ZADE=ZC

C.NADE=NABC

D.ZADE=ZACB

答案：A

解析：由于AB二AC,所以三角形ABC是等腰直角三角形，因此NABC二NACB。又因

為DE〃BC,根據(jù)平行線的性質，同位角相等，所以/ADE=/B。

8、在平面直角坐標系中，已知直線1的方程為y=kx+b,且直線1與x軸、y軸分

別相交于點A、Bo若直線1與x軸、y軸的交點坐標分別是(-2,0)和(0,3),則直

線1的斜率k的值為：

A.-1

B.1

C.-3/2

D.3/2

答案：D

解析：直線1與x軸相交于點A(-2,0),代入直線方程得0:kG2)+b,即-2k+b=00

同理,直線1與y軸相交于點B(0,3),代入直線方程得3:4+%即b=3。將b=3代

入-2k+b-0,解得k-3/2。

9、兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相筆，則這兩條直線的位置關系是()

A.相交B.平行C.垂直D.無法確定

答案：B

解析：根據(jù)平行線的判定定理，如果兩條直線被第三條直線所截，且同位角相等，

那么這兩條直線互相平行。

10、在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線()

A.相交B.平行C.垂直D.無法確定

答案：B

解析：在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，根據(jù)垂直線的性質，這

兩條直線必定互相平行。因此正確答案為B。

二、計算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）

第一題：

在平行四邊形ABCD中，己知AD=6cm,BC=8cm,E是AD上的一點，且BE=4cm。求

證：CE=2cmo

答案：

證明；在平行四邊形ABCD中，根據(jù)平行四邊形的性質，AD〃BC。

因為BE=4cm,且AD=6cm,所以AE=AD-BE=GcmTcmYcm。

在三角形ABE和三角形CDE中，有:

5.ZABE=ZCDE（同位角）

6.ZAEB=ZCED（對頂角）

7.AE=CE（題目所求）

根據(jù)SAS（Side-Angle-Side,邊一角-邊）全等條件,可以得出三角形ABE和三角

形CDE全等。

因此，CE=BE=4cm0

由于E是AD上的一點，且BE=4cm,所以AE=AL）-BE=6cm-4cm=2cm。

所以，CE=AE=2cm。

解析：

本題主要考查了平行四邊形的性質和三角形全等的判定條件。通過證明三角形ABE

和三角形CDE全等，我們得到了CE的長度。注意，這里的關鍵是要正確應用平行四邊

形的性質和三角形全等的條件。

第二題：

已知直線Q/：2x-y+3=。和直線帽z：x+Q-5=0）。

8.求直線（乙）和直線（。）的交點坐標。

9.若有一條垂直于（乙）且通過點（1,4）的直線（/$）,求直線（右）的方程。

答案與解析：

10.求直線u）和直線&）的交點坐標。

首先，我們需要找到這兩條直線的交點。這意味著我們要解這個方程組：

[{2x-y+3=0x+2y_5;O\

我們可以通過消元法來解決這個問題。將第一個方程乘以2得到：

[4x-2y^6=0]

然后，將它與第二個方程相加，消去（力：

卜x-4+6+x+2y-5-05x+1=Ox--

將代入任一方程中求（y）。使用（x+2y-5=0）：

12613\

2y-5=02y=—y=—

ODO\

因此，直線（乙）和直線（"）的交點坐標是（（-（，9）。

2.若有一條垂直于（/1）且通過點（1,4）的直線/），求直線。3）的方程。

首先，找出直線（右）的斜率。對于直線（2x-y+3=4,可以重寫為從

而得到斜率為2。由于（/?垂直于（乙），那么4）的斜率（為）應為（4）斜率的負倒數(shù)，即

NT）。

使用點斜式方程（y-為二成x-七）），其中（（盯,力）=（1,書）以及（加二-g）,我們可以

得到直線(%)的方程:

111v.91

y-4=-,(x-l)y-

所以，直線(打)的方程為(y=-=x+()。

第三題：

在平行四邊形ABCD中，E是邊AD上的一點，F(xiàn)是邊BC上的一點。已知AE=3cm,

BF=4cm,且NBAE=60°,ZABC=45°。求EF的長度。

答案:EF的長度為5cm。

解析：

11.由于ABCD是平行四邊形，所以AB〃CD,AD〃BC。

12.因為NBAE=60°,所以NBAE和NABE是三角形ABE的兩個內角，它們的和為

180°,所以NABE=180°-60°=120°。

13.由于NABC=45°,且AB〃CD,根據(jù)同旁內角互補定理，ZBAC=180°-ZABC=180°

-45°=135°o

14.在三角形ABE中,/ABE和NBAC是兩個內角，它們的和為120°+135°=255°,

這超過了180°,說明我們的假設ABE是一個三角形是錯誤的。因此，AB和BE

不是一條直線。

15.但是，由于ABCD是平行四邊形，AB#CD,所以NABC和NADC是同位角，它們相

等，即NADC=45°o

16.由于/ADC=45°,且AD〃BC,根據(jù)同旁內角互補定理，NACD=1800-45°二135°。

17.在三角形ACD中,/ACD和NADC是兩個內角,它們的和為135°+45°=180°,

符合三角形內角和定理。

18.現(xiàn)在我們知道三角形ACD是一個直角三角形，其中NACD是直角。

19.由于AE=3cm,且NBAE=60°,在直角三角形ABE中，BE是AE的J3倍，所以BE=3

V3cm。

20.同理，由于BF=4cm,且NABC=45°,在直角三角形ABF中，AF是BF的J2倍，

所以AF=4J2cmo

21.由于ABCD是平行四邊形，AD二BC,且AD=AE+EF,BC=BF+EF0

22.將AE和BF的長度代入，得到AD=3+EF,BC=4+EF.

23.因為AD=BC,所以3+EFM+EF,從而EF=1cm。

24.由于NABC=45。，ZACD=135°,所以NDCF=180°-ZACD=45°,這意味著三角

形DCF是一個等腰直角三角形。

25.在等腰直角三角形DCF中，CD=DF,且CD=BC-BC=4cni。

26.因此，DF=2cm<>

27.由于AE=3cm,且三角形ACD是直角三角形，AC=AD+CD=3+4=7cmo

28.在直角三角形ACD中，EF是高，它將直角三角形ACD分成兩個30°-60°-90°

的直角三角形。

29.在30°-60°-90°的直角三角形中，對邊比是1:J3:2,所以EF是AC的一半，

即EF=AC/2=7/2=3.5cm。

30.因此，EF的長度是3.5cm,而不是5cm。

31.重新審視題目和解析，我們發(fā)現(xiàn)之前的計算有誤。正確的方法是：

?由于ABCD是平行四邊形，AB〃CD,AD〃BC,所以NABE=NCDE。

?在直角三角形ABE中，ZBAE=60°,所以AB二AE/J3=3/J3=J3cm。

?在直角三角形ABF中，ZABCM50,所以AB=BF/J2=4/J2=2J2cm。

?因為AB=CD,所以CD=2J2cm。

?在平行四邊形ABCD中，對邊相等，所以AD=CD=2J2cm。

?因為AD=AE+ED,所以ED=AD-AE=2J2-3cm。

?在直角三角形BEC中，ZBEC=ZABC+ZBAE=45°+60°=105°。

?因為NBEC=105°,所以NBCE=180°-105°=75°。

?在直角三角形BEC中，使用正弦定理計算EF的長度：EF=BEXsinZBEC=BEX

sin75°o

?使用正弦和余弦的和角公式,sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°

+cos45°sin30°=V2/2XV3/2+V2/2X1/2=(V6+V2)/4O

?BE=AB=2J2cm,所以EF=2J2X(J6+J2)/4=(J6+J2)/2cm。

?EF的長度是(J6+J2)/2cm,用小數(shù)表示約為1.63299cm。

綜上所述，EF的長度約為1.63299cm。但是，這個答案與題目中的答案5cm不符,

可能是題目中的答案有誤，或者題目中的信息不足。根據(jù)題目給出的信息和標準答案，

我們無法得出EF的長度為5cm的正確結論。

三、解答題(本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共

55分)

第一題

在平面直角坐標系中，已知點A(2,3),B(6,3),C(4,7)。

32.求直線AB的斜率，并判斷直線AB與直線CD是否平行(直線CD的方程為y二-lx

+5)0

33.求直線BC的方程，并判斷直線BC與直線AC是否垂直。

答案

34.直線AB的斜率為0,因此直線AB是水平的。由于直線CD的斜率為-1,所以直

線AB與直線CD不平行。

35.直線BC的方程為（1）+1）,直線AC的方程為（y=“+根據(jù)兩直線斜率的

乘積等于T的條件，可以判斷直線BC與直線AC垂直。

解析

第一部分：直線AB的斜率與直線AB與直線CD是否平行

首先計算直線AB的斜率。直線AB經(jīng)過點A（2,3）和點B（6,3）,其斜率（⑨面可以

通過公式（口）來計算：

3-30

〃“小轉rr”

斜率為0意味著直線AB是一條水平線。而直線CD的斜率為-1,因為直線CD的方

程為O=x+習。兩條直線的斜率相等或一條直線的斜率不存在（即垂直于x軸）時，

它們才可能平行。顯然，水平線（斜率為0）與斜率為-1的直線不可能平行。因此，直

線AB與直線CD不平行。

第二部分：直線BC的方程與直線BC與直線AC是否垂直

為了求出直線BC的方程，我們首先利用兩點式方程（y-力二〃Kx-3）），其中（/〃）

是斜率，（（勺，力））是直線上的一個點。對于直線BC,它通過點B（6,3）和點C（4,7）o

直線BC的斜率（的c）可以通過以下方式計算：

7-34

陶二三工=-4

使用點B（6,3）和斜行-2,直線BC的方程為：

[y-3=-2{x-6）][y-3=-12\[y--2x+15\

接下來，我們需要檢查直線BC與直線AC是否垂直。直線AC的方程為=+

斜率為（3

兩條直線垂直的條件是它們的斜率之積等于-1。因此，如果直線BC的斜率（-0

與直線AC的斜率（勺滿足這個條件，則這兩條直線垂直。

mBCX必C=?=一.

這表明直線BC與直線AC并不垂直。實際上，它們之間的夾角會是鈍角而不是直角。

因此，直線BC與直線AC不垂直。

第二題：

己知直線AB和CD相交于點E,且NAEB=90°,ZDEC=90°。若AE=6cm,EB=4cm,

CD=8cm,求證：AB〃CD。

答案：

證明：

36.由于NAEB=90°,根據(jù)垂線的性質