北師版-數(shù)學(xué)-八年級下冊第一章三角形的證明及其應(yīng)用2等腰三角形第1課時等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)情景導(dǎo)入已知：如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC.完成下列各題：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝______．根據(jù)是____________；(2)若AD是△ABC的角平分線，BC＝8，則CD＝____．根據(jù)是___________；(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，則∠BAD＝_______；(4)若BD＝CD，則AD____BC，∠BAD＝___________.∠C等邊對等角4三線合一20°⊥∠CAD【探究1】等腰三角形的性質(zhì)探究新知

我們曾經(jīng)探索過等腰三角形的一些性質(zhì)，請你選擇其中一條性質(zhì)進(jìn)行證明.定理等腰三角形的兩個底角相等.這一定理可以簡述為：等邊對等角.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.分析：有哪些結(jié)論可以證明兩個角相等?還記得利用折紙的方法探索等腰三角形的性質(zhì)嗎?這對你有什么啟發(fā)?ABC軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的對應(yīng)角相等.構(gòu)造全等三角形來推導(dǎo)角相等.證明：如圖，取BC的中點D，連接AD.∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等).ABCD還有其他證法嗎?有.如圖所示，作等腰三角形ABC頂角的平分線AD.∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴∠B=∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等).ABCD由“等邊對等角”定理的證明過程，你發(fā)現(xiàn)線段AD還有哪些特征?為什么?ABCD思考·交流如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是中線.根據(jù)△ABD≌△ACD，可知∠BAD=∠CAD，所以AD是等腰三角形ABC

頂角的角平分線.ABCD根據(jù)△ABD≌△ACD，還可知∠ADB=∠ADC，因為∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=∠ADC=90°.所以AD⊥BC，即AD是等腰三角形ABC底邊上的高.等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(簡稱“三線合一”).注意：“三線合一”即如果某線段是一個等腰三角形的“三線”之一，那么它必定也是這個等腰三角形的另“兩線”.ABCD符號語言：在△ABC中，∵AB=AC，∠1=∠2(已知)，∴BD=CD，AD⊥BC(“三線合一”).12ABCD或∵AB=AC，

BD=CD(已知)，∴∠1=∠2，AD⊥BC(“三線合一”).或∵AB=AC，

AD⊥BC(已知)，∴BD=CD，∠1=∠2(“三線合一”).有關(guān)等腰三角形性質(zhì)的一些結(jié)論(1)等腰三角形兩腰上的中線相等，兩腰上的高相等，兩底角的平分線也相等.

(2)等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高.(3)等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角的度數(shù)等于頂角度數(shù)的一半.

證明：在Rt△BHC中，∠B=90°-∠HCB，

【探究2】等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形是特殊的等腰三角形，那么等邊三角形的內(nèi)角有什么性質(zhì)呢？ABC嘗試·交流已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝BC.求證：∠A＝∠B＝∠C＝60°.證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等邊對等角).又∵AC＝BC，∴∠A＝∠B(等邊對等角)，∴∠A＝∠B＝∠C.在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.ABC定理等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°.等邊三角形每條邊上的中線，高和所對角的平分線都重合.BCA等腰三角形等邊三角形邊角三線合一對稱性每條邊上的中線、高和這邊所對的角的平分線都重合(3條)三個角都相等，且都是60°軸對稱圖形(3條對稱軸)軸對稱圖形(1條對稱軸)兩個底角相等底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合(1條)兩腰相等三條邊都相等等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)歸納回顧·反思回顧七年級下冊及本節(jié)研究等腰三角形性質(zhì)的過程，你積累了哪些研究圖形性質(zhì)的經(jīng)驗？一般會先研究一般圖形的性質(zhì)，然后再研究特殊圖形的性質(zhì)，并圍繞其邊、角進(jìn)行研究，若是三角形，還要研究其高、中線、角平分線的性質(zhì).應(yīng)用舉例【例1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數(shù)．【方法指導(dǎo)】利用等腰三角形的性質(zhì)定理，等邊對等角求△ABC各角度數(shù)．解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.設(shè)∠A＝x，則∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.【例2】如圖，已知△ABC和△BDE都是等邊三角形．求證：AE＝CD.【方法指導(dǎo)】利用等邊三角形的性質(zhì)定理證明△ABE和△CBD全等得到AE＝CD.證明：∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，∴∠ABC＝∠CBD＝60°，AB＝BC，BE＝BD.

∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD.【例3】如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B，C，D，E在同一條直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝________.15°【方法指導(dǎo)】∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACD＝120°.又∵CG＝GD，∴∠CDG＝30°，∴∠FDE＝150°.又∵DF＝DE，∴∠E＝15°.【例4】如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB邊上一點，以CD為邊作等邊三角形CDE，使點E，A在直線DC的同側(cè)，連接AE.求證：AE∥BC.證明：∵△ABC和△CDE是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ABC＝∠BCA＝∠DCE＝60°.∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.∴△DBC≌△EAC(SAS).又∵∠DBC＝∠BCA＝60°，∴∠BCA＝∠EAC.∴AE∥BC.∴∠DBC＝∠EAC.歸納總結(jié)等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合，簡述為“三線合一”等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°等腰三角形等邊三角形性質(zhì)定理等腰三角形的兩個底角相等，簡述為“等邊對等角”性質(zhì)定理隨堂練習(xí)

D2．若(a－5)2＋|b－10|＝0，則以a，b為邊長的等腰三角形的周長為_______．3．已知等腰三角形的一個內(nèi)角為70°，則另兩個內(nèi)角的度數(shù)是_____________________．2570°和40°或55°和55°4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接CE.(1)求∠ECD的度數(shù)；解：(1)∵DE是AC的垂直平分線，∴CE＝AE.又∵∠A＝36°，∴∠ECD＝∠A＝36°.4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接CE.(2)若CE＝5，求BC的長．(2)∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°.∵∠ECD＝36°，∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36°.∴∠BEC＝180°－∠B－∠BCE＝72°＝∠B.∴BC＝CE＝5.5.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，BC=8，求CD的長.ABCD解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD是△ABC底邊BC上的中線，

6.如圖，在△ABC中，D，E是BC的三等分點，且△ADE是等邊三角形，求∠BAC的度數(shù).解：∵△ADE是等邊三角形，∴AD=