北師版-數(shù)學(xué)-八年級(jí)下冊(cè)第一章三角形的證明及其應(yīng)用2等腰三角形第3課時(shí)等邊三角形的判定與含30°角的直角三角形的性質(zhì)復(fù)習(xí)導(dǎo)入這幾幅圖是我們生活中常見(jiàn)的交通安全警示標(biāo)志．圖中的三角形都是________三角形．等邊【探究1】等邊三角形的判定方法探究新知

一個(gè)三角形滿(mǎn)足什么條件時(shí)是等邊三角形?一個(gè)等腰三角形滿(mǎn)足什么條件時(shí)是等邊三角形?請(qǐng)證明自己的結(jié)論.（1）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。已知：如圖，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠B＝∠C，∴AC＝AB.∵∠A＝∠C，∴BC＝AB，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等邊三角形．ABC（2）有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。ABC證明：①若AB=AC，∠A=60°，60°則∠B=∠C=(180°–∠A)÷2=60°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等邊三角形。ABC60°證明：②若AB＝AC，∠B=60°，（2）有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形?！唷螩=∠B=60°。則∠A=180°–∠B–∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等邊三角形。幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形定理三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。定理有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)∴△ABC是等邊三角形等邊三角形的判定等邊三角形與等腰三角形的判定定理歸納：等腰三角形等邊三角形邊角三條邊都相等的三角形是等邊三角形兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形兩條邊相等的三角形是等腰三角形有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.證明等邊三角形的思路：三角形等邊三角形等腰三角形有一個(gè)角等于60°等腰三角形的判定思路1：三邊相等思路2：三角相等【探究2】含30°角的直角三角形的性質(zhì)(1)用兩個(gè)完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎樣的三角形?能拼出一個(gè)等邊三角形嗎?兩個(gè)完全相同的含30°角的三角尺，可以拼成一個(gè)等邊三角形.嘗試·思考(2)在上述拼接過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?請(qǐng)證明你的結(jié)論.由此可以發(fā)現(xiàn)：30°角的對(duì)邊等于三角尺斜邊的一半.

ABC證明：延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC，連接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°.∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB=AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).ABCD在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形內(nèi)角和定理).ABCD∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴∠B=180°-30°-90°=60°.∴△ABD是等邊三角形(有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形).

定理在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。幾何語(yǔ)言：ABC30°含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵∠A=30°，∴BC=AB

ABCD證明：在△ABC中，∵AB=AC，∠B=15°，ABC∴∠ADC=90°.

∴∠ACB=∠B=15°(等邊對(duì)等角).∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°(三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和).∵CD是腰AB上的高，

應(yīng)用舉例【例1】如圖，在△ABC中，D為AC邊上的一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E,DE的反向延長(zhǎng)線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，CD＝CF，且∠F＝30°.求證：△ABC是等邊三角形．【方法指導(dǎo)】由CD＝CF，可得∠CDF＝∠F，從而得到∠ADE＝∠F，又由DE⊥AB，易得∠A＝∠B，∠B＝60°，即可證明△ABC是等邊三角形．證明：∵CD＝CF，∴∠CDF＝∠F.又∵∠CDF＝∠ADE，∴∠ADE＝∠F.∵DE⊥AB，∴∠A＋∠ADE＝90°，∠B＋∠F＝90°，∴∠A＝∠B，∴△ABC是等腰三角形．又∵∠F＝30°，∴∠B＝90°－∠F＝60°，∴△ABC是等邊三角形．【例2】求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰長(zhǎng)的一半．

證明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠ACB＝∠B＝15°，∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.

歸納總結(jié)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等邊三角形的判定定義法三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形判定定理直角三角形的性質(zhì)定理三條邊都相等的三角形是等邊三角形隨堂練習(xí)1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，且DE＝BE.下列結(jié)論：①△ADE是等邊三角形；②DE∥AC；③∠DAE＝60°.其中正確的有

()A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③D2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AO平分∠BAC，若∠BOC＝60°，則△BOC的形狀是

()A．等邊三角形

B．腰和底邊不相等的等腰三角形C．直角三角形

D．不等邊三角形A3．等腰三角形的底角等于15°，腰長(zhǎng)為10，則這個(gè)等腰三角形腰上的高是____．4．下列三角形：①有兩個(gè)角等于60°；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)外角(每個(gè)頂點(diǎn)外角)都相等的三角形；④一腰上的中線(xiàn)也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有__________．(填序號(hào))5①②③④5

．如圖，∠B＝90°，AB＝6cm，∠BAC＝30°，D為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AC＝DC，則AD＝____cm.126．如圖所示是某超市自動(dòng)扶梯的示意圖，大廳兩層之間的距離h＝6.5m，自動(dòng)扶梯的傾斜角為30°.若自動(dòng)扶梯運(yùn)行速度v＝0.5m/s，則顧客乘自動(dòng)扶梯上一層樓的時(shí)間為_(kāi)___s.267.如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O.若OA＝OB，∠A＝60°，且AB∥CD.求證：△OCD是等邊三角形．證明：∵OA＝OB，∠A＝60°，∴∠B＝∠A＝60°.又∵AB∥CD，∴∠COD＝∠D＝∠C＝60°，∴△OCD是等邊三角形．∴∠C＝∠A＝60°，∠D＝∠B＝60°，8.已知：如圖，BD∥AC，∠C=60°，DA平分∠BDC.求證：△ACD是等邊三角形.證明：∵BD∥AC，∴∠C+∠BDC=180°，∠DAC=∠ADB.∵∠C=60°，∴∠BDC=120°.∵DA平分∠BDC，

∴∠ADC=∠C=∠DAC，∴△ACD是等邊三角形.9.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=1，求AD的長(zhǎng).解：∵CD是△ABC的高，∴CD⊥AB，∴∠BDC=90°.