1、 第十講 圓冪定理1 圓冪定理（與圓有關(guān)的比例線段）：（1） 相交弦定理：圓的兩條相交弦中，每條弦被交點(diǎn)所分的兩條線段的乘積相等如圖，內(nèi)接四邊形，、交于點(diǎn)，有：（2） 割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的兩條線段的積相等如圖，內(nèi)接四邊形兩邊、延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，有：（3） 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段的比例中項(xiàng)如圖，為的切線，為的割線，有：（1）（2）（3）三個(gè)定理統(tǒng)稱為圓冪定理（注：點(diǎn)對(duì)半徑為的的冪是）2 圓冪定理的應(yīng)用：與圓有關(guān)的比例線段問(wèn)題的一般思考方法：（1） 直接應(yīng)用圓冪定理；（2） 找相似三角形：當(dāng)證明有關(guān)線段的比

2、例式、等積式不能直接運(yùn)用基本定理時(shí)，通常是由“三點(diǎn)定形法”證明三角形相似，其一般思路為“等積式”“比例式”“中間比”“相似三角形”1. 過(guò)圓外一點(diǎn)作一條直線交圓于兩點(diǎn)，過(guò)另作一直線交這圓于兩點(diǎn)已知，求的值【解答】，推出，則2. 已知分別與ABC的、邊切于、，交邊于、，求證：【解答】，則，3. 如圖，是的切線，為切點(diǎn)，是割線，它與的交點(diǎn)是，與直徑的交點(diǎn)是已知，求的長(zhǎng)【解答】由相交弦定理可得：，由勾股定理知，由切割線定理知，設(shè)，則，解得4. 與圓心為的圓相切于點(diǎn)，點(diǎn)在圓內(nèi)與圓相交于，若，求的半徑5. 在平行四邊形中，過(guò)點(diǎn)作一圓與和相切，與邊和分別交于點(diǎn)和已知，求平行四邊形的周長(zhǎng)【解答】，設(shè)，則，則

3、，解得，周長(zhǎng)是6. 圓與正三角形三邊交于6個(gè)點(diǎn)，如圖，如果，求【解答】，解得，設(shè)，則，解得，7. 如圖，ABC內(nèi)接于，為外的一點(diǎn)，作使交于、兩點(diǎn)，并與、分別交于點(diǎn)、，求證：【解答】證明：運(yùn)用相交弦定理轉(zhuǎn)化比例線段的關(guān)系因?yàn)?，所以AMNPCN，得即，又由相交弦定理得，于是有8. 如圖，和相交，公共弦，公切線為與，直線交于，交于，求證：【解答】證明：因?yàn)锳B為O1、O2的公切線，所以由切割線定理得從而有PA=PB，于是同理得CQ=QD，則AC/PQ/BD，所以PQO1O2且直線O1O2平分線段PQ又MNO1O2，且直線O1O2平分公共弦MN，因而有PM=QN所以AB2+MN2=4PMPN+MN2=

4、4PM2+4PMMN+MN2=（2PM+MN）2=（PM+MN+NQ）2=PQ29. 如圖，是半圓的直徑，弦，的平分線交于，、的延長(zhǎng)線交于，求CDE的面積和四邊形的面積比【解答】，易證CDEABE，故，故10. 銳角ABC中，以邊為直徑畫圓與邊相交于，與該圓切于點(diǎn)，在上取，作，且與的延長(zhǎng)線交于，求證：11. 從圓外一點(diǎn)引圓的切線，割線，是的平分線，分別交于求證：12. 設(shè)是PQR的邊的中點(diǎn)，是的平分線，且與相交于，過(guò)三點(diǎn)畫圓分別交于和，求證：【作業(yè)1】 是外一點(diǎn)，cm，過(guò)作的割線，交于、，且cm，cm，求的半徑【作業(yè)2】 如圖，過(guò)外一點(diǎn)作的兩條切線、，連接與交于，過(guò)作的垂線，垂足為，若cm，cm，求的長(zhǎng)【作業(yè)3】 如圖，在ABC中，已知是