1、數(shù)學(xué)有這樣的定理！“酒鬼能找到回家的路，喝醉的鳥可能再也回不了家了?！币坏犊偰芷椒纸o定的火腿三明治.你不知道我在說什么嗎？我在說數(shù)學(xué)定理。誰說數(shù)學(xué)枯燥無味？今天，我來介紹一些與生活密切相關(guān)、非常熱愛的數(shù)學(xué)定理。誰說數(shù)學(xué)枯燥無味？數(shù)學(xué)有很多快樂和深刻的數(shù)學(xué)定理。這種充滿生活氣息的數(shù)學(xué)定理不僅受到數(shù)學(xué)家的喜愛，在數(shù)學(xué)粉絲的圈子里也很普遍。喝醉的鳥整理：喝醉的酒鬼總是能找到回家的路，喝醉的鳥可能永遠(yuǎn)回不了家。假設(shè)每次從某個位置出發(fā)，50%的概率向左走1米，向右走1米的概率為50%。如果以這種方式漫無目的地走下去，最終回到起點(diǎn)的概率是多少？答案是100%。在一維隨機(jī)漫步過程中，如果時間足夠，我們最終可

2、以回到起點(diǎn)?，F(xiàn)在考慮到喝醉的酒鬼，他在街上隨機(jī)漫步。假設(shè)整個城市的街道都以網(wǎng)格的形式分布，酒鬼每次去十字路口都以同樣的概率繼續(xù)選擇一條路，包括他來時的那條路。那么他最終回到起點(diǎn)的概率是多少呢？答案是100%。起初這個醉漢可能走得更遠(yuǎn)，但最終他總能找到回家的路。但是喝醉的鳥沒那么幸運(yùn)。每當(dāng)一只鳥飛的時候，如果從上、下、左、右、前、后中間概率中選擇同樣的方向，就很可能永遠(yuǎn)不能回到起點(diǎn)。實(shí)際上，在三維網(wǎng)格中隨機(jī)漫步最終回到起點(diǎn)的概率只有34%左右。這個定理在1921年被著名數(shù)學(xué)家波利亞證明了。維度增加，返回起點(diǎn)的概率越來越低。在四維網(wǎng)格中隨機(jī)漫步最終回到起點(diǎn)的概率為19.3%，而在八維空間中，其概率

3、只有7.3%。(你在這里)清理：將區(qū)域地圖平鋪在地面上時，始終可以在地圖上找到一個點(diǎn)，該點(diǎn)下的土地點(diǎn)就是地圖上顯示的位置。也就是說，如果在購物中心的地板上繪制整個購物中心的地圖，總是可以在地圖上準(zhǔn)確地標(biāo)出“你在這里”。1912年，荷蘭數(shù)學(xué)家布朗(Luitzen Brouwer)證明了一個定理，假設(shè)d是圓盤內(nèi)的點(diǎn)集，f是從d到他自己的連續(xù)函數(shù)，那么必須有點(diǎn)x，f(x)=x。也就是說，如果一個圓盤上的所有點(diǎn)都進(jìn)行連續(xù)運(yùn)動，則總是有一個點(diǎn)回到運(yùn)動之前的位置。此定理稱為Brouwer fixed point theorem。除了上面的“地圖定理”，布拉韋爾不動點(diǎn)定理還有很多其他驚人的推論。拿兩張大小相

4、同的紙，揉成一張，放在另一張紙上，按照布拉威爾定點(diǎn)定理，紙團(tuán)必須正好在下面紙的同一點(diǎn)上。這個定理還可以擴(kuò)展到三維空間。攪動咖啡，在咖啡中一定能找到一點(diǎn)。那一點(diǎn)可以一邊攪動一邊去別的地方，但前后都在同一位置。無法治愈的毛球整理：椰子的毛永遠(yuǎn)不能合理化。想象一個表面有毛的球體。你能把所有的毛都梳理好，不留下像冠一樣的毛或像頭一樣的圓嗎？拓?fù)湔f，這是辦不到的。這個叫hairy ball theorem，布朗也是最先證明的。在數(shù)學(xué)語言中，一個球體曲面不能有連續(xù)的單位向量場。這個定理可以擴(kuò)展到更高的空間。對于任意偶數(shù)維球體，不存在連續(xù)的單位向量場。毛球定理在氣象學(xué)上有有趣的應(yīng)用。地球表面的風(fēng)速和風(fēng)向都是

5、連續(xù)的，因此，由于毛球定理，地球上總有風(fēng)速為零的地方。也就是說，氣旋、風(fēng)雪是不可避免的。氣候完全相同的另一邊整理：在任何時間點(diǎn)，氣溫和大氣壓力值完全相同的兩點(diǎn)總是存在于地球上。波蘭數(shù)學(xué)家烏蘭認(rèn)為，任意指定從n維球體到n維空間的連續(xù)函數(shù)，總是能在向心力中找到兩個相反的點(diǎn)，他們的函數(shù)值是一樣的。1933年，波蘭數(shù)學(xué)家保守克(Karol Borsuk)證明了拓?fù)鋷缀蔚谋Ｊ乜?烏拉姆定理(Borsuk-Ulam theorem)這一推測。保守-烏拉姆定理有多種推論，一種推論是地球上總是存在對稱的兩點(diǎn)，它們的溫度和大氣壓力值完全相同(假設(shè)地球表面各處的溫度差異和大氣壓力差異是連續(xù)變化的)。這可以把溫度值

6、和大氣壓力的所有可能組合看作平面笛卡爾坐標(biāo)系中的點(diǎn)，因此地球表面各點(diǎn)的溫度和大氣壓力的變化可以看作是保守-烏拉姆定理所能介紹的二維球面到二維平面的函數(shù)。當(dāng)N=1時，保守克-烏拉姆定理可以表示，在任何時間點(diǎn)，地球赤道上總是存在相同溫度的兩點(diǎn)。對于這個弱化版本的推理，有很直觀的證明方法。假設(shè)赤道上有兩個人站在關(guān)于向心對稱的位置，a，b。此時，如果他們所在的地方溫度相同，問題已經(jīng)解決了。我們只需要考慮他們那里溫度低1/1的情況。假設(shè)a是10度，b是20度。現(xiàn)在，兩個人以相同的速度沿著赤道旅行，總是處于對稱的位置。在此過程中，假設(shè)所有地區(qū)的溫度都不變。旅行中，兩人不停地申報(bào)自己的當(dāng)?shù)販囟?。兩個人都在赤

7、道上巡回了半個星期后，a原來位于b的位置，b則位于a第一次開始時的位置。在整個旅行過程中，a報(bào)告的溫度從10開始連續(xù)變化(上下波動的可能性超過10到20的范圍)，最終變?yōu)?0；b經(jīng)歷的溫度從20出發(fā)，最終變成了10。那么，他們報(bào)告的溫度值將是中間“相交”的時刻，這樣我們就會在赤道上發(fā)現(xiàn)兩個溫度相同的對稱點(diǎn)。平分火腿三明治整理：任何火腿三明治，總有一把小刀把它切開，火腿、奶酪、面包碎片正好分成兩等份。更有趣的是，這個定理的名字叫ham sandwich theorem。這是數(shù)學(xué)家阿瑟斯通(Arthur Stone)和約翰圖基(John Tukey)在1942年證明的，在計(jì)量理論中具有非常重要的意義。如果火腿三明治定理可以擴(kuò)展到n維：如果n維空間中有n個對象，則總是有n-1維的超平面，它將每個對象