北師版-數(shù)學(xué)-八年級下冊第一章三角形的證明及其應(yīng)用5

角平分線第2課時三角形的三條角平分線情境導(dǎo)入問題

角平分線的性質(zhì)定理及判定定理是什么？性質(zhì)定理：判定定理：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.填一填：(1)角平分線上的點到這個角的兩邊的距離_______；(2)在一個角的內(nèi)部到角的兩邊距離________的點在這個角的___________；(3)三角形三邊的垂直平分線相交于_______點，并且這一點到三個頂點的距離_______．相等相等平分線上一相等思考：三角形的三個內(nèi)角平分線的特點？三角形的三個內(nèi)角的角平分線交于一點．這一點到三角形三邊的距離相等．探究新知探究1【三角形三條內(nèi)角平分線性質(zhì)】如圖，分別折出三個角的平分線，然后觀察三條角平分線有什么特點．發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等．已知：如圖，在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點P，過點P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別是D，E，F(xiàn).求證：∠A的平分線經(jīng)過點P，

且PD＝PE＝PF.求證：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等．ABCPEFMDN證明：∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分別為D，E，ABCPEFMDN∴PD＝PE.同理，PE＝PF，∴PD＝PE＝PF.∴點P在∠A的平分線上，即∠A的平分線經(jīng)過點P.探究2比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理．請?zhí)畋恚?/p>

三邊垂直平分線三條角平分線三角形銳角三角形交于________________交于_______________鈍角三角形交于________________直角三角形交于________________交點性質(zhì)到三角形的__________的距離相等到三角形的_____的距離相等三角形內(nèi)一點三角形外一點斜邊上的中點三個頂點三角形內(nèi)一點三邊應(yīng)用舉例A．1∶1∶1B．1∶2∶3C．2∶3∶4D．3∶4∶5【方法指導(dǎo)】利用三角形角平分線上的一點到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，可知三個三角形的高相等，底邊長分別是20，30，40，利用等高不同底的三角形的面積之比等于底邊之比得出答案．例1如圖，△ABC的邊AB，BC，CA的長分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(

)BCAOCACBED例2如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.(1)已知CD＝4cm，求AC的長；(2)求證：AB＝AC＋CD.【方法指導(dǎo)】(1)求AC的長，因為AC＝BC，BC＝CD＋DB，也就是求CD＋DB的和，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可知，CD＝DE＝4cm，可證Rt△DEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求得BD的長度；(2)AB＝AE＋EB，因為AE與AC相等，DE與EB相等，可證得AB＝AC＋CD.(1)解：∵AD是△ABC的角平分線，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝4cm.∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC.

∴∠BDE＝90°－45°＝45°，∴BE＝DE＝4cm.

ACBEDACBED(2)證明：易證△ACD≌△AED(AAS)，∴AC＝AE，CD＝ED.易得BE＝DE＝CD，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.隨堂練習(xí)1．到三角形三邊距離相等的點是()A．三條高的交點B．三條中線的交點C．三條角平分線的交點D．不能確定C

CADOEBC3.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是△ABC的角平分線，AD與CE相交于點F，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥BC，垂足分別為M，N.求證：FE=FD.證明：如圖所示，過點F作FG⊥AC于點G.又∵AD平分∠BAC，F(xiàn)M⊥AB，∴FM=FG(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等).同理可得FN=FG，∴FM=FN.∵∠ACB=90°，CE平分∠ACB，∴∠ECA=45°，∵∠B=60°，∴∠BAC=30°，

∠MEF=∠EAC+∠ECA=30°+45°=75°(三角形外角的性質(zhì))，∴∠NDF=∠BAD+∠B=15°+60°=75°(三角形外角的性質(zhì)