3/12專題2.1空間幾何體外接球內(nèi)切球問題內(nèi)容導(dǎo)航速度提升技巧掌握手感養(yǎng)成分析考情·探趨勢(shì)鎖定核心，精準(zhǔn)發(fā)力：快速鎖定將要攻克的最核心、必考的重難點(diǎn)，明確主攻方向，聚焦關(guān)鍵目標(biāo)破解重難·沖高分方法引領(lǐng)，突破瓶頸：系統(tǒng)歸納攻克高頻難點(diǎn)的解題策略與實(shí)戰(zhàn)技巧，并配以同源試題快速內(nèi)化拔尖沖優(yōu)·奪滿分巔峰演練，錘煉題感：精選中高難度真題、模擬題，錘煉穩(wěn)定攻克難題的“頂級(jí)題感”與應(yīng)變能力近三年：空間幾何體外接球內(nèi)切球問題一直是高考中的重難點(diǎn)，也是空間幾何體中的一個(gè)比較難得知識(shí)點(diǎn)，近年來，也是高考中的高頻考點(diǎn)。預(yù)測(cè)2026年：考向01棱錐墻角模型考向02對(duì)棱相等的三棱錐外接球考向03常規(guī)棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體模型考向04二面角外接球模型考向05圓錐，圓柱，圓臺(tái)外接球模型考向06不規(guī)則幾何體外接球問題考向07空間幾何體內(nèi)切球問題考向08空間幾何體內(nèi)切多球問題考向01棱錐墻角模型墻角模型是棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是棱錐模型（一般是三棱錐或者是四棱錐），在空間內(nèi)不在同一個(gè)平面的四個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面及球面．即可以通過補(bǔ)成長(zhǎng)方體或者是正方體，棱錐外接球即是對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體外接球。去轉(zhuǎn)化外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)(在長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)．)，秒殺公式：R2＝eq\f(a2＋b2＋c2,4)．可求出球的半徑從而解決問題．有以下四種類型：1已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，且，，則球的體積為（

）A． B． C． D．2（2025·貴州銅仁·三模）在三棱錐中，已知平面，，．若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．考向02對(duì)棱相等的三棱錐外接球三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑（，，）設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以．注意當(dāng)長(zhǎng)方體中時(shí)候，長(zhǎng)方體即是正方體，此四棱錐即是正四面體。正四面體的棱長(zhǎng)為m,,則正四面體的高即為1在四面體中，三組對(duì)棱的棱長(zhǎng)分別相等且依次為，，5，則此四面體的外接球的半徑．2在四面體中，，，則它的外接球的表面積（

）A． B． C． D．3已知三棱錐中，，若均在半徑為2的球面上，求的范圍．考向03常規(guī)棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體模型1垂面模型是有一條側(cè)棱垂直底面的棱錐模型，可補(bǔ)為直棱柱內(nèi)接于球，由對(duì)稱性可知球心O的位置是△CBD的外心O1與△AB2D2的外心O2連線的中點(diǎn)，．第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：2或者是有一側(cè)面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個(gè)互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如類型Ⅰ，△ABC與△BCD都是直角三角形，類型Ⅱ，△ABC是等邊三角形，△BCD是直角三角形，類型Ⅲ，△ABC與△BCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與△BCD的外心作該三角形所在平面的垂線，交點(diǎn)O即為球心．類型Ⅳ，△ABC與△BCD都一般三角形，解決方法是過△BCD的外心O1作該三角形所在平面的垂線，用代數(shù)方法即可解決問題．設(shè)三棱錐A－BCD的高為h，外接球的半徑為R，球心為O．△BCD的外心為O1，O1到BD的距離為d，O與O1的距離為m，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝r2＋m2，,R2＝d2＋h－m2，))解得R．可用秒殺公式：R2＝r12＋r22－eq\f(l2,4)(其中r1、r2為兩個(gè)面的外接圓的半徑，l為兩個(gè)面的交線的長(zhǎng))1已知四邊形，是以為邊長(zhǎng)的等邊三角形，，現(xiàn)把沿著對(duì)角線進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)在面上的投影落在點(diǎn)處，則此時(shí)三棱錐外接球的表面積為.2在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為3的正三角形，且，，二面角的大小為，則此三棱錐外接球的表面積為.3如圖，在三棱錐中，，，，且直線與所成角的余弦值為，則該三棱錐的外接球的體積為

考向04二面角外接球模型一直三棱錐或者是四棱錐問題，已知對(duì)應(yīng)的二面角，求對(duì)應(yīng)的外接球的半徑問題，如圖所示求對(duì)應(yīng)的外接球的半徑，（或者是菱形的沿著對(duì)角線進(jìn)行折疊問題）1已知平面平面，球O與直線l相切于點(diǎn)A，平面與平面分別截球O所得截面圓的半徑為1，．若二面角的大小為，則球O的半徑為．2在四邊形中，，對(duì)角線，將沿翻折成，使二面角的大小為，則四面體外接球的表面積為．3在邊長(zhǎng)為6的菱形中，，沿對(duì)角線將折起，使得二面角的大小為，連接，則四面體的外接球的表面積為．考向05棱臺(tái)，圓錐，圓柱，圓臺(tái)外接球模型1棱臺(tái)模型：2．圓錐的外接球(R是圓錐外接球的半徑，h是圓錐的高，r是圓錐底面圓的半徑).3圓柱的外接球(R是圓柱外接球的半徑，h是圓柱的高，r是圓柱底面圓的半徑).4圓臺(tái)外接球1已知正四棱臺(tái)，，高為，則該正四棱臺(tái)外接球的表面積為.2已知某三棱臺(tái)的高為，上、下底面分別為邊長(zhǎng)為和的正三角形，若該三棱臺(tái)的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為．考向06不規(guī)則幾何體外接球問題空間幾何體內(nèi)切多球問題主要思路空間內(nèi)不在同一個(gè)平面的四個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)球面，對(duì)于不規(guī)則幾何體的外接球，應(yīng)該轉(zhuǎn)化成規(guī)則幾何體?；蛘呤茄a(bǔ)成常規(guī)的幾何體，利用找到兩個(gè)平面的外心，從而找到兩個(gè)平面過外心的垂線的交點(diǎn)即是所要求的外接球的球心即可。其解題思維流程如下：1定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；2作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；3求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.1＂阿基米德多面體＂也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖所示，將正方體沿同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去8個(gè)三棱錐，得到8個(gè)面為正三角形、6個(gè)面為正方形的一種半正多面體．若，則此半正多面體外接球的表面積為.2已知正四面體的棱長(zhǎng)為，現(xiàn)截去四個(gè)全等的小正四面體，得到如圖的八面體，若這個(gè)八面體能放進(jìn)半徑為的球形容器中，則截去的小正四面體的棱長(zhǎng)最小值為.3如圖，在平面四邊形中，，沿對(duì)角線將折起，使平面平面，連接，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為.

考向07空間幾何體內(nèi)切球問題1空間幾何體（椎體，柱體，臺(tái)體）的內(nèi)切球問題半徑，一般思路是利用等體積法。即2對(duì)于空間旋轉(zhuǎn)體(圓臺(tái)，圓柱，圓錐)一般是采用將幾何體內(nèi)切球問題轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)軸截面的內(nèi)接圓問題，如圖，圓錐，圓柱，圓臺(tái)的內(nèi)切球一般轉(zhuǎn)化成軸面的內(nèi)切圓1已知某三棱柱的底面為邊長(zhǎng)為6的正三角形，且該三棱柱存在內(nèi)切球，則該三棱柱的高為．2工人要將一個(gè)圓錐形的實(shí)心鐵塊打磨成一個(gè)鐵球，若圓錐形鐵塊的體積為，則可能得到的鐵球體積的最大值為.3已知圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，母線長(zhǎng)為2，則圓臺(tái)的外接球體積為．考向08空間幾何體內(nèi)切多球問題空間幾何體內(nèi)切多球問題主要思路1利用內(nèi)切球的球心，連接對(duì)應(yīng)的球心，從而組成相應(yīng)的椎體或者是柱體，在利用對(duì)應(yīng)的截面圖形，找到半徑與空間幾何體對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系。2利用幾何體的截面，從而將空間幾何體的多內(nèi)切球問題轉(zhuǎn)化成平面幾何體的內(nèi)接圓問題，1如圖，在正四面體中，中間1個(gè)大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，4個(gè)小球與大球?正四面體的三個(gè)面均相切.若，則該正四面體中，其中一個(gè)小球與大球的體積比為.2甜品店推出一款巧克力酸奶杯，如圖所示，在裝滿酸奶的圓臺(tái)形杯具內(nèi)有半徑分別為和的兩個(gè)巧克力球，巧克力小球與杯底和杯壁均相切，大球與小球?杯壁?杯蓋均相切，則杯具中酸奶的體積為.3已知某種益智玩具如圖所示，它由兩個(gè)同底的正四棱錐拼接而成，若上面的正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為2，下面的正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，則其內(nèi)切球的表面積為.4在正三棱錐中，，，三棱錐的內(nèi)切球球心為O，若在此三棱錐中再放入一個(gè)球，使其與三個(gè)側(cè)面及內(nèi)切球O均相切，則球的半徑為．（建議用時(shí)：60分鐘）一、填空題1已知某正三棱柱既有內(nèi)切球又有外接球，外接球的表面積為，則該三棱柱的體積為.2在三棱錐中，平面ABC，，，，則三棱錐的外接球的體積為.3如圖，用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將半徑為1的雞蛋（視為球）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋最高點(diǎn)與蛋巢底面的距離為．4一個(gè)四面體有五條棱的棱長(zhǎng)為，且外接球的表面積為，則不同于這五條棱的棱的棱長(zhǎng)為．5已知一個(gè)圓臺(tái)母線長(zhǎng)為3，側(cè)面展開圖是一個(gè)面積為的半圓形扇環(huán)（如圖所示），在該圓臺(tái)內(nèi)能放入一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的正四面體（圓臺(tái)表面厚度忽略不計(jì)），則該正四面體體積的最大值為．6在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，側(cè)面底面，.若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的表面積為，三棱錐體積的最大值為.7中國(guó)雕刻技藝舉世聞名，雕刻技藝的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，成品美輪美奐．1966年，玉石雕刻大師吳公炎將這一雕刻技藝應(yīng)用到玉雕之中，他把玉石鏤成多層圓球，層次重疊，每層都可靈活自如的轉(zhuǎn)動(dòng)，是中國(guó)玉雕工藝的一個(gè)重大突破.今一雕刻大師在棱長(zhǎng)為10的整塊正方體玉石內(nèi)部套雕出一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的球，在球內(nèi)部又套雕出一個(gè)正四面體（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐)，若不計(jì)各層厚度和損失，則最內(nèi)層正四面體的棱長(zhǎng)最長(zhǎng)為8空間利用率是指構(gòu)成晶體的原子在整個(gè)晶體空間中所占有的體積比，即空間利用率．如圖1是六方最密堆積晶胞的示意圖．以上下層球心為頂點(diǎn)得平行六面體，如圖2，其中是中間層球的球心，已知該示意圖中原子的平均個(gè)數(shù)為2，則該晶胞的空間利用率為（用含的式子表示）．

9一正四棱錐形狀的中空水晶，其側(cè)面分別鐫刻“自”“信”“自”“立”四字，內(nèi)部為一個(gè)正四面體形狀的水晶，表面上分別鐫刻“自”“主”“自”“強(qiáng)”四字，當(dāng)其在四棱錐外殼內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，好似折射出可穿越時(shí)空的永恒光芒.已知外部正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為，為使內(nèi)部正四面體在外部正四棱錐內(nèi)(不考慮四棱錐表面厚度)可繞四面體中心任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正四面體棱長(zhǎng)最大為.10在三棱錐中，底面，側(cè)面?zhèn)让?，且，的面積為4.若三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球表面積的最小值為.11一個(gè)高為，上、下底面半徑分別是和的封閉圓臺(tái)容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)有一個(gè)鐵球，則鐵球表面積的最大值為．12如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體內(nèi)有兩個(gè)球、相外切，兩球又分別與正方體內(nèi)切，則兩球體積之和的最小值為.（參考公式：.）13如圖，半徑為2的四分之一球形狀的玩具儲(chǔ)物盒，放入一個(gè)玩具小球，合上盒蓋，當(dāng)小球的半徑最大時(shí)，小球的表面積為.14如圖，三個(gè)半徑都是6的