初中數(shù)學(xué)幾何模型（六）相似三角形模型

（一）相似三角形的五大模型:

1.A字型與反A字型

2.8字型與反8字型

3.共角共邊母子型相似模型（含射影定理）

5.旋轉(zhuǎn)相似模型

A

A

（二）相似拓展模型

1.對(duì)角互補(bǔ)相似：如圖,在RtmABC中,（3C=90。，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，若13EOF=90。，求證：。

證明:連接OC、EF,

時(shí)AC、=90°,0E>F=90°,0C>E、0、F四點(diǎn)共圓,001=02;

色點(diǎn)0是AB的中點(diǎn),（3OC=OA=OB=ABZ02）A=01,00A=02/

（30EOF=0ACB=9O,,,

配1EOF團(tuán)回BCA,吼

變式一：如圖，在KC3ABC乜I3C=9O°,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，若G3EOF=90。，EMG3AB,FN0AB,垂足分別

是M、No求證:AM=0N。

證明：連接OC、EFO

O

0raA=02z0AME=GIFOE=9O/00EMA00EOF,0,

易證:0EMO00ONF,（一線三等角）

13,（3,0AM=ONo

變式二：如圖，在RtSABC中，配=90。，點(diǎn)0是AB的中點(diǎn)，若回E、F=90°,連接E、，探究AE、E、、

BF的數(shù)量關(guān)系。（倍長(zhǎng)類中線）

2.倒數(shù)相似（三平行）

如圖,AB〃EF〃CD,求證：。

證明：13EF〃AB,團(tuán)①，

SEF//CD,團(tuán)②，

由①+②，得：

++===1,

兩邊同時(shí)除以EF,得：。

3.以等腰三角形（含等邊三角形）為背景的一線三等角。

4.十字架模型：

（1）正方形對(duì)邊兩點(diǎn)之間的線段垂直，則這兩條線段相等；

（2）正方形對(duì)邊兩點(diǎn)之間的線段相等，則這兩條線段垂直；

題目：如圖，在正方形ABC、中，E、F分別在BC、C、上，且BE、C、，探究AE、BF之間的關(guān)系，并

說(shuō)明理由。

略解：

（1）AE與BF之間的位置關(guān)系:AE團(tuán)BF;

（2）AE與BF之間的數(shù)最美系:AE=BF;由0ABE03BCF可得這兩個(gè)關(guān)系。

變式1:如圖所示，在正方形ABC、中,E是邊C、上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與C、D重合），連接BE,M是

上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交、點(diǎn)交于點(diǎn)求證:

BEMGF0BEBCF,ADG,BE=FGa

變式2:如圖，在正方形AB、D、，點(diǎn)E、H、F、G分別在AB、B、.CD、D、上，E、、GH交于點(diǎn)

0,且E、團(tuán)GH,求證：E、=GHo

典型例題：

如圖,是團(tuán)的中線，點(diǎn)是上的一點(diǎn),的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)求的

1.ADABCEADAEAD=14ZBEACF,AFCF

值。

提示：過(guò)點(diǎn)D作DG〃BF,交AC于點(diǎn)G。利用三角形中位線定理和平行線分線段成比例定理就能

夠求出AFCF的值。也可以過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線與BF交于一點(diǎn)。

2.如圖，在0ABe紙板中，AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P沿直線剪下一個(gè)與回AEC相似

的小三角板，如果有4種不同的剪法，求AP長(zhǎng)的取值范圍。

解：（1）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線平行于AB或BC時(shí)，

過(guò)點(diǎn)P作PD//AB,0PCD00ACB,

過(guò)點(diǎn)P作PE//BC,回APE團(tuán)團(tuán)ACB,

此時(shí),0<AP<4o

（2）過(guò)點(diǎn)P作團(tuán)APF交AB于點(diǎn)F,使團(tuán)APF=BB,團(tuán)APF回團(tuán)ABC,此時(shí),0<AP44。

（3）過(guò)點(diǎn)P作用CPG交BC千點(diǎn)G,使團(tuán)CPG=13CBA,

當(dāng)點(diǎn)G不與點(diǎn)B重合時(shí),0CPG00CBA,

當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí),因CPG函CBA,0CP?CA,2CP,

此時(shí)，

0CP=1,0AP=3,3<AP<4O

綜上所述,AP長(zhǎng)的取值范圍為3<AP<4o

3.在0ABe中，回ACB=90",AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且ADEMN于點(diǎn)D,BE0MN于點(diǎn)E。（一線

三等角（全等）可以證明這兩個(gè)問(wèn)題。）

（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：

①團(tuán)ADCSOCEB;②DE=AD+BE。

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證:DE=AD-BE。

4.如圖，直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，團(tuán)OAB=30。，若點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=（x>0）的圖象上,

則經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為。（一線三等角（相似））

解：過(guò)點(diǎn)A作AD0X軸于點(diǎn)D,點(diǎn)B作BC0X軸于點(diǎn)Co

一線三等角）

Q0BCO=0ODA=0AOB=9O0/0I3BCO013ODA,（

團(tuán),

00OAB=3O0/0AOB=9O°,

!3=tan300=,團(tuán)=,

團(tuán)點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=上,0=|k|=3,0=1,

回點(diǎn)B在第二象限，團(tuán)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為y=-。

5.問(wèn)題1:如圖1,在四邊形ABCD中，回B=(3C=90。，P是BC上的一點(diǎn)，PA=PD,0APD=9O°.求證:

AB+CD=BC<>

問(wèn)題2:如圖2,在四邊形ABCD中,BB=(aC=45°,P是BC上一點(diǎn),PA=PD,0APD=9O°,求的值,

問(wèn)題1:由一線三等角(全等)易證:0ABP團(tuán)團(tuán)PCD,

0AB=PC,CD=BF>0BR+RC=BC,0AB+CD=BCo

問(wèn)題2:過(guò)點(diǎn)A作AE0BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DF團(tuán)BC于點(diǎn)F。

由問(wèn)題1可得：EF=AE+DF,

0AE0B