相似三角形幾何模型拓展講義引言：相似三角形的基石與延伸相似三角形，作為平面幾何的核心內(nèi)容之一，其思想貫穿于從基礎(chǔ)證明到復(fù)雜計(jì)算的各個(gè)層面。掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，無(wú)異于手握一把解決眾多幾何問(wèn)題的鑰匙。然而，在紛繁復(fù)雜的幾何圖形中，如何快速識(shí)別相似三角形的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而運(yùn)用其性質(zhì)解題，是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。本講義旨在梳理相似三角形中若干重要的幾何模型，通過(guò)對(duì)這些模型的圖形特征、構(gòu)成條件、核心結(jié)論及應(yīng)用場(chǎng)景的深入剖析，幫助學(xué)習(xí)者建立“模型思想”，提升幾何直觀與邏輯推理能力，從而能夠更高效、更準(zhǔn)確地應(yīng)對(duì)各類幾何挑戰(zhàn)。一、“A”型相似模型（又稱“金字塔”模型）1.1基本圖形與核心特征“A”型相似模型是最為基礎(chǔ)且常見的相似結(jié)構(gòu)。其核心特征是：存在一條直線（通常稱為“截線”）與另一條直線（或兩條平行線）相交，形成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別位于另一個(gè)三角形的三條邊上（或其延長(zhǎng)線上），且兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，呈現(xiàn)出字母“A”的形狀。標(biāo)準(zhǔn)“A”型：如圖1-1所示，在△ABC中，若DE∥BC，分別交AB于D，交AC于E，則△ADE∽△ABC。*圖形特征：DE平行于△ABC的底邊BC，形成一個(gè)較小的三角形△ADE位于△ABC的“內(nèi)部”或“上部”。*相似條件：DE∥BC（由平行線性質(zhì)可直接得到同位角相等，進(jìn)而滿足AA相似判定）。*核心結(jié)論：AD/AB=AE/AC=DE/BC，且S△ADE/S△ABC=(AD/AB)2=(AE/AC)2=(DE/BC)2。斜“A”型（或“類A”型）：如圖1-2所示，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，若∠AED=∠B（或∠ADE=∠C），則△AED∽△ABC。*圖形特征：DE不平行于BC，但存在一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等（∠A為公共角，∠AED=∠B）。*相似條件：公共角∠A，且∠AED=∠B（或∠ADE=∠C），滿足AA相似判定。*核心結(jié)論：AE/AB=AD/AC=DE/BC，同樣有面積比等于相似比的平方。1.2模型應(yīng)用與例題解析例題1：如圖1-1，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1.8，求EC的長(zhǎng)及DE/BC的值。分析：此題為標(biāo)準(zhǔn)“A”型模型。已知DE∥BC，直接應(yīng)用其比例關(guān)系即可。解答：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴AD/AB=AE/ACAB=AD+DB=2+3=5設(shè)EC=x，則AC=AE+EC=1.8+x故2/5=1.8/(1.8+x)解得x=2.7即EC=2.7DE/BC=AD/AB=2/5點(diǎn)評(píng)：標(biāo)準(zhǔn)“A”型的關(guān)鍵在于平行線的識(shí)別，一旦確認(rèn)平行，則相似關(guān)系成立，比例線段隨之可得。二、“X”型相似模型（又稱“8”字型相似模型）2.1基本圖形與核心特征“X”型相似模型與“A”型模型遙相呼應(yīng)，其核心特征是：兩條直線相交，形成對(duì)頂角，且被另外兩條直線所截，構(gòu)成兩個(gè)三角形，形似字母“X”或數(shù)字“8”。標(biāo)準(zhǔn)“X”型：如圖2-1所示，若AB∥CD，直線AC與BD相交于點(diǎn)O，則△AOB∽△COD。*圖形特征：AB與CD平行，兩條相交直線AC、BD將其連接，形成兩個(gè)對(duì)頂?shù)娜切巍?相似條件：AB∥CD（由平行線性質(zhì)可得內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而滿足AA相似判定）。*核心結(jié)論：AO/OC=BO/OD=AB/CD，面積比等于相似比的平方。斜“X”型（或“類X”型）：如圖2-2所示，直線AC與BD相交于點(diǎn)O，若∠A=∠C（或∠B=∠D），則△AOB∽△COD。*圖形特征：AB與CD不平行，但存在一組對(duì)應(yīng)角相等（對(duì)頂角∠AOB=∠COD是公共的）。*相似條件：對(duì)頂角相等（∠AOB=∠COD），且∠A=∠C（或∠B=∠D），滿足AA相似判定。*核心結(jié)論：AO/OC=BO/OD=AB/CD，面積比等于相似比的平方。2.2模型應(yīng)用與例題解析例題2：如圖2-2，已知線段AC與BD相交于點(diǎn)O，且∠A=∠D，若AO=3，OC=6，BO=2，求OD的長(zhǎng)及AB/CD的值。分析：此題為斜“X”型模型。已知∠A=∠D，且∠AOB=∠DOC（對(duì)頂角），故可判定△AOB∽△DOC。解答：∵∠A=∠D，∠AOB=∠DOC∴△AOB∽△DOC∴AO/OD=BO/OC=AB/CD即3/OD=2/6解得OD=9AB/CD=BO/OC=2/6=1/3點(diǎn)評(píng)：斜“X”型的識(shí)別關(guān)鍵在于尋找對(duì)頂角以及另一組相等的角。其比例關(guān)系的應(yīng)用與標(biāo)準(zhǔn)“X”型一致，注意對(duì)應(yīng)邊的準(zhǔn)確識(shí)別。三、一線三垂直模型（K型相似模型）3.1基本圖形與核心特征一線三垂直模型，顧名思義，其核心構(gòu)成為：一條直線上存在三個(gè)垂足，形成三個(gè)直角。該模型在平面幾何，尤其是與直角坐標(biāo)系結(jié)合的問(wèn)題中應(yīng)用廣泛，能夠巧妙地構(gòu)造出相似三角形?；緢D形：如圖3-1所示，直線l上有A、B、C三點(diǎn)，分別過(guò)A、B、C作直線l的垂線，垂足為A、B、C，且三條垂線分別為AD、BE、CF。若∠DBE=α，∠ECF=β，且α+β=90°，則△ABD∽△BCE。更常見的特殊情形是三個(gè)直角均為90°，即AD⊥l，BE⊥l，CF⊥l，且∠DBE=90°，此時(shí)△ABD∽△BCE∽△CAF（根據(jù)具體條件可能有所不同，但至少能保證其中兩個(gè)三角形相似）。最常見的“一線三垂直”：如圖3-2所示，在直線MN上有A、B、C三點(diǎn)，且DA⊥MN于A，EB⊥MN于B，F(xiàn)C⊥MN于C。若∠DEF=90°，則△DAB∽△BCE。*圖形特征：一條直線MN，三個(gè)垂足A、B、C；三條豎直線DA、EB、FC；以及一個(gè)關(guān)鍵的直角∠DEF。*相似條件：∠DAB=∠EBC=∠DEF=90°。通過(guò)角的互余關(guān)系可證得∠ADB=∠BEC，從而由AA判定△DAB∽△BCE。*核心結(jié)論：DA/BC=AB/CE=DB/BE。3.2模型應(yīng)用與例題解析例題3：如圖3-2，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,3)，點(diǎn)B(2,0)，過(guò)點(diǎn)B作直線l⊥x軸。點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，過(guò)點(diǎn)P作AP的垂線交x軸于點(diǎn)Q。當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)B重合），△AOP與△PBQ是否相似？若相似，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，直線l⊥x軸于B，PQ⊥AP?？梢試L試構(gòu)造一線三垂直模型。過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，交直線l于點(diǎn)C，或直接利用坐標(biāo)系中的垂直關(guān)系。解答：由題意，A(0,3)，B(2,0)，直線l為x=2，設(shè)P(2,t)，t≠0。∵AP⊥PQ，A(0,3)，P(2,t)，Q(q,0)∴直線AP的斜率k1=(t-3)/(2-0)=(t-3)/2直線PQ的斜率k2=(0-t)/(q-2)=-t/(q-2)∵AP⊥PQ，∴k1*k2=-1即[(t-3)/2]*[-t/(q-2)]=-1化簡(jiǎn)過(guò)程略（此處可引導(dǎo)學(xué)生自行推導(dǎo)），或考慮幾何法：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥直線l于D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)。則AD=2（水平距離），PD=|3-t|。PB=|t|（P到x軸距離），BQ=|q-2|。∠ADP=∠PBQ=90°，∠APD+∠QPB=90°，∠QPB+∠PQB=90°，故∠APD=∠PQB?！唷鰽DP∽△PBQ∴AD/PB=PD/BQ即2/|t|=|3-t|/|q-2|（后續(xù)可分t>3,0<t<3,t<0等情況討論，此處略去具體計(jì)算，假設(shè)t>3，則2/t=(t-3)/(q-2)，可解得q關(guān)于t的表達(dá)式，表明對(duì)于任意t≠0，△ADP∽△PBQ，即△AOP與△PBQ是否相似需進(jìn)一步驗(yàn)證，但一線三垂直得到的△ADP∽△PBQ是確定的。）點(diǎn)評(píng)：一線三垂直模型的關(guān)鍵在于利用“同角的余角相等”來(lái)證明角相等，從而構(gòu)造相似。在坐標(biāo)系中，該模型能將點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度緊密聯(lián)系，是解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的有力工具。四、手拉手模型（旋轉(zhuǎn)相似模型）4.1基本圖形與核心特征手拉手模型通常涉及兩個(gè)具有公共頂點(diǎn)的相似三角形（或特殊的全等三角形），其中一個(gè)三角形繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，與另一個(gè)三角形構(gòu)成新的相似關(guān)系。因其圖形動(dòng)態(tài)變化時(shí)，兩個(gè)三角形如同雙手相握而得名。基本圖形：如圖4-1所示，已知△ABC∽△ADE，且∠BAC=∠DAE=α。將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度后，連接BD、CE。則△ABD∽△ACE。*圖形特征：公共頂點(diǎn)A；△ABC與△ADE相似，且有公共角∠BAC=∠DAE；旋轉(zhuǎn)后形成的對(duì)應(yīng)線段BD與CE。*相似條件：△ABC∽△ADE，故AB/AC=AD/AE，且∠BAC=∠DAE，從而∠BAD=∠CAE（旋轉(zhuǎn)角相等）。由兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等（SAS）可判定△ABD∽△ACE。*核心結(jié)論：BD/CE=AB/AC=AD/AE（即相似比不變），且∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠AEC（對(duì)應(yīng)角相等）。特殊情形（手拉手全等）：當(dāng)△ABC≌△ADE時(shí)，則△ABD≌△ACE，此時(shí)BD=CE，且BD與CE的夾角等于旋轉(zhuǎn)角或其補(bǔ)角。4.2模型應(yīng)用與例題解析例題4：如圖4-2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD、CE，交于點(diǎn)F。求證：(1)BD=CE；(2)BD⊥CE。分析：此題為手拉手模型的全等情形（因等腰直角三角形本身相似，且相似比為1）。解答：(1)∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD即∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD=CE(2)由(1)知△ABD≌△ACE∴∠ABD=∠ACE設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G在△AGB和△FGC中∠AGB=∠FGC（對(duì)頂角相等）∠ABD=∠ACE∴∠GFC=∠BAC=90°即BD⊥CE點(diǎn)評(píng)：手拉手模型的核心在于利用初始的相似（或全等）條件，推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)后新三角形的相似（或全等）。其結(jié)論不僅包括線段成比例（或相等），還包括對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而可推出線段的位置關(guān)系（如垂直）。五、射影定理模型（直角三角形中的母子相似模型）5.1基本圖形與核心特征射影定理模型是直角三角形中一個(gè)非常重要的相似模型，它揭示了直角三角形斜邊上的高與兩條直角邊在斜邊上的射影之間的關(guān)系。因其由一個(gè)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)小直角三角形與原三角形相似，故也稱為“母子相似”模型?；緢D形：如圖5-1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高。則有△ABC∽△ACD∽△CBD。*圖形特征：直角三角形ABC，斜邊AB上的高CD，將原三角形分割成兩個(gè)較小的直角三角形。*相似條件：∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，且有公共角（如∠A是△ABC和△ACD的公共角）。*核心結(jié)論（射影定理）：1.AC2=AD·AB（直角邊的平方等于其在斜邊上的射影與斜邊的乘積）2.BC2=BD·AB3.CD2=AD·BD（斜邊上的高的平方等于兩條直角邊在斜邊上射影的乘積）同時(shí)，還滿足比例式：AC/BC=AD/CD=CD/BD。5.2模型應(yīng)用與例題解析例題5：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，若AD=4，BD=9，求AC、BC和CD的長(zhǎng)。分析：直接應(yīng)用射影定理即可求解。解答：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB∴根據(jù)射影定理：AC2=AD·AB=AD·(AD+BD)=4·(4+9)=4·13=52∴AC=√52=2√13BC2=BD·AB=9·13=117∴BC=√117=3√13CD2=AD·BD=4·9=36∴CD=6點(diǎn)評(píng)：射影定理模型的應(yīng)用非常直接，記住并理解射影定理的三個(gè)結(jié)論，可以快速解決直角三角形中與高相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題。其本質(zhì)是相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的具體化。總結(jié)與展望相似三角形的幾何模型是平面幾何知識(shí)體系中的精華。本講義重點(diǎn)介紹了“A”型與“X”型、一線三垂直、手拉手以及射影定理這幾類核心模型。這些模型并非孤立存在，它們之間往往存在內(nèi)在聯(lián)系，并且在復(fù)雜問(wèn)題中常