1、第十二章概率,12.1隨機(jī)事件的概率,-3-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),1.事件的分類,可能發(fā)生也可能不發(fā)生,-4-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2.頻率與概率(1)頻率的概念:在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn),觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的,稱事件A出現(xiàn)的比例為事件A出現(xiàn)的.(2)隨機(jī)事件概率的定義:在的條件下,大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí),隨機(jī)事件A發(fā)生的會(huì)在某個(gè)附近擺動(dòng),即隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性.這時(shí)這個(gè)叫做隨機(jī)事件A的概率,記作P(A),有0P(A)1.(3)概率與頻率的關(guān)系:對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A

2、),因此可以用來估計(jì)概率P(A).,頻數(shù),頻率,相同,頻率,常數(shù),常數(shù),頻率fn(A),-5-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),3.事件的關(guān)系與運(yùn)算,發(fā)生,一定發(fā)生,BA(或AB),AB,A=B,當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,AB,-6-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,AB(或AB),不可能,AB=,不可能,必然事件,AB=,且AB=,-7-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),4.互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況,而互斥事件未必是對(duì)立事件.5.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍:.(2)必然事件的概率:P(A)=.(3)不可能事件的概率:P(A)=.(4)概率的加法公式:

3、若事件A與事件B互斥,則P(AB)=.(5)對(duì)立事件的概率:若事件A與事件B互為對(duì)立事件,則AB為必然事件.P(AB)=,P(A)=.,0P(A)1,1,0,1,1-P(B),P(A)+P(B),-8-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.()(2)隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是一回事.()(3)在大量重復(fù)試驗(yàn)中,概率是頻率的穩(wěn)定值.()(4)兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生.()(5)若A,B為互斥事件,則P(A)+P(B)=1.(),答案,-9-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,2.設(shè)甲:

4、A1,A2是互斥事件;乙:A1,A2是對(duì)立事件,則()A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件,答案,解析,-10-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,3.下列說法:頻率反映事件發(fā)生的頻繁程度,概率反映事件發(fā)生的可能性大小;做n次隨機(jī)試驗(yàn),事件A發(fā)生m次,則事件A發(fā)生的頻率就是事件A發(fā)生的概率;百分率是頻率,但不是概率;頻率是不能脫離n次試驗(yàn)的試驗(yàn)值,而概率是具有確定性的不依賴于試驗(yàn)次數(shù)的理論值;頻率是概率的近似值,概率是頻率的穩(wěn)定值.其中正確的是()A.B.C.D.,答案,解析,-11-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2

5、,3,4,1,5,答案,解析,-12-,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,5.某射手在同一條件下進(jìn)行射擊,結(jié)果如下:這個(gè)射手射擊一次,擊中靶心的概率約是.,答案,解析,-13-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,例1一枚均勻的正方體玩具的各個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個(gè)玩具向上拋擲1次,設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù),事件B表示向上的一面出現(xiàn)的數(shù)字不超過3,事件C表示向上的一面出現(xiàn)的數(shù)字不小于4,則()A.A與B是互斥而非對(duì)立事件B.A與B是對(duì)立事件C.B與C是互斥而非對(duì)立事件D.B與C是對(duì)立事件,答案,解析,-14-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解題心得判斷隨機(jī)事件之間的關(guān)系有兩種

6、方法:(1)緊扣事件的分類,結(jié)合互斥事件、對(duì)立事件的定義進(jìn)行分析判斷;(2)類比集合進(jìn)行判斷,把所有試驗(yàn)結(jié)果寫出來,看所求事件包含哪些試驗(yàn)結(jié)果,從而斷定所給事件的關(guān)系.由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集,則事件互斥;事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.,-15-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球,則互斥而不對(duì)立的事件有.(填序號(hào))至少有一個(gè)紅球,都是紅球;至少有一個(gè)紅球,都是白球;至少有一個(gè)紅球,至少有一個(gè)白球;恰有一個(gè)紅球,恰有兩個(gè)紅球.思考如何判斷隨機(jī)事件之間的關(guān)系?,答案,解析,-16-

7、,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,例2某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表:,-17-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”,求P(A)的估計(jì)值;(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.求P(B)的估計(jì)值;(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.,-18-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(3)由所給數(shù)據(jù)得調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a0.30+a0.25+1.25a0.

8、15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.1925a.因此,續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.1925a.,-19-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考隨機(jī)事件的頻率與概率有怎樣的關(guān)系?如何求隨機(jī)事件的概率?解題心得1.概率是頻率的穩(wěn)定值,它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小,它是頻率的科學(xué)抽象.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí),頻率越穩(wěn)定于概率.2.求解隨機(jī)事件的概率的常用方法有兩種:(1)可用頻率來估計(jì)概率.(2)利用隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)除以基本事件總數(shù).計(jì)算的方法有:列表法;列舉法;樹狀圖法.,-20-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2017浙江紹興模擬)如圖所示,A

9、地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:,-21-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率;(2)分別求通過路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率;(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站,試通過計(jì)算說明,他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.,-22-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,解:(1)由已知共調(diào)查了100人,其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44人.(2)選擇L1的有60人,選擇L2的有40人,故由調(diào)查結(jié)果得頻率如下表.,-23-

10、,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,(3)A1,A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí),在40分鐘內(nèi)趕到火車站;B1,B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí),在50分鐘內(nèi)趕到火車站.由(2)得P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)P(A2),故甲應(yīng)選擇L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)P(B1),故乙應(yīng)選擇L2.,-24-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,例3(2017河南洛陽(yáng)模擬)經(jīng)統(tǒng)計(jì),在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下:求:(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少?(2)至少3人排隊(duì)等候

11、的概率是多少?,答案,-25-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,思考求互斥事件的概率的一般方法有哪些?解題心得求互斥事件的概率一般有兩種方法:(1)公式法:將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和,運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算;(2)間接法:先求此事件的對(duì)立事件的概率,再用公式P(A)=1-P()求出所求概率,特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法就較簡(jiǎn)便.,-26-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中,購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券,多購(gòu)多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位,設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè),一等獎(jiǎng)10個(gè),二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A,B,C,求:(

12、1)P(A),P(B),P(C);(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率;(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.,答案,-27-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,1.對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用頻率fn(A)來估計(jì)概率P(A).2.利用集合方法判斷互斥事件與對(duì)立事件:(1)若由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集,則事件互斥;(2)事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.3.若某一事件包含的基本事件較多,而它的對(duì)立事件包含的基本事件較少,則可用“正難則反”思想求解.,-28-,考點(diǎn)1,考點(diǎn)

13、2,考點(diǎn)3,1.正確認(rèn)識(shí)互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系:對(duì)立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情況,但互斥事件不一定是對(duì)立事件.善于將事件轉(zhuǎn)化為互斥事件的和或?qū)α⑹录蠼?2.注意概率加法公式的使用條件,在概率的一般加法公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)中,易忽視只有當(dāng)AB=,即A,B互斥時(shí),P(AB)=P(A)+P(B),此時(shí)P(AB)=0.,-29-,思想方法“正難則反”思想在概率中的應(yīng)用“正難則反”的思想是一種常見的數(shù)學(xué)思想,如反證法、補(bǔ)集的思想都是“正難則反”思想的體現(xiàn).在解決問題時(shí),如果從問題的正面入手比較復(fù)雜或不易解決,那么嘗試采用“正難則反”思想往往會(huì)起到事半功倍的效果,大大降低題目的難度.在求對(duì)立事件的概率時(shí),經(jīng)常應(yīng)用“正難則反”的思想,即若事件A與事件B互為對(duì)立事件,在求P(A)或P(B)時(shí),利用公式P(A)=1-P(B)先求容易的一個(gè),再求另一個(gè).,-30-,典例某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示.已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x,y的值,并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值;(2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率),-31-,解:(1)由已知得25+y+10=55,x+30=