1、.,1,第五章 矩陣的特征值與特征向量,在經(jīng)濟(jì)理論及其應(yīng)用中 常要求一個(gè)方陣的特征值和特征向量的問(wèn)題 數(shù)學(xué)中諸如方陣的對(duì)角化及解微分方程組的問(wèn)題 也都要用到特征值的理論,.,2,引言,純量陣 lE 與任何同階矩陣的乘法都滿足交換律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn 矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB BA 數(shù)乘矩陣與矩陣乘法都是可交換的，即 l (AB) = (lA)B = A(lB) Ax = l x ? 例：,.,3,一 特征值與特征向量定義:,非零列向量X稱為A 的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量,定義6設(shè)A是n階矩陣 如果對(duì)于數(shù)，存在n維非零 列向量X , 使,AXX 成立,則

2、稱為方陣A的一個(gè)特征值,第一節(jié) 矩陣的特征值與特征向量p117,.,4,AXX,如何求特征值和特征向量?,即,齊次方程有非0解,齊次方程有非0解的充要條件是系數(shù)行列式為0,即| I A| 0,.,5,(2) | I A| 0稱為方陣A的特征方程,二 特征多項(xiàng)式與特征方程,定義 設(shè)A為n階方陣,(1) f() | I A|稱為方陣A的特征多項(xiàng)式,即,即,.,6,(3)方陣A的特征值就是特征方程| I A| 0的根,所以方陣A的特征值也稱為方陣A的特征根,齊次線性方程組,的每一個(gè)非零解向量， 都是方陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量,所以方陣A對(duì)應(yīng)于每一個(gè)不同特征值的特征向量都有無(wú)窮多個(gè),三 特征向量,

3、定理1 如果非零向量X為矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量,則CX(C0為任意常數(shù)）也是A對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量,定理2 如果X1， X2為矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，,且X1+ X2 0，則X1+ X2也是A對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，,即:矩陣A對(duì)應(yīng)于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍然為A對(duì)應(yīng)于特征向量(不能為0),.,7,綜上所述,求矩陣A的特征值及特征向量的步驟如下:,第一步 計(jì)算矩陣A特征多項(xiàng)式| I A| ;,第二步 求出矩陣A的特征方程| I A|=0的全部根,即求得A的全部特征值1， 1，- n，(其中可能有重根）,第三步 對(duì)于A的每個(gè)特征值i ,求出對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 （ i

4、I A）X=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.,矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值i 的全部特征向量為,.,8,例1 求矩陣 的特征值和特征向量,解,(1) A的特征方程為,所以A的特征值為14 2-2,(2) 當(dāng)14時(shí),其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值14的全體特征向量為,.,9,例1 求矩陣 的特征值和特征向量,解,(3) 當(dāng)2-2時(shí),其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值2-2的全體特征向量為,.,10,例2 求矩陣 的特征值和特征向量,解,(1) A的特征方程為,所以A的特征值為12 24,(2) 當(dāng)12時(shí),其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值12的全體特征向量為,.,11,例2 求矩陣 的特征值和特征向量,

5、解,(3) 當(dāng)24時(shí),其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值24的全體特征向量為,.,12,例3 求矩陣 的特征值和特征向量,解,(1) A的特征方程為,所以A的特征值為124， 32,.,13,例3 求矩陣 的特征值和特征向量,解,A的特征值為1=2=4 32,(2) 當(dāng)12=4,其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值12=4的全體特征向量為,.,14,例3 求矩陣 的特征值和特征向量,解,A的特征值為1=2=4 32,(3) 當(dāng)3=2,其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值32的全體特征向量為,.,15,例4 求矩陣 的特征值和特征向量,解,(1) A的特征方程為,所以A的特征值為1=2=

6、1 32,.,16,例4 求矩陣 的特征值和特征向量,解,A的特征值為1=2=1 32,(2) 當(dāng)12=1,其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值12=1的全體特征向量為,.,17,例4 求矩陣 的特征值和特征向量,解,A的特征值為1=2=1 32,(3) 當(dāng)32,其基礎(chǔ)解系可取為,則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值3=2的全體特征向量為,.,18,在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) n 階矩陣 A 有 n 個(gè)特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)算） 設(shè) n 階矩陣 A 的特征值為 l1, l2, , ln，則 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A| （利用根與系數(shù)的關(guān)系可證，證明不要

7、求。但性質(zhì)本身需牢固掌握）,四 特征值與特征向量的性質(zhì),.,19,例5 設(shè)是方陣A的特征值 證明 (1) 2是A2的特征值,證明,因?yàn)槭茿的特征值,故有X0,使AXX,于是,(1) A2X,2X,(AX),A(X),A(AX),所以2是A2的特征值,因?yàn)閄0 知0,有XA1X,由AXX,(2) 當(dāng)A可逆時(shí),(2) 當(dāng)A可逆時(shí), 是 的特征值,是 的特征值,.,20,例5：設(shè) l 是方陣 A 的特征值，證明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 當(dāng) A 可逆時(shí)，1/l 是 A1 的特征值 結(jié)論：若非零向量 p 是 A 對(duì)應(yīng)于特征值 l 的特征向量，則 l2 是 A2 的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向

8、量也是 p lk 是 Ak 的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量也是 p 當(dāng) A 可逆時(shí)，1/l 是 A1 的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量仍然是 p ,一般地，令,則,.,21,例6：設(shè)3 階方陣 A 的特征值為1, 1, 2，求 A* +3A2E 的特征值 解： A* +3A2E = |A| A1 +3A2E = 2A1 +3A2E = j (A) 其中|A| = 1(1) 2 = 2 從而A* +3A2E的特征值分別為,例7 主對(duì)角線上的元素為1，2-n的n階對(duì)角矩陣或三角形矩陣A的n個(gè)特征值就是其主對(duì)角線上的n個(gè)元素1，2-n,.,22,定理4 n階方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值,證明,轉(zhuǎn)置矩陣A

9、T的特征多項(xiàng)式為,即方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征多項(xiàng)式,所以方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值,.,23,例8 證明: 方陣A為奇異矩陣的充要條件是A有一個(gè)特征值為0,證明,必要性,則,如果A為奇異陣,所以A有一個(gè)特征值為0,充分性,如果A有一個(gè)特征值為0，對(duì)應(yīng)的特征向量為X,則,有非0解,所以 |A|=0,定理3 n階方陣A可逆的充要條件是A的每一個(gè)特征值均不為0,.,24,p120定理2 設(shè)1 2 m(mn)是n階方陣A的m個(gè)互不同特征值X1 X2 Xm分別是A對(duì)應(yīng)于1 2 m的特征向量 則 X1 X2 Xm線性無(wú)關(guān),A (k1X1k2X2 ks Xs)0,證明,設(shè)有常數(shù)k1

10、k2 ks,1k1X12k2X2 sks Xs0,用數(shù)學(xué)歸納法,m=1時(shí) X10 顯然成立,使 k1X1k2X2 ks Xs0,設(shè) m=s-1時(shí) X1 X2 Xs-1線性無(wú)關(guān),現(xiàn)證明 m=s時(shí) X1 X2 Xs線性無(wú)關(guān),.,25,k1X1k2X2 ks Xs0,sk1 X1s k2X2 s ks Xs0,1k1X12k2X2 sks Xs0,兩邊同乘s,兩式相減,(s -1)k1X1 (s - 2)k2X2 (s - s-1)ks-1 Xs-10,所以 X1 X2 Xs線性無(wú)關(guān),由設(shè) m=s-1時(shí) X1 X2 Xs-1線性無(wú)關(guān),由數(shù)學(xué)歸納法知,對(duì)任意正整數(shù)m,結(jié)論成立,.,26,p121例10

11、 設(shè)1和2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值 對(duì)應(yīng)的特征向量依次 為X1和X2 證明X1 X2不是A的特征向量,用反證法 假設(shè)X1X2是A的特征向量 則應(yīng)存在數(shù) 使 A(X1X2)(X1X2) 于是,證明,按題設(shè) 有AX11X1 AX22X2 故,A(X1X2)1X12X2,即(1)X1(2)X20,(X1X2) AX1AX2 1X12X2,因此X1X2不是A的特征向量,與題設(shè)12矛盾,即12,120,故由上式得,因?yàn)閄1 X2線性無(wú)關(guān),.,27,定理6 設(shè)1 2 m是方陣A的m個(gè)互不同特征值,為1的r1個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量,為2的r2個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量, ,為m的rm個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量,則 向量組,共r1+ r2+ +rm個(gè),線性無(wú)關(guān),.,28,例3 求矩陣 的特征值和特征向量,解,(1) A的特征方程為,所以A的特征值為1