1/2答題模板04飄帶函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、抽象函數(shù)、嵌套函數(shù)、三次函數(shù)解題技巧有關(guān)的9類核心題型目錄第一部分命題解碼洞察命題意圖，明確攻堅方向第二部分方法建模構(gòu)建方法體系，提供通用工具【結(jié)論背記清單】方法一飄帶函數(shù)技巧方法二復(fù)合函數(shù)單調(diào)性與奇偶性技巧方法三鑲嵌函數(shù)技巧方法四抽象函數(shù)求值、比大小技巧方法五抽象函數(shù)奇偶性技巧方法六抽象函數(shù)周期性技巧方法七抽象函數(shù)對稱性技巧方法八抽象函數(shù)性質(zhì)融合技巧方法九三次函數(shù)技巧第三部分題型專攻實施靶向訓(xùn)練，提升應(yīng)試效率?！绢}型01】飄帶函數(shù)【題型02】復(fù)合函數(shù)單調(diào)性與奇偶性【題型03】鑲嵌函數(shù)【題型04】抽象函數(shù)求值、比大小【題型05】抽象函數(shù)奇偶性【題型06】抽象函數(shù)周期性【題型07】抽象函數(shù)對稱性【題型08】抽象函數(shù)性質(zhì)融合【題型09】三次函數(shù)第四部分答題實戰(zhàn)檢驗學(xué)習(xí)成效，錘煉應(yīng)用能力模塊說明：洞察命題意圖，明確攻堅方向模塊說明：洞察命題意圖，明確攻堅方向1.考向聚焦：精煉概括本專題在高考中的核心考查方向與價值。

2.思維瓶頸：精準(zhǔn)診斷學(xué)生在此類題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精煉概括本專題在高考中的核心考查方向與價值）特殊函數(shù)問題（飄帶、復(fù)合、抽象、嵌套、三次函數(shù)）是函數(shù)板塊考查代數(shù)變形、數(shù)形結(jié)合與高階邏輯推理能力的核心載體。試題通過設(shè)計復(fù)雜的函數(shù)形式與抽象條件，重點檢驗學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)（對應(yīng)關(guān)系）、性質(zhì)（單調(diào)、奇偶、周期、對稱）與圖象的深刻理解，以及運用導(dǎo)數(shù)、不等式等工具進行系統(tǒng)性分析的能力。核心考查三大方向：飄帶函數(shù)（對勾函數(shù)）：考查通過均值不等式或?qū)?shù)求最值（值域）、單調(diào)區(qū)間，以及其非線性特征在優(yōu)化問題中的應(yīng)用。關(guān)鍵在于識別標(biāo)準(zhǔn)形式f(x)=ax+bx復(fù)合函數(shù)：核心考查復(fù)合過程的定義域傳遞與單調(diào)性法則（“同增異減”）的應(yīng)用。復(fù)雜之處在于多層復(fù)合（嵌套）或與分段函數(shù)結(jié)合，需層層分析。抽象函數(shù)：在未給出具體解析式，僅給出函數(shù)方程（如f(x+y)=f(x)+f(y)）或抽象性質(zhì)條件下，考查性質(zhì)推導(dǎo)（賦值法）、模型識別（聯(lián)想指數(shù)、對數(shù)等具體函數(shù)）及綜合應(yīng)用的能力，是函數(shù)概念理解的試金石。三次函數(shù)：作為多項式函數(shù)的典型代表和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的主要載體，核心考查利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性、極值、零點（韋達定理應(yīng)用）及圖象（對稱中心），并常與不等式恒成立、方程根分布問題深度融合。2.思維瓶頸（精準(zhǔn)診斷學(xué)生在此類題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板）形式識別障礙：面對飄帶函數(shù)的復(fù)雜變形（如分子分母含變量）或抽象函數(shù)的具體化需求，無法洞察其結(jié)構(gòu)特征，導(dǎo)致方法選擇錯誤。復(fù)合過程邏輯混亂：求解復(fù)合函數(shù)定義域時分不清內(nèi)層值域與外層定義域的關(guān)系；判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性時，對內(nèi)層函數(shù)值域是否處于外層函數(shù)單調(diào)區(qū)間分析不清。抽象函數(shù)推理能力弱：面對抽象條件時，缺乏“賦值”與“構(gòu)造”的意識與技巧，不能從特殊值（如令x=y=0）或變量替換中推導(dǎo)出一般性質(zhì)。工具使用僵化：對三次函數(shù)過度依賴求導(dǎo)，忽略其作為多項式本身的特性（如零點與系數(shù)的關(guān)系、因式分解可能性）；對飄帶函數(shù)直接求導(dǎo)而忽略更簡潔的均值不等式。數(shù)形結(jié)合分離：對飄帶、三次函數(shù)的圖象特征記憶模糊，不能借助草圖直觀分析最值、交點等問題，單純依賴代數(shù)計算。模塊說明：模塊說明：構(gòu)建思維框架，提煉通用解法1.模模塊化知識體系：熟記飄帶函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、抽象函數(shù)、嵌套函數(shù)、三次函數(shù)的相關(guān)知識內(nèi)容，形成清晰的解題思維基礎(chǔ)邏輯，便于快速定位解題切入點。2.通用解法模板化：針對高頻題型，總結(jié)“審題-建模-推導(dǎo)-驗證”法，規(guī)范解題流程，減少思維漏洞，提升答題效率。3.易錯點專項突破：整理常見誤區(qū)，設(shè)計針對性訓(xùn)練題，通過對比正確與錯誤解法，強化對知識邊界的理解，避免重復(fù)犯錯。結(jié)論背記二級結(jié)論飄帶函數(shù)（對勾函數(shù)/耐克函數(shù)）的結(jié)論①基本形式f(x)=定義域：(?∞,0)∪(0,+∞)奇偶性：奇函數(shù)（f(?漸近線：垂直漸近線：x斜漸近線：y=ax（當(dāng)∣x②單調(diào)性與極值（以a>0,單調(diào)區(qū)間：遞增：(?∞,?ba遞減：[?ba極值點與極值：極大值點：x=?b極小值點：x=b記憶口訣：

"同正兩勾，異正單調(diào)；同負(fù)鏡像，異負(fù)無峰"③系數(shù)符號對圖像的影響條件圖像特征單調(diào)性a雙勾型（標(biāo)準(zhǔn)耐克型）在(0,+∞)先減后增，在(?∞,0)先增后減a單調(diào)遞增型（無拐點）在整個定義域單調(diào)遞增a單調(diào)遞減型（無拐點）在整個定義域單調(diào)遞減a倒雙勾型（與第一種關(guān)于原點中心對稱）在(0,+∞)先增后減，在(?∞,0)先減后增④平移與變形形式水平平移：

f(x)=a(垂直平移：

f(x)=ax+復(fù)合形式：

f(t)=at+bt⑤最值結(jié)論（閉區(qū)間應(yīng)用）在區(qū)間[m判斷ba若在，比較端點值與極值若不在，最值在端點取得⑥常見變形與擴展平方型：f(x)=分式線性復(fù)合：f絕對值型：f(⑦注意事項必先確定定義域（尤其含參時x≠0畫草圖時先標(biāo)漸近線，再標(biāo)極值點解方程ax+bx=c不等式問題中，利用"對勾"區(qū)間單調(diào)性放縮

抽象函數(shù)結(jié)論一、奇偶性結(jié)論1.線性組合與運算規(guī)則奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)（排除抵消情況）、偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)、偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)、奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)k?f(x)（k≠0f(x)?f(?x)2.復(fù)合函數(shù)奇偶性外偶內(nèi)任意：若f(x)外奇內(nèi)奇：若f(x)為奇函數(shù)，g外奇內(nèi)偶：若f(x)為奇函數(shù)，g二、周期性結(jié)論1.基本周期公式等量關(guān)系型f(x+af(x+a分式函數(shù)型f(x+af(x+a和差關(guān)系型f(xf(xf(x2.復(fù)雜周期關(guān)系嵌套遞推型f(x+2a)=ff(x+2a復(fù)合函數(shù)周期若g(x)周期為T，則若f(x)周期為T，則3.周期組合若f(x)周期為T1，g(x三、對稱性結(jié)論1.軸對稱（關(guān)于直線對稱）基本形式、f(a+x一般形式、f(a+x2.中心對稱（關(guān)于點對稱）奇函數(shù)型f(a+x一般形式f(a+x四、綜合性質(zhì)與關(guān)聯(lián)1.奇偶性、周期性、對稱性關(guān)聯(lián)雙對稱性推周期兩軸對稱：有兩條對稱軸x=a和x兩中心對稱：有兩個對稱中心(a,c)一軸一中心：有對稱軸x=a和對稱中心(奇偶函數(shù)性質(zhì)可導(dǎo)奇函數(shù)?導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)、可導(dǎo)偶函數(shù)?導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)、周期奇函數(shù)必有f2.經(jīng)典抽象函數(shù)模型線性可加型、f(x指數(shù)可乘型、f(x對數(shù)可加型、f(xy冪函數(shù)型、f(xy三角函數(shù)型、f(x三次函數(shù)的結(jié)論一、基本形式一般地，三次函數(shù)的表達式為：f(x)=a二、三次函數(shù)的單調(diào)性（一階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用）對三次函數(shù)求一階導(dǎo)：f′(x)=3ax2+2bx+c令Δ當(dāng)Δ≤0時若a>0，則f′(x)≥0恒成立，f(x)在?上若a<0，則f′(x)≤0恒成立，f(x)在?上當(dāng)Δ>0時：設(shè)f′(x)=0的兩根為x1若a>0：f(x)在(?∞,x1)遞增，(x若a<0：f(x)在(?∞,x1)遞減，(x三、三次函數(shù)的極值（二階導(dǎo)數(shù)的輔助判斷）結(jié)合單調(diào)性，當(dāng)Δ>0時，三次函數(shù)有兩個極值點x=x1處：若a>0，則為極大值點；若a<0，則為x=x2處：若a>0，則為極小值點；若a<0，則為也可通過二階導(dǎo)數(shù)驗證：求二階導(dǎo)f′′(x)=6ax+2b，代入極值點若f′′(x0)>0若f′′(x0)<0四、三次函數(shù)的凹凸性（二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用）令f′′(x)=0，得拐點橫坐標(biāo)當(dāng)a>0時：x<?b3a，f′′x>?b3a，f′′當(dāng)a<0時：x<?b3a，f′′x>?b3a，f′′五、三次函數(shù)的零點分布三次函數(shù)在?上連續(xù)，且當(dāng)x→±∞時，f(x)趨向于±∞（由a的符號決定），因此至少有零點個數(shù)由極值的符號決定（以a>0為例）：若f(x1)<0或f(若f(x1)=0或f(若f(x1)>0且f(技法歸納方法一飄帶函數(shù)技巧飄帶函數(shù)（對勾函數(shù)）是一種常見的非線性函數(shù)，其圖像形似飄帶，具有漸近線、極值點和單調(diào)區(qū)間，掌握其圖像與性質(zhì)是解決相關(guān)問題的關(guān)鍵。核心思路掌握飄帶函數(shù)f(x)=ax+bx(a·b第一步：化標(biāo)準(zhǔn)形將所給函數(shù)通過分離常數(shù)、換元等方法，化為y=Ax+Bx+C的形式，確定參數(shù)第二步：作圖識性根據(jù)A與B同號，畫出函數(shù)草圖。牢記：定義域關(guān)于原點對稱；有兩條漸近線（x=0和y=ax）；在x=±BA第三步：應(yīng)用性質(zhì)求最值：利用基本不等式或單調(diào)性。注意“一正、二定、三相等”。

解方程/不等式：結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間，可將方程f(x)=k的解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖像交點問題。第四步：注意定義域定義域是應(yīng)用所有性質(zhì)的前提。若定義域不為全體非零實數(shù)，則極值點未必在±BA關(guān)鍵技巧1.記憶口訣：“同號飄帶，異號單調(diào)”。

2.利用奇偶性：標(biāo)準(zhǔn)飄帶函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱。

3.復(fù)合型飄帶：對于f(x)=a例題1下列函數(shù)的最小值為2的是（

）A． B．C． D．例題2將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌群罂傻玫揭恍┦煜ず瘮?shù)的圖象．如反比例函數(shù)，“雙勾”函數(shù)，“飄帶”函數(shù)等，它們的圖象都可以由某條雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌榷玫剑F(xiàn)將雙曲線繞原點旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌群?，得到函?shù)的圖象．則雙曲線的離心率的值為（

）A． B． C． D．例題3（2025·廣東梅州·模擬預(yù)測）（多選）一般地，我們把形如的函數(shù)稱為飄帶函數(shù)，若飄帶函數(shù)在上的最小值、最大值分別為和1.則對于函數(shù)下列說法正確的有（

）A．函數(shù)是上的增函數(shù)B．當(dāng)時，C．函數(shù)與軸只有兩個交點D．函數(shù)的所有零點最大的為方法二復(fù)合函數(shù)單調(diào)性與奇偶性技巧復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷遵循“同增異減”法則；奇偶性判斷則需從內(nèi)到外分析，并注意定義域的對稱性。核心思路判斷復(fù)合函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性用“同增異減”；判斷其奇偶性需結(jié)合內(nèi)、外層函數(shù)性質(zhì)綜合推導(dǎo)。第一步：分解函數(shù)將復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)或已知其性質(zhì)的函數(shù)，設(shè)t=g(x)，y=f(t)。第二步：判斷單調(diào)性1.分別判斷內(nèi)層函數(shù)t=g(x)和外層函數(shù)y=f(t)的單調(diào)性。

2.應(yīng)用法則：若內(nèi)、外層單調(diào)性相同（同增或同減），則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若相反，則為減函數(shù)。第三步：判斷奇偶性1.判定義域：首先檢查定義域是否關(guān)于原點對稱。

2.核心方法：利用定義計算f(g(?x))，并嘗試將其化為f(g(x))或?f(g(x))的形式。常見結(jié)論：

-內(nèi)偶則整體偶（若g(x)是偶函數(shù)，則f(g(x))是偶函數(shù)）。

-內(nèi)奇外奇則整體奇（若g(x)是奇函數(shù)且f(t)是奇函數(shù)，則f(g(x))是奇函數(shù)）。第四步：綜合應(yīng)用將單調(diào)性與奇偶性結(jié)合，可用于比較大小、解不等式、確定函數(shù)圖像等。關(guān)鍵技巧1.單調(diào)性法則僅當(dāng)內(nèi)層函數(shù)值域在外層函數(shù)定義域內(nèi)時才嚴(yán)格成立。

2.奇偶性判斷中，“內(nèi)偶則整體偶”非常實用；“內(nèi)奇外奇則奇”也常用。例題4（2025·江西·二模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題5函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．例題6（2025·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則（）A．-1 B．0 C．1 D．1或-1例題7（25-26高三上·廣東·月考）已知非常數(shù)函數(shù)是奇函數(shù)，則.方法三鑲嵌函數(shù)技巧鑲嵌函數(shù)（或稱迭代函數(shù)、嵌套函數(shù)）是指函數(shù)中嵌套了自身或其他函數(shù)，解題關(guān)鍵在于由外到內(nèi)、逐層剝離，或通過換元轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)。核心思路處理形如f(f(x))、f(g(x))等嵌套形式的問題，通過換元或迭代思想，將復(fù)雜嵌套轉(zhuǎn)化為簡單方程或函數(shù)關(guān)系。第一步：識別結(jié)構(gòu)明確函數(shù)的嵌套層次和結(jié)構(gòu)，例如是自身迭代f(n)(x)，還是不同函數(shù)的嵌套第二步：選擇策略策略A（求值）：從最內(nèi)層開始，逐層計算函數(shù)值。

策略B（解方程）：令內(nèi)層函數(shù)為整體t，將方程化為關(guān)于t和x的方程組求解。

策略C（求解析式）：通過換元法，設(shè)t=g(x)，解出x=?(t)，代入原式得到f(t)的表達式。第三步：執(zhí)行計算按照所選策略，仔細(xì)進行代數(shù)運算，注意定義域的變化。第四極：檢驗結(jié)果將結(jié)果代回原式檢驗，并確認(rèn)其是否在合理的定義域內(nèi)。關(guān)鍵技巧1.換元法是核心：對于f(g(x))給定，求f(x)時，務(wù)必令t=g(x)并反解x。

2.注意定義域：新函數(shù)f(t)的定義域是內(nèi)層函數(shù)g(x)的值域。

3.迭代周期：對于自身迭代，有時會呈現(xiàn)周期性，可嘗試計算f(f(x))、f(f(f(x)))尋找規(guī)律。例題8已知函數(shù)與，若存在使得，則不可能為（

）A． B． C． D．例題9（多選）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則（

）A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)在上單調(diào)遞減例題10設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點為．方法四抽象函數(shù)求值、比大小技巧抽象函數(shù)未給出具體解析式，求值與比大小需充分利用所給函數(shù)性質(zhì)方程，通過賦值法、配湊法、單調(diào)性等建立關(guān)系。核心思路面對抽象函數(shù)f(x)滿足的恒等式（如f(x+y)=...），通過巧妙賦值（令x,y第一步：分析方程仔細(xì)閱讀抽象函數(shù)滿足的恒等式（如f(x+y)=f(x)+f(y)），理解其運算含義。第二步：目標(biāo)賦值求具體值（如f(0),f(1)）：常令變量為0,1,?1或互為相反數(shù)、倒數(shù)等。

比大?。盒柘壤觅x值法或性質(zhì)推導(dǎo)出單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較。第三步：配湊變量將目標(biāo)自變量（如f(3)）通過恒等式拆解為已知或可求的部分（如f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)）。第四步：利用單調(diào)性若推導(dǎo)出函數(shù)單調(diào)性（常通過f(x)?f(y)=f(x?y)結(jié)合正負(fù)判斷），則直接利用x1>關(guān)鍵技巧1.經(jīng)典模型賦值：

-線性模型f(x+y)=f(x)+f(y)：令x=y=0求f(0)；令y=?x求f(?x)。

-指數(shù)模型f(x+y)=f(x)f(y)：令x=y=0求f(0)；常得f(0)=1。

2.比大小的關(guān)鍵是求差或求商后，利用恒等式判斷符號。例題11（2025·河北·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則（）A． B．C． D．例題12（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則（

）A．1364 B．1363 C．1264 D．1263例題13（2025·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)滿足：①定義域為，②，③當(dāng)時，，則（

）A． B．C． D．若，則的取值范圍為方法五抽象函數(shù)奇偶性技巧判斷抽象函數(shù)的奇偶性，主要依據(jù)奇偶性定義，結(jié)合所給的函數(shù)方程，通過賦值法構(gòu)造出f(?x)與f(x)或?f(x)的關(guān)系。核心思路利用奇偶性定義f(?x)=±f(x)，在抽象函數(shù)方程中，通過令變量取相反數(shù)等賦值方式，推導(dǎo)出上述關(guān)系。第一步：定義域優(yōu)先首先檢查定義域是否關(guān)于原點對稱，不對稱則非奇非偶。第二步：構(gòu)造f(?x)在給定的恒等式中，嘗試令所有自變量取相反數(shù)，或進行變量替換（如令y=?x），以得到包含f(?x)的等式。第三步：與f(x)建立聯(lián)系將得到的含有f(?x)的等式，與原始的恒等式或通過其他賦值得到的等式聯(lián)立，目標(biāo)是消去其他項，得到f(?x)=f(x)或f(?x)=?f(x)。第四步：得出結(jié)論根據(jù)推導(dǎo)出的關(guān)系，結(jié)合定義，下奇偶性結(jié)論。關(guān)鍵技巧1.常用賦值組合：令y=?x；令x=y=0后再令y=?x。

2.累加型方程：如f(x+y)=f(x)+f(y)，常推出奇函數(shù)（因為f(0)=0且f(?x)=?f(x)）。

3.乘積型方程：如f(xy)=f(x)f(y)，常推出偶函數(shù)（因為f(x2)=[f(x)]2例題14（2025·吉林·模擬預(yù)測）（多選）非恒為零函數(shù)的定義域為，且與都為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．為周期函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)例題15已知函數(shù)的定義域均為，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C．為奇函數(shù) D．為奇函數(shù)例題16（多選）已知函數(shù)的定義域為，且，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)方法六抽象函數(shù)周期性技巧證明或求解抽象函數(shù)的周期，核心是運用定義，通過反復(fù)應(yīng)用函數(shù)方程，推導(dǎo)出f(x+T)=f(x)的關(guān)系，并找出最小正周期T。核心思路從所給函數(shù)方程出發(fā)，通過變量替換、迭代等代數(shù)操作，構(gòu)造出f(x+a)=f(x)的形式，從而確定周期a。第一步：識別線索方程中若出現(xiàn)f(x+a)、f(x?a)，或形如f(x)=f(2a?x)（對稱性）可能隱含周期性。第二步：變量代換與迭代對恒等式中的變量進行系統(tǒng)性的替換。例如：

已知f(x+a)=?f(x)，則迭代一次：f(x+2a)=?f(x+a)=f(x)，周期為2a。第三步：推導(dǎo)常見結(jié)論牢記常見周期模型：

1.f(x+a)=?f(x)?T=2a。

2.f(x+a)=1f(x)或f(x+a)=?1f(x)?T=2a。

3.f(x+a)=f(x?a)?T=2a。

4.兩個對稱性（如關(guān)于x=a和x=b第四步：求值應(yīng)用利用周期性將求未知函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值。關(guān)鍵技巧1.迭代法是證明周期的通用方法。

2.雙對稱得周期：若函數(shù)圖像關(guān)于直線x=a和x=b(a≠b)對稱，則函數(shù)是周期函數(shù)，例題17（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且，則（

）A．－3 B．－2 C．0 D．1例題18（25-26高三上·云南·月考）若的定義域為，且，，則（

）A．-4 B．-2 C．2 D．4例題19（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·月考）已知函數(shù)，的定義域為，是的導(dǎo)數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（

）A．80 B．75 C．70 D．65方法七抽象函數(shù)對稱性技巧抽象函數(shù)的對稱性分為軸對稱（如關(guān)于x=a）和中心對稱（如關(guān)于點(a,b)對稱），證明的關(guān)鍵是利用定義，建立f(a+x)與f(a?x)的關(guān)系。核心思路軸對稱：證明f(a+x)=f(a?x)。

中心對稱：證明f(a+x)+f(a?x)=2b或f(x)=2b?f(2a?x)。第一步：識別對稱類型根據(jù)題目描述或所給方程形式，初步判斷是軸對稱還是中心對稱。第二步：應(yīng)用定義推導(dǎo)證軸對稱：在函數(shù)方程中，嘗試令自變量之和為2a，或進行代換x→a+x,y→a?x。

證中心對稱：常用方法同上，目標(biāo)是得到f(a+x)+f(a?x)為定值。第三步：與周期性關(guān)聯(lián)注意：若一個函數(shù)有兩條對稱軸x=a和x=b，則它是周期函數(shù)，T=2∣a?b∣。若有對稱中心(a,0)和對稱軸x=b，則周期第四步：求值應(yīng)用利用對稱性，若知道一半?yún)^(qū)間內(nèi)的函數(shù)性質(zhì)或值，可推出另一半。關(guān)鍵技巧1.記憶結(jié)論：方程f(a+x)=f(b?x)表示圖像關(guān)于直線x=a+b2對稱。

2.記憶結(jié)論：方程f(a+x)+f(b?x)=c表示圖像關(guān)于點(a+b2,例題20（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點為、、、，則（

）A． B． C． D．例題21（25-26高三上·廣東·開學(xué)考試）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．方法八抽象函數(shù)性質(zhì)融合技巧綜合題常同時考查抽象函數(shù)的多種性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性），解題關(guān)鍵在于厘清性質(zhì)間的邏輯關(guān)系，并用于求值、解不等式或比較大小。核心思路面對同時具有多種性質(zhì)的抽象函數(shù)，首先利用賦值法等推導(dǎo)出所有性質(zhì)，然后將自變量變換到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用單調(diào)性解決問題。第一步：性質(zhì)推導(dǎo)根據(jù)所給方程，逐一推導(dǎo)出函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性、單調(diào)性。這是解題的基礎(chǔ)。第二步：區(qū)間歸一化利用周期性或?qū)ΨQ性，將需要比較大小或解不等式中涉及的自變量，全部變換到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)（通常是基本區(qū)間，如[0,T/第三步：應(yīng)用單調(diào)性在統(tǒng)一的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小，或解函數(shù)不等式（脫去“f”）。第四步：整合答案根據(jù)變換規(guī)則，將最終解集還原到原自變量范圍。關(guān)鍵技巧1.解題路線圖：先推性質(zhì)→再化同區(qū)→后用單調(diào)。

2.脫“f”法則：解不等式f(A)>f(B)時，必須在已知的單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行，再結(jié)合奇偶、周期將A,B化入該區(qū)間。

3.畫示意圖：根據(jù)已推出的性質(zhì)，畫出函數(shù)在某一周期內(nèi)的示意圖，可直觀輔助分析。例題22（2026·陜西西安·一模）（多選）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，，若，，，則（

）A． B．C．是周期為的周期函數(shù) D．例題23．（2026·云南昭通·模擬預(yù)測）（多選）設(shè)定義在R上的函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，則（

）A． B．的圖象關(guān)于直線對稱C． D．例題24（2026·山東青島·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)的定義域為，是單調(diào)函數(shù)，，且，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．C．在上單調(diào)遞減 D．例題25（2025·江西宜春·二模）（多選）已知函數(shù)，對任意，均有，且，為的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A． B．為偶函數(shù)C． D．方法九三次函數(shù)技巧三次函數(shù)是高考重點，其圖像為“S”形曲線，掌握其導(dǎo)數(shù)、極值、零點與圖像特征，是解決相關(guān)問題的核心。核心思路對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2第一步：求導(dǎo)分析求導(dǎo)得f′(x)=3ax2+2bx+c。計算判別式Δ=4(b2?3ac)。

-若Δ≤0，則f(x)在R上單調(diào)。

-若Δ>0，則f(x)有兩個極值點x1,第二步：圖像與性質(zhì)1.圖像特征：“先升后降再升”（a>0）或“先降后升再降”（a<0）。

2.對稱中心：三次函數(shù)是中心對稱圖形，對稱中心為拐點(?b3a,f(?b3a))。

3.零點問題：極值點是判斷零點個數(shù)的關(guān)鍵。設(shè)極大值為M，極小值為m，則：

-一個零點：M<0或m>0。

-兩個零點：M=0或m=0。

-三個零點：第三步：韋達定理應(yīng)用若已知三次函數(shù)與x軸交于三點x1,x2,x3，則有x第四步：切線問題過三次函數(shù)圖像上一點求切線，注意該點是否就是對稱中心（拐點），過拐點的切線有特殊性（穿過曲線）。關(guān)鍵技巧1.導(dǎo)數(shù)工具：研究三次函數(shù)，求導(dǎo)是標(biāo)準(zhǔn)動作。

2.零點個數(shù)：結(jié)合圖像，由極值正負(fù)判斷，比用三次方程求根公式更有效。

3.對稱中心：公式(?b3a,f(?b3a))可用于快速化簡求值問題（如f(p)+f(q)=2f(核心思路對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2例題26（2025·青海西寧·二模）（多選）已知函數(shù)，1為的極小值點，則（

）A． B．的極大值為3C．恰有3個零點 D．的圖象關(guān)于點對稱例題27（2025·廣西·一模）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極大值點B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，D．曲線有且只有一個對稱中心，且該對稱中心坐標(biāo)為例題28（2025·江西南昌·二模）（多選）已知.不等式的解集為且，則下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)的極大值點為1B．函數(shù)的對稱中心為C．過點可作一條直線與曲線相切D．當(dāng)時，例題29（2025·遼寧鞍山·二模）（多選）已知函數(shù)滿足，，則（

）A．B．對于任意，有三個零點C．對于任意，有兩個極值點D．存在，使得點為曲線對稱中心模塊說明：模塊說明：聚焦前沿題型，靶向提升解題能力1.精選各省市最新模擬題，確保訓(xùn)練內(nèi)容緊密貼合當(dāng)前考查方向與命題動態(tài)，幫助學(xué)生把握前沿考點。2.按題型進行系統(tǒng)分類與專項訓(xùn)練，使學(xué)生能夠集中突破特定題型，深度掌握其核心解題思路與技巧。【題型01】飄帶函數(shù)（共6題）1．下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．2．（2025·山西·二模）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2025·河北·一模）函數(shù)在上的零點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．84．（25-26高三上·湖南長沙·月考）下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，的最小值為2B．當(dāng)時，的最小值為4C．的最小值為D．當(dāng)時，的最大值為15．形如的函數(shù)一般稱為飄帶函數(shù)．若飄帶函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點和．則以下四個判斷中①是定義域上的偶函數(shù)；②在內(nèi)單調(diào)遞減；③有最小值；④，正確的有（

）A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④6．（25-26高三上·河北保定·月考）將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)一個合適的角度，可以得到一些熟悉的函數(shù)圖象，比如反比例函數(shù)，“對勾”函數(shù)，“飄帶”函數(shù)等等，它們的圖象都能由某條雙曲線繞原點旋轉(zhuǎn)得到．現(xiàn)將雙曲線繞原點旋轉(zhuǎn)一個合適的角度，得到“飄帶”函數(shù)的圖象，則雙曲線的離心率為．【題型02】復(fù)合函數(shù)單調(diào)性與奇偶性（共6題）7．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．8．（2025·河北滄州·一模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．9．（2025·山東聊城·模擬預(yù)測）若是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．或10．（2025·廣東茂名·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．11．（24-25高一上·湖北·月考）已知且，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．12．（24-25高三上·河北邢臺·月考）已知函數(shù)的定義域是，則下列命題中不正確的是（

）A．若是偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則是偶函數(shù)B．若是偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則是偶函數(shù)C．若是單調(diào)遞減函數(shù)，則也是單調(diào)遞減函數(shù)D．若是單調(diào)遞增函數(shù)，則也是單調(diào)遞增函數(shù)【題型03】鑲嵌函數(shù)（共3題）13．（2025高三·全國·專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且，在上都單調(diào)遞增，則（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞增14．（多選）已知是上的單調(diào)函數(shù)，且，則（

）A．B．是奇函數(shù)C．D．不等式的解集是15．（2021高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)則函數(shù)的零點為．【題型04】抽象函數(shù)求值、比大?。ü?題）16．（2025·湖北·三模）已知定義在正整數(shù)集上的函數(shù)滿足，且有，則（

）．A． B．C． D．17．（2025·福建福州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，，且，，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A．B．C．D．18．（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足：，，，若，則（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．202519．（2025·湖北·模擬預(yù)測）（多選）已知定義域為的函數(shù)滿足，且.則（

）A． B． C． D．可能為增函數(shù)【題型05】抽象函數(shù)奇偶性（共3題）20．（2025·山西·二模）已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C． D．21．（2025高三·全國·專題練習(xí)）（多選）已知定義在上的函數(shù)，且，若，則（

）A． B．是偶函數(shù)C．是奇函數(shù) D．22．（多選）已知函數(shù)對任意實數(shù)x，y都滿足，且，以下結(jié)論正確的有（

）A． B．是偶函數(shù)C．是奇函數(shù) D．【題型06】抽象函數(shù)周期性（共3題）23．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函數(shù)的定義域為R且則（

）A． B． C．1 D．24．（2025·甘肅·模擬預(yù)測）已知偶函數(shù)滿足：，且，若，則（

）A．1 B． C． D．25．（2025·河北保定·一模）已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．2【題型07】抽象函數(shù)對稱性（共2題）26．（25-26高三上·山西太原·月考）已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)．若函數(shù)的圖象與的圖象的公共點為，則（

）A．4052 B．4050 C．2026 D．202527．（25-26高三上·江蘇南通·月考）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，已知和都是偶函數(shù)，且，則的值為（

）A． B． C． D．【題型08】抽象函數(shù)性質(zhì)融合（共7題）28．（2026·湖北·模擬預(yù)測）（多選）已知，都是定義在上的函數(shù)，對任意滿足，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 D．若，則29．（2026·河北·一模）（多選）已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足下列條件：（1）對任意的，都有（2）當(dāng)時，.則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱C．若，則D．若，則30．（2025·四川巴中·三模）（多選）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若與均為偶函數(shù)，則下列選項正確的是（

）A． B．和是周期為4的周期函數(shù)C．為奇函數(shù) D．圖象關(guān)于點對稱31．（2025·福建莆田·三模）（多選）已知定義域為的函數(shù)是偶函數(shù)，且，，若，其中，則（

）A． B．C． D．的最小值為32．（2025·河北·二模）（多選）設(shè)函數(shù)的定義域為，且，則（

）A． B．C．是奇函數(shù) D．33．（2025·河南鶴壁·模擬預(yù)測）（多選）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)都是上偶函數(shù)，且，，則（

）A．的圖象關(guān)于點對稱 B．是周期函數(shù)C． D．34．（2025·廣東深圳·三模）（多選）已知函數(shù)的定義域為，，，則（

）A． B．的圖象關(guān)于點對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．【題型09】三次函數(shù)（共4題）35．（2025·湖北武漢·一模）（多選）已知函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱B．C．D．36．（2025·黑龍江·二模）（多選）已知函數(shù)的極小值為，則（

）A．B．曲線是中心對稱圖形C．若直線與函數(shù)的圖象有個交點，則實數(shù)的取值范圍為D．當(dāng)時，37．（24-25高三下·甘肅白銀·開學(xué)考試）（多選）已知函數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．0是的極小值點B．當(dāng)時，C．若，則D．若存在極大值點，且，其中，則38．（2025·河北唐山·一模）（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增B．函數(shù)的對稱中心為C．，使得與曲線的公共點中存在四點能連接成正方形D．，總存在兩條斜率互為相反數(shù)的相交直線與曲線都相切模塊說明：模塊說明：答題強化訓(xùn)練，實現(xiàn)能力躍遷。模塊題量適中，全部選用最新高質(zhì)量模擬題，側(cè)重對方法模型的直接應(yīng)用與鞏固。題量20題一、單選題1．（2025·陜西咸陽·二模）已知，則函數(shù)的最大值是（

）A． B． C． D．2．（2025·河北·模擬預(yù)測）已知為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，若方程恰有6個不同的根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2025·山西忻州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）．A．為函數(shù)的一個周期B．函數(shù)的值域為C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)4．（2025·廣西北?！つM預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．函數(shù)有5個零點5．（2025·廣東深圳·二模）已知函數(shù)的定義域為，，，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．的最大值為6．（2025·山東煙臺·三模）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意，都有，且．則（

）．A．為偶函數(shù) B．C．的周期為4 D．7．（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）一定不存在函數(shù)滿足：對任意都有（

）A． B．C． D．8．（2025·云南玉溪·模擬預(yù)測）已知不恒為0的函數(shù)的定義域為R，，則（

）A． B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．9．（2025·福建福州·一模）已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（

）A．的圖象關(guān)于點對稱 B．是以8為周期的周期函數(shù)C． D．10．（2025·浙江紹興·二模）已知函數(shù)的定義域為，且在定義域內(nèi)連續(xù)．則下列說法正確的是（

）A．設(shè)的定義域為D，則DB．設(shè)的定義域為D，則DC．若單調(diào)，則單調(diào)D．一定存在定義域為的偶函數(shù)與奇函數(shù)，使11．（2025·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若的圖象關(guān)于點對稱，的圖象關(guān)于軸對稱，則（

）A．是偶函數(shù) B．為奇函數(shù)C． D．12．（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，及其導(dǎo)函數(shù)，的定義域均為，已知，，且，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．點為曲線的對稱中心 D．13．（2025·山東威?！と＃┮阎嵌x在上的增函數(shù)，且可導(dǎo)，為奇函數(shù)，記函數(shù)分別是的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A． B．C． D．14．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則（

）A． B．是周期函數(shù)C． D．15．（2025·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)定義域為，函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，，，則下列說法正確的是（

）A． B．的一個周期為2C．的圖象關(guān)于對稱 D．16．（2025·甘肅白銀·三模）已知函數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A．不一定有極值B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，的極小值為0D．當(dāng)時，在區(qū)間上的最小值為17．（2025·四川成都·一模）設(shè)函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．時，的值域為C．有三個零點 D．曲線關(guān)于點對稱18．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．在處的切線方程為B．在區(qū)間上是減函數(shù)C．的最大值是D．的解集為19．（2025·河南·三模）函數(shù)，且為奇函數(shù)，下列說法正確的有（

）．A．，B．當(dāng)時，C．直線是曲線的一條切線D．若在區(qū)間上存在兩個極值點，則20．（2025·山東濟寧·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則（

）A．有三個零點B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．點為曲線的對稱中心D．當(dāng)時，

答題模板04飄帶函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、抽象函數(shù)、嵌套函數(shù)、三次函數(shù)解題技巧有關(guān)的9類核心題型目錄第一部分命題解碼洞察命題意圖，明確攻堅方向第二部分方法建模構(gòu)建方法體系，提供通用工具【結(jié)論背記清單】方法一飄帶函數(shù)技巧方法二復(fù)合函數(shù)單調(diào)性與奇偶性技巧方法三鑲嵌函數(shù)技巧方法四抽象函數(shù)求值、比大小技巧方法五抽象函數(shù)奇偶性技巧方法六抽象函數(shù)周期性技巧方法七抽象函數(shù)對稱性技巧方法八抽象函數(shù)性質(zhì)融合技巧方法九三次函數(shù)技巧第三部分題型專攻實施靶向訓(xùn)練，提升應(yīng)試效率?！绢}型01】飄帶函數(shù)【題型02】復(fù)合函數(shù)單調(diào)性與奇偶性【題型03】鑲嵌函數(shù)【題型04】抽象函數(shù)求值、比大小【題型05】抽象函數(shù)奇偶性【題型06】抽象函數(shù)周期性【題型07】抽象函數(shù)對稱性【題型08】抽象函數(shù)性質(zhì)融合【題型09】三次函數(shù)第四部分答題實戰(zhàn)檢驗學(xué)習(xí)成效，錘煉應(yīng)用能力模塊說明：洞察命題意圖，明確攻堅方向模塊說明：洞察命題意圖，明確攻堅方向1.考向聚焦：精煉概括本專題在高考中的核心考查方向與價值。

2.思維瓶頸：精準(zhǔn)診斷學(xué)生在此類題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精煉概括本專題在高考中的核心考查方向與價值）特殊函數(shù)問題（飄帶、復(fù)合、抽象、嵌套、三次函數(shù)）是函數(shù)板塊考查代數(shù)變形、數(shù)形結(jié)合與高階邏輯推理能力的核心載體。試題通過設(shè)計復(fù)雜的函數(shù)形式與抽象條件，重點檢驗學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)（對應(yīng)關(guān)系）、性質(zhì)（單調(diào)、奇偶、周期、對稱）與圖象的深刻理解，以及運用導(dǎo)數(shù)、不等式等工具進行系統(tǒng)性分析的能力。核心考查三大方向：飄帶函數(shù)（對勾函數(shù)）：考查通過均值不等式或?qū)?shù)求最值（值域）、單調(diào)區(qū)間，以及其非線性特征在優(yōu)化問題中的應(yīng)用。關(guān)鍵在于識別標(biāo)準(zhǔn)形式f(x)=ax+bx復(fù)合函數(shù)：核心考查復(fù)合過程的定義域傳遞與單調(diào)性法則（“同增異減”）的應(yīng)用。復(fù)雜之處在于多層復(fù)合（嵌套）或與分段函數(shù)結(jié)合，需層層分析。抽象函數(shù)：在未給出具體解析式，僅給出函數(shù)方程（如f(x+y)=f(x)+f(y)）或抽象性質(zhì)條件下，考查性質(zhì)推導(dǎo)（賦值法）、模型識別（聯(lián)想指數(shù)、對數(shù)等具體函數(shù)）及綜合應(yīng)用的能力，是函數(shù)概念理解的試金石。三次函數(shù)：作為多項式函數(shù)的典型代表和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的主要載體，核心考查利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性、極值、零點（韋達定理應(yīng)用）及圖象（對稱中心），并常與不等式恒成立、方程根分布問題深度融合。2.思維瓶頸（精準(zhǔn)診斷學(xué)生在此類題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板）形式識別障礙：面對飄帶函數(shù)的復(fù)雜變形（如分子分母含變量）或抽象函數(shù)的具體化需求，無法洞察其結(jié)構(gòu)特征，導(dǎo)致方法選擇錯誤。復(fù)合過程邏輯混亂：求解復(fù)合函數(shù)定義域時分不清內(nèi)層值域與外層定義域的關(guān)系；判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性時，對內(nèi)層函數(shù)值域是否處于外層函數(shù)單調(diào)區(qū)間分析不清。抽象函數(shù)推理能力弱：面對抽象條件時，缺乏“賦值”與“構(gòu)造”的意識與技巧，不能從特殊值（如令x=y=0）或變量替換中推導(dǎo)出一般性質(zhì)。工具使用僵化：對三次函數(shù)過度依賴求導(dǎo)，忽略其作為多項式本身的特性（如零點與系數(shù)的關(guān)系、因式分解可能性）；對飄帶函數(shù)直接求導(dǎo)而忽略更簡潔的均值不等式。數(shù)形結(jié)合分離：對飄帶、三次函數(shù)的圖象特征記憶模糊，不能借助草圖直觀分析最值、交點等問題，單純依賴代數(shù)計算。模塊說明：模塊說明：構(gòu)建思維框架，提煉通用解法1.模模塊化知識體系：熟記飄帶函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、抽象函數(shù)、嵌套函數(shù)、三次函數(shù)的相關(guān)知識內(nèi)容，形成清晰的解題思維基礎(chǔ)邏輯，便于快速定位解題切入點。2.通用解法模板化：針對高頻題型，總結(jié)“審題-建模-推導(dǎo)-驗證”法，規(guī)范解題流程，減少思維漏洞，提升答題效率。3.易錯點專項突破：整理常見誤區(qū)，設(shè)計針對性訓(xùn)練題，通過對比正確與錯誤解法，強化對知識邊界的理解，避免重復(fù)犯錯。結(jié)論背記二級結(jié)論飄帶函數(shù)（對勾函數(shù)/耐克函數(shù)）的結(jié)論①基本形式f(x)=定義域：(?∞,0)∪(0,+∞)奇偶性：奇函數(shù)（f(?漸近線：垂直漸近線：x斜漸近線：y=ax（當(dāng)∣x②單調(diào)性與極值（以a>0,單調(diào)區(qū)間：遞增：(?∞,?ba遞減：[?ba極值點與極值：極大值點：x=?b極小值點：x=b記憶口訣：

"同正兩勾，異正單調(diào)；同負(fù)鏡像，異負(fù)無峰"③系數(shù)符號對圖像的影響條件圖像特征單調(diào)性a雙勾型（標(biāo)準(zhǔn)耐克型）在(0,+∞)先減后增，在(?∞,0)先增后減a單調(diào)遞增型（無拐點）在整個定義域單調(diào)遞增a單調(diào)遞減型（無拐點）在整個定義域單調(diào)遞減a倒雙勾型（與第一種關(guān)于原點中心對稱）在(0,+∞)先增后減，在(?∞,0)先減后增④平移與變形形式水平平移：

f(x)=a(垂直平移：

f(x)=ax+復(fù)合形式：

f(t)=at+bt⑤最值結(jié)論（閉區(qū)間應(yīng)用）在區(qū)間[m判斷ba若在，比較端點值與極值若不在，最值在端點取得⑥常見變形與擴展平方型：f(x)=分式線性復(fù)合：f絕對值型：f(⑦注意事項必先確定定義域（尤其含參時x≠0畫草圖時先標(biāo)漸近線，再標(biāo)極值點解方程ax+bx=c不等式問題中，利用"對勾"區(qū)間單調(diào)性放縮

抽象函數(shù)結(jié)論一、奇偶性結(jié)論1.線性組合與運算規(guī)則奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)（排除抵消情況）、偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)、偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)、奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)k?f(x)（k≠0f(x)?f(?x)2.復(fù)合函數(shù)奇偶性外偶內(nèi)任意：若f(x)外奇內(nèi)奇：若f(x)為奇函數(shù)，g外奇內(nèi)偶：若f(x)為奇函數(shù)，g二、周期性結(jié)論1.基本周期公式等量關(guān)系型f(x+af(x+a分式函數(shù)型f(x+af(x+a和差關(guān)系型f(xf(xf(x2.復(fù)雜周期關(guān)系嵌套遞推型f(x+2a)=ff(x+2a復(fù)合函數(shù)周期若g(x)周期為T，則若f(x)周期為T，則3.周期組合若f(x)周期為T1，g(x三、對稱性結(jié)論1.軸對稱（關(guān)于直線對稱）基本形式、f(a+x一般形式、f(a+x2.中心對稱（關(guān)于點對稱）奇函數(shù)型f(a+x一般形式f(a+x四、綜合性質(zhì)與關(guān)聯(lián)1.奇偶性、周期性、對稱性關(guān)聯(lián)雙對稱性推周期兩軸對稱：有兩條對稱軸x=a和x兩中心對稱：有兩個對稱中心(a,c)一軸一中心：有對稱軸x=a和對稱中心(奇偶函數(shù)性質(zhì)可導(dǎo)奇函數(shù)?導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)、可導(dǎo)偶函數(shù)?導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)、周期奇函數(shù)必有f2.經(jīng)典抽象函數(shù)模型線性可加型、f(x指數(shù)可乘型、f(x對數(shù)可加型、f(xy冪函數(shù)型、f(xy三角函數(shù)型、f(x三次函數(shù)的結(jié)論一、基本形式一般地，三次函數(shù)的表達式為：f(x)=a二、三次函數(shù)的單調(diào)性（一階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用）對三次函數(shù)求一階導(dǎo)：f′(x)=3ax2+2bx+c令Δ當(dāng)Δ≤0時若a>0，則f′(x)≥0恒成立，f(x)在?上若a<0，則f′(x)≤0恒成立，f(x)在?上當(dāng)Δ>0時：設(shè)f′(x)=0的兩根為x1若a>0：f(x)在(?∞,x1)遞增，(x若a<0：f(x)在(?∞,x1)遞減，(x三、三次函數(shù)的極值（二階導(dǎo)數(shù)的輔助判斷）結(jié)合單調(diào)性，當(dāng)Δ>0時，三次函數(shù)有兩個極值點x=x1處：若a>0，則為極大值點；若a<0，則為x=x2處：若a>0，則為極小值點；若a<0，則為也可通過二階導(dǎo)數(shù)驗證：求二階導(dǎo)f′′(x)=6ax+2b，代入極值點若f′′(x0)>0若f′′(x0)<0四、三次函數(shù)的凹凸性（二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用）令f′′(x)=0，得拐點橫坐標(biāo)當(dāng)a>0時：x<?b3a，f′′x>?b3a，f′′當(dāng)a<0時：x<?b3a，f′′x>?b3a，f′′五、三次函數(shù)的零點分布三次函數(shù)在?上連續(xù)，且當(dāng)x→±∞時，f(x)趨向于±∞（由a的符號決定），因此至少有零點個數(shù)由極值的符號決定（以a>0為例）：若f(x1)<0或f(若f(x1)=0或f(若f(x1)>0且f(技法歸納方法一飄帶函數(shù)技巧飄帶函數(shù)（對勾函數(shù)）是一種常見的非線性函數(shù)，其圖像形似飄帶，具有漸近線、極值點和單調(diào)區(qū)間，掌握其圖像與性質(zhì)是解決相關(guān)問題的關(guān)鍵。核心思路掌握飄帶函數(shù)f(x)=ax+bx(a·b第一步：化標(biāo)準(zhǔn)形將所給函數(shù)通過分離常數(shù)、換元等方法，化為y=Ax+Bx+C的形式，確定參數(shù)第二步：作圖識性根據(jù)A與B同號，畫出函數(shù)草圖。牢記：定義域關(guān)于原點對稱；有兩條漸近線（x=0和y=ax）；在x=±BA第三步：應(yīng)用性質(zhì)求最值：利用基本不等式或單調(diào)性。注意“一正、二定、三相等”。

解方程/不等式：結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間，可將方程f(x)=k的解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖像交點問題。第四步：注意定義域定義域是應(yīng)用所有性質(zhì)的前提。若定義域不為全體非零實數(shù)，則極值點未必在±BA關(guān)鍵技巧1.記憶口訣：“同號飄帶，異號單調(diào)”。

2.利用奇偶性：標(biāo)準(zhǔn)飄帶函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱。

3.復(fù)合型飄帶：對于f(x)=a例題1下列函數(shù)的最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由基本不等式性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)、二次根式性質(zhì)和對勾函數(shù)性質(zhì)即可逐項計算求解判斷.【詳解】對于A，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.故A不符合；對于B，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，但，所以，故B不符合；對于C，因為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故C不符合；對于D，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故D符合.故選：D.例題2將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌群罂傻玫揭恍┦煜ず瘮?shù)的圖象．如反比例函數(shù)，“雙勾”函數(shù)，“飄帶”函數(shù)等，它們的圖象都可以由某條雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌榷玫剑F(xiàn)將雙曲線繞原點旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌群?，得到函?shù)的圖象．則雙曲線的離心率的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知旋轉(zhuǎn)后的圖象仍為雙曲線，得到旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)兩條漸近線，進而得出的值，再結(jié)合離心率計算即可求解.【詳解】易知“飄帶”函數(shù)的兩條漸近線為和，由題可知，兩漸近線的夾角一直不變，設(shè)為，則，所以，已知在原雙曲線中，軸是漸近線夾角的角平分線，所以一條漸近線的斜率，所以.故選：例題3（2025·廣東梅州·模擬預(yù)測）（多選）一般地，我們把形如的函數(shù)稱為飄帶函數(shù)，若飄帶函數(shù)在上的最小值、最大值分別為和1.則對于函數(shù)下列說法正確的有（

）A．函數(shù)是上的增函數(shù)B．當(dāng)時，C．函數(shù)與軸只有兩個交點D．函數(shù)的所有零點最大的為【答案】BCD【分析】分類討論，由函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)的值，將函數(shù)的零點問題和函數(shù)與軸的交點個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程的根的問題求解，逐一判斷各選項即可.【詳解】飄帶函數(shù)在上的最小值、最大值分別為和1.對于A，B，當(dāng)時，是上的增函數(shù)，所以，解得；當(dāng)時，是上的減函數(shù)，所以，解得；故A錯誤，B正確；對于C，令，即，則，因為，所以，函數(shù)與軸有兩個交點，故C正確；對于D，由上可知，當(dāng)時，函數(shù)零點為.當(dāng)時，函數(shù)零點為，故函數(shù)的所有零點最大的為，故D正確；故選：BCD.方法二復(fù)合函數(shù)單調(diào)性與奇偶性技巧復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷遵循“同增異減”法則；奇偶性判斷則需從內(nèi)到外分析，并注意定義域的對稱性。核心思路判斷復(fù)合函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性用“同增異減”；判斷其奇偶性需結(jié)合內(nèi)、外層函數(shù)性質(zhì)綜合推導(dǎo)。第一步：分解函數(shù)將復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)或已知其性質(zhì)的函數(shù)，設(shè)t=g(x)，y=f(t)。第二步：判斷單調(diào)性1.分別判斷內(nèi)層函數(shù)t=g(x)和外層函數(shù)y=f(t)的單調(diào)性。

2.應(yīng)用法則：若內(nèi)、外層單調(diào)性相同（同增或同減），則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若相反，則為減函數(shù)。第三步：判斷奇偶性1.判定義域：首先檢查定義域是否關(guān)于原點對稱。

2.核心方法：利用定義計算f(g(?x))，并嘗試將其化為f(g(x))或?f(g(x))的形式。常見結(jié)論：

-內(nèi)偶則整體偶（若g(x)是偶函數(shù)，則f(g(x))是偶函數(shù)）。

-內(nèi)奇外奇則整體奇（若g(x)是奇函數(shù)且f(t)是奇函數(shù)，則f(g(x))是奇函數(shù)）。第四步：綜合應(yīng)用將單調(diào)性與奇偶性結(jié)合，可用于比較大小、解不等式、確定函數(shù)圖像等。關(guān)鍵技巧1.單調(diào)性法則僅當(dāng)內(nèi)層函數(shù)值域在外層函數(shù)定義域內(nèi)時才嚴(yán)格成立。

2.奇偶性判斷中，“內(nèi)偶則整體偶”非常實用；“內(nèi)奇外奇則奇”也常用。例題4（2025·江西·二模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性計算求參即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且單調(diào)遞增，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.故選:D.例題5函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，確定函數(shù)的定義域，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，的單調(diào)遞增區(qū)間即為的單調(diào)遞增區(qū)間，再利用正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間整體代入求解即可.【詳解】由題意可得，則，解得，故的定義域為，因為單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間即為的單調(diào)遞增區(qū)間，令（），解得，則的單調(diào)遞增區(qū)間是．故選：B.例題6（2025·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則（）A．-1 B．0 C．1 D．1或-1【答案】C【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】由偶函數(shù)性質(zhì)可得，移項得，所以，即，所以解得.檢驗：當(dāng)時，，此時定義域是，顯然關(guān)于原點對稱,所以滿足題意；當(dāng)時，，此時定義域是，顯然不關(guān)于原點對稱，所以不滿足題意；故選:C

例題7（25-26高三上·廣東·月考）已知非常數(shù)函數(shù)是奇函數(shù)，則.【答案】/2.5【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱得到，即可求出，再由奇函數(shù)的性質(zhì)求出，進而求解即可.【詳解】由于函數(shù)是奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱，，由，則，所以，解得，此時，則，所以，則，故.故答案為：.方法三鑲嵌函數(shù)技巧鑲嵌函數(shù)（或稱迭代函數(shù)、嵌套函數(shù)）是指函數(shù)中嵌套了自身或其他函數(shù)，解題關(guān)鍵在于由外到內(nèi)、逐層剝離，或通過換元轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)。核心思路處理形如f(f(x))、f(g(x))等嵌套形式的問題，通過換元或迭代思想，將復(fù)雜嵌套轉(zhuǎn)化為簡單方程或函數(shù)關(guān)系。第一步：識別結(jié)構(gòu)明確函數(shù)的嵌套層次和結(jié)構(gòu)，例如是自身迭代f(n)(x)，還是不同函數(shù)的嵌套第二步：選擇策略策略A（求值）：從最內(nèi)層開始，逐層計算函數(shù)值。

策略B（解方程）：令內(nèi)層函數(shù)為整體t，將方程化為關(guān)于t和x的方程組求解。

策略C（求解析式）：通過換元法，設(shè)t=g(x)，解出x=?(t)，代入原式得到f(t)的表達式。第三步：執(zhí)行計算按照所選策略，仔細(xì)進行代數(shù)運算，注意定義域的變化。第四極：檢驗結(jié)果將結(jié)果代回原式檢驗，并確認(rèn)其是否在合理的定義域內(nèi)。關(guān)鍵技巧1.換元法是核心：對于f(g(x))給定，求f(x)時，務(wù)必令t=g(x)并反解x。

2.注意定義域：新函數(shù)f(t)的定義域是內(nèi)層函數(shù)g(x)的值域。

3.迭代周期：對于自身迭代，有時會呈現(xiàn)周期性，可嘗試計算f(f(x))、f(f(f(x)))尋找規(guī)律。例題8已知函數(shù)與，若存在使得，則不可能為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合函數(shù)的定義可以判斷A選項，其余可將選項全部代入后，看是否能求解出來進行判斷.【詳解】對于A選項，若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，相當(dāng)于1個值對應(yīng)兩個，不符合函數(shù)定義，即A錯誤；對于B選項，，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，整理得，解得，即，即，存在，所以選項B正確；對于C選項，，令，得，則，即，存在，所以選項C正確；對于D選項，，可得出，存在所以選項D正確；故選：A例題9（多選）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則（

）A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】AB【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法逐一判斷即可.【詳解】因為在R上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，故A正確；因為在R上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，因為的值域是否在上無法判斷，所以在上的單調(diào)性無法判斷，故C錯誤；因為在R上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，因的值域是否在上無法判斷，所以在上的單調(diào)性無法判斷，故D錯誤.故選：AB.例題10設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點為．【答案】4【分析】由題知，即求.【詳解】函數(shù)的零點即為方程的解，也即的解.，即解得，即函數(shù)的零點為4．故答案為：4方法四抽象函數(shù)求值、比大小技巧抽象函數(shù)未給出具體解析式，求值與比大小需充分利用所給函數(shù)性質(zhì)方程，通過賦值法、配湊法、單調(diào)性等建立關(guān)系。核心思路面對抽象函數(shù)f(x)滿足的恒等式（如f(x+y)=...），通過巧妙賦值（令x,y第一步：分析方程仔細(xì)閱讀抽象函數(shù)滿足的恒等式（如f(x+y)=f(x)+f(y)），理解其運算含義。第二步：目標(biāo)賦值求具體值（如f(0),f(1)）：常令變量為0,1,?1或互為相反數(shù)、倒數(shù)等。

比大?。盒柘壤觅x值法或性質(zhì)推導(dǎo)出單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較。第三步：配湊變量將目標(biāo)自變量（如f(3)）通過恒等式拆解為已知或可求的部分（如f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)）。第四步：利用單調(diào)性若推導(dǎo)出函數(shù)單調(diào)性（常通過f(x)?f(y)=f(x?y)結(jié)合正負(fù)判斷），則直接利用x1>關(guān)鍵技巧1.經(jīng)典模型賦值：

-線性模型f(x+y)=f(x)+f(y)：令x=y=0求f(0)；令y=?x求f(?x)。

-指數(shù)模型f(x+y)=f(x)f(y)：令x=y=0求f(0)；常得f(0)=1。

2.比大小的關(guān)鍵是求差或求商后，利用恒等式判斷符號。例題11（2025·河北·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得，進而可得，求得可判斷AB；求得可判斷CD.【詳解】由，得，三式相加得，，即，又，所以，則，所以故AB錯誤；，故C正確，D錯誤.故選：C．例題12（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則（

）A．1364 B．1363 C．1264 D．1263【答案】D【分析】根據(jù)題意推出，然后由累加法即可求解.【詳解】由，可得①，則有②，③，④，將①②③④左?右分別相加，得，又，即，故得，所以，將以上式子左?右分別相加，得，又，所以.故選：D.例題13（2025·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)滿足：①定義域為，②，③當(dāng)時，，則（

）A． B．C． D．若，則的取值范圍為【答案】BC【分析】用賦值法先令求得，再令即可求得，進而判斷A、B；任取，則，由函數(shù)單調(diào)性的定義判斷C；令可判斷奇偶性，利用奇偶性與單調(diào)性解不等式判斷D.【詳解】在中，令得，則，令得，則，故，，故A錯，B對；對于C，設(shè)，則，由，得，所以，則在上是增函數(shù)，從而，故C正確；對于D，令得，即，所以是偶函數(shù)，故等價于，又在上是增函數(shù)，所以，解得且，故D錯誤.故選：BC.方法五抽象函數(shù)奇偶性技巧判斷抽象函數(shù)的奇偶性，主要依據(jù)奇偶性定義，結(jié)合所給的函數(shù)方程，通過賦值法構(gòu)造出f(?x)與f(x)或?f(x)的關(guān)系。核心思路利用奇偶性定義f(?x)=±f(x)，在抽象函數(shù)方程中，通過令變量取相反數(shù)等賦值方式，推導(dǎo)出上述關(guān)系。第一步：定義域優(yōu)先首先檢查定義域是否關(guān)于原點對稱，不對稱則非奇非偶。第二步：構(gòu)造f(?x)在給定的恒等式中，嘗試令所有自變量取相反數(shù)，或進行變量替換（如令y=?x），以得到包含f(?x)的等式。第三步：與f(x)建立聯(lián)系將得到的含有f(?x)的等式，與原始的恒等式或通過其他賦值得到的等式聯(lián)立，目標(biāo)是消去其他項，得到f(?x)=f(x)或f(?x)=?f(x)。第四步：得出結(jié)論根據(jù)推導(dǎo)出的關(guān)系，結(jié)合定義，下奇偶性結(jié)論。關(guān)鍵技巧1.常用賦值組合：令y=?x；令x=y=0后再令y=?x。

2.累加型方程：如f(x+y)=f(x)+f(y)，常推出奇函數(shù)（因為f(0)=0且f(?x)=?f(x)）。

3.乘積型方程：如f(xy)=f(x)f(y)，常推出偶函數(shù)（因為f(x2)=[f(x)]2例題14（2025·吉林·模擬預(yù)測）（多選）非恒為零函數(shù)的定義域為，且與都為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．為周期函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】ABC【分析】根據(jù)條件分析函數(shù)性質(zhì)，逐項判斷即可.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且與都為奇函數(shù)，所以①，②.在①中，用代替可得：，結(jié)合②得：.再用代替，則，所以函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，故B正確；在中，用代替得：，又，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；假設(shè)為偶函數(shù)，則，又因為函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，所以，，所以，所以函數(shù)也是偶函數(shù)，這與為奇函數(shù)矛盾，所以假設(shè)錯誤，故D錯誤.故選：ABC例題15已知函數(shù)的定義域均為，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C．為奇函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】C【分析】方法一：利用抽象函數(shù)的奇偶性和相關(guān)條件推導(dǎo)出函數(shù)的周期性、對稱性等基本性質(zhì)，逐一對選項進行分析判斷；方法二：依題意構(gòu)造函數(shù)法.依題意，可設(shè)，則，一一對選項進行計算、驗證即得.【詳解】方法一:（函數(shù)性質(zhì)判斷法）由為偶函數(shù)，得①．由為奇函數(shù)，得．又，則②．則由①，（*），由②，，故得．把取成，得③，于是，，即函數(shù)的周期為2，故B錯誤；又因為上的奇函數(shù)，則，的周期為2，則，故A錯誤；由③得，，即，故．因為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，故C正確；由（*），，得，即為偶函數(shù)，又，所以為偶函數(shù)，故D錯誤.方法二：（構(gòu)造函數(shù)法）依題意，可設(shè)，則為偶函數(shù)，由為奇函數(shù)，且函數(shù)的定義域均為，對于A，，排除A；對于B，顯然的最小正周期是2，排除B；對于C，是奇函數(shù)，故C正確；對于D，，顯然是偶函數(shù)，排除D.故選：C.例題16（多選）已知函數(shù)的定義域為，且，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】AD【分析】利用賦值法可判斷AB；結(jié)合偶函數(shù)定義，舉反例判斷C；令，可推出，判斷的奇偶性，即可判斷D.【詳解】由題意知，，令，則，A正確；令，則，即得，B錯誤；令，則，令，取，則，取，則，即，故不是偶函數(shù)，C錯誤；由于，故，令，則，令，則，令，則，即，故為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，D正確，故選：AD方法六抽象函數(shù)周期性技巧證明或求解抽象函數(shù)的周期，核心是運用定義，通過反復(fù)應(yīng)用函數(shù)方程，推導(dǎo)出f(x+T)=f(x)的關(guān)系，并找出最小正周期T。核心思路從所給函數(shù)方程出發(fā)，通過變量替換、迭代等代數(shù)操作，構(gòu)造出f(x+a)=f(x)的形式，從而確定周期a。第一步：識別線索方程中若出現(xiàn)f(x+a)、f(x?a)，或形如f(x)=f(2a?x)（對稱性）可能隱含周期性。第二步：變量代換與迭代對恒等式中的變量進行系統(tǒng)性的替換。例如：

已知f(x+a)=?f(x)，則迭代一次：f(x+2a)=?f(x+a)=f(x)，周期為2a。第三步：推導(dǎo)常見結(jié)論牢記常見周期模型：

1.f(x+a)=?f(x)?T=2a。

2.f(x+a)=1f(x)或f(x+a)=?1f(x)?T=2a。

3.f(x+a)=f(x?a)?T=2a。

4.兩個對稱性（如關(guān)于x=a和x=b第四步：求值應(yīng)用利用周期性將求未知函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值。關(guān)鍵技巧1.迭代法是證明周期的通用方法。

2.雙對稱得周期：若函數(shù)圖像關(guān)于直線x=a和x=b(a≠b)對稱，則函數(shù)是周期函數(shù)，例題17（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且，則（

）A．－3 B．－2 C．0 D．1【答案】B【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的等式和相關(guān)條件，通過賦值求得，推得函數(shù)為偶函數(shù)，以及函數(shù)的一個周期為6，依次求出的值，利用函數(shù)的周期性即可求得答案.【詳解】因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，則有，從而可得，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為6．因為，，，所以．因為2025除以6余3，所以．故選：B．例題18（25-26高三上·云南·月考）若的定義域為，且，，則（

）A．-4 B．-2 C．2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)條件，賦值化簡，可得的周期為6，則所求變?yōu)榍蟮闹?，通過賦值法，代數(shù)計算，即可求得答案.【詳解】令，則，則，與上式相加可得，即，所以，則，所以是以周期為6的函數(shù)，所以，因為，，所以令，可得，解得或4，令，可得，所以，令，可得，所以，令，可得，所以.故選：A例題19（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·月考）已知函數(shù)，的定義域為，是的導(dǎo)數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（

）A．80 B．75 C．70 D．65【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得，結(jié)合題意可得，，進而可得，且，即可得結(jié)果.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，求導(dǎo)可得，因為，，則，可得，且，則，可得，即，可得，可知8為的一個周期，且，對于，，令，可得，，可得，所以.故選：B.【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．方法七抽象函數(shù)對稱性技巧抽象函數(shù)的對稱性分為軸對稱（如關(guān)于x=a）和中心對稱（如關(guān)于點(a,b)對稱），證明的關(guān)鍵是利用定義，建立f(a+x)與f(a?x)的關(guān)系。核心思路軸對稱：證明f(a+x)=f(a?x)。

中心對稱：證明f(a+x)+f(a?x)=2b或f(x)=2b?f(2a?x)。第一步：識別對稱類型根據(jù)題目描述或所給方程形式，初步判斷是軸對稱還是中心對稱。第二步：應(yīng)用定義推導(dǎo)證軸對稱：在函數(shù)方程中，嘗試令自變量之和為2a，或進行代換x→a+x,y→a?x。

證中心對稱：常用方法同上，目標(biāo)是得到f(a+x)+f(a?x)為定值。第三步：與周期性關(guān)聯(lián)注意：若一個函數(shù)有兩條對稱軸x=a和x=b，則它是周期函數(shù)，T=2∣a?b∣。若有對稱中心(a,0)和對稱軸x=b，則周期第四步：求值應(yīng)用利用對稱性，若知道一半?yún)^(qū)間內(nèi)的函數(shù)性質(zhì)或值，可推出另一半。關(guān)鍵技巧1.記憶結(jié)論：方程f(a+x)=f(b?x)表示圖像關(guān)于直線x=a+b2對稱。

2.記憶結(jié)論：方程f(a+x)+f(b?x)=c表示圖像關(guān)于點(a+b2,例題20（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點為、、、，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，從而可知函數(shù)、的圖象的交點也關(guān)于點對稱，結(jié)合對稱性可求得的值.【詳解】因為滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，設(shè)，則函數(shù)的定義域為，因為，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以函數(shù)、的圖象的交點也關(guān)于點對稱，不妨設(shè)，則，，，，令，則，故，故，由對稱性知，，，，令，則，故，故，因此，故選：C.例題21（25-26高三上·廣東·開學(xué)考試）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對于AB，條件不足無法判斷的函數(shù)值，對于CD，首先求得的周期為4，只需求得的值即可，對求導(dǎo)，得，令，可得，由此即可判斷.【詳解】對于AB，若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，故無法判斷的函數(shù)值，故AB錯誤；對于CD，若，均為偶函數(shù)，則，的圖象分別關(guān)于對稱，即，令，求導(dǎo)得，所以，是常數(shù)，即的圖象關(guān)于中心對稱，所以，所以的周期為4，對求導(dǎo)得，，所以的周期也為4，故，只需求得的值即可，而，求導(dǎo)得，令，可得，所以，故C錯誤，D正確.故選：D.方法八抽象函數(shù)性質(zhì)融合技巧綜合題常同時考查抽象函數(shù)的多種性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性），解題關(guān)鍵在于厘清性質(zhì)間的邏輯關(guān)系，并用于求值、解不等式或比較大小。核心思路面對同時具有多種性質(zhì)的抽象函數(shù)，首先利用賦值法等推導(dǎo)出所有性質(zhì)，然后將自變量變換到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用單調(diào)性解決問題。第一步：性質(zhì)推導(dǎo)根據(jù)所給方程，逐一推導(dǎo)出函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性、單調(diào)性。這是解題的基礎(chǔ)。第二步：區(qū)間歸一化利用周期性或?qū)ΨQ性，將需要比較大小或解不等式中涉及的自變量，全部變換到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)（通常是基本區(qū)間，如[0,T/第三步：應(yīng)用單調(diào)性在統(tǒng)一的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小，或解函數(shù)不等式（脫去“f”）。第四步：整合答案根據(jù)變換規(guī)則，將最終解集還原到原自變量范圍。關(guān)鍵技巧1.解題路線圖：先推性質(zhì)→再化同區(qū)→后用單調(diào)。

2.脫“f”法則：解不等式f(A)>f(B)時，必須在已知的單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行，再結(jié)合奇偶、周期將A,B化入該區(qū)間。

3.畫示意圖：根據(jù)已推出的性質(zhì)，畫出函數(shù)在某一周期內(nèi)的示意圖，可直觀輔助分析。例題22（2026·陜西西安·一模）（多選）已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，，若，，，則（

）A． B．C．是周期為的周期函數(shù) D．【答案】CD【分析】先根據(jù)題意推導(dǎo)出是周期為的周期函數(shù)，即可判斷選項C，再根據(jù)題干關(guān)系式和周期性依次計算選項A，B，D即可.【詳解】由函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，可知且，因為，代入得，整理得，即知，故是周期為的周期函數(shù)，C正確；選項A，B，，由是周期為的周期函數(shù)可知，，同理，故A，B都錯誤；選項D，因為，，，，所以一個周期內(nèi)，所以，故D正確.故選：CD.例題23．（2026·云南昭通·模擬預(yù)測）（多選）設(shè)定義在R上的函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，則（

）A． B．的圖象關(guān)于直線對稱C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合平移得出A，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)再應(yīng)用賦值法計算判斷B，D，根據(jù)對稱性得出周期再計算函數(shù)值判斷C；【詳解】由為奇函數(shù)，則過，圖象向右平移一個單位得過，A選項正確；又，則.因為，則，所以，令，得，則，所以，即，則關(guān)于直線對稱，兩邊求導(dǎo)得，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，B選項錯誤；因為關(guān)于點對稱，關(guān)于直線對稱，即，，所以，則，所以的周期；所以，，所以，所以，C選項正確；又函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)在左右兩側(cè)單調(diào)性相反，且，令，得，所以，，D選項正確，故選:ACD.例題24（2026·山東青島·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)的定義域為，是單調(diào)函數(shù)，，且，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．C．在上單調(diào)遞減 D．【答案】ABC【分析】通過不等式變形構(gòu)造常數(shù)函數(shù)，確定的表達式為，再逐一驗證選項.【詳解】依題意，，其中，對不等式兩邊除以，得恒成立，因該式對任意成立，故為常數(shù).設(shè)，則，由