1、第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,在數(shù)學(xué)研究中，人們會遇到這樣的情 況，對于任意正整數(shù)n或不小于某個數(shù)n0 的任意正整數(shù)n，都有某種關(guān)系成立。,對這類問題的證明我們將使用又一種重要的數(shù)學(xué)推理方法-數(shù)學(xué)歸納法,與正整數(shù)有關(guān)的命題,例如： 14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2 (nN+) n21+nx (x-1,nN+).,n=5,a5=25,問題情境一,問題 1:大球中有5個小球，如何驗(yàn)證它們都是綠色的？,完全歸納法,不完全歸納法,模 擬 演 示,問題3: 已知： 1= 1 13= 2 135= 3 1357= 4 1+3579=5,可猜想： 1+35 （1）n（2n1）,問題2：若a

2、n=(n2- 5n+5)2 ，則an=1。對嗎？,當(dāng)n=1,a1= ;n=2,a2= ;n=3,a3= ; n=4,a4= ;,（1）n n,問題情境二：數(shù)學(xué)家費(fèi)馬運(yùn)用不完全歸納法得出費(fèi)馬猜想的事例,猜想： 都是質(zhì)數(shù),法國的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Pierre de Fermat） (1601年1665年) 。 十七世紀(jì)最卓越的數(shù)學(xué)家之一， 他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大的貢獻(xiàn)， 因?yàn)樗谋拘惺菍I(yè)的律師， 為了表彰他的數(shù)學(xué)造詣， 世人冠以“業(yè)余王子”之美稱，,歸納法：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法。,（結(jié)論一定可靠，但需逐一核對，實(shí)施較難）,（結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問題，形成猜想）,（1

3、）完全歸納法：考察全體對象，得到一般結(jié)論的推理方法。,（2）不完全歸納法,考察部分對象,得到一般結(jié)論的推理方法。,歸納法分為 完全歸納法 和 不完全歸納法。,歸納法,如何解決不完全歸納法 存在的問題呢？,必須尋找一種用有限個步驟，就 能處理完無限多個對象的方法。,問題情境三,多米諾骨牌操作實(shí)驗(yàn),數(shù)學(xué)歸納法,我們常采用數(shù)學(xué)歸納法來證明：由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的正確性.,（1）證明當(dāng)n取第一個值n0(例如n0=1) 時命題成立,（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k N ,k n0 )時命題成立 證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。,這種證明方法叫做 數(shù)學(xué)歸納法,k=2,k+1=2+1=3 k=

4、3,k+1=3+1=4 k=10,k+1=10+1=11 ,下面我們來證明前面問題3中猜想的正確性,證明: (1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊=1, 左邊=右邊, 當(dāng)n=1時，式（*）成立,(2)假設(shè)當(dāng)n=k時，式（*）成立， 即 1+35 （1）k（2k1）（1）k k,在這個假設(shè)下再考慮當(dāng)n=k+1時，式（*）的左右兩邊 是否成立.,例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nN+時， 1+35 （1）n（2n1）（1）n n （*）,當(dāng)n=k+1時 等式左邊 1+35 （1）k（2k1） （1）k1 2(k+1)1,（1）k1 2(k+1)1, （1）k1 (k+1)右邊,所以當(dāng)n=k+1時等式（*）成立

5、。,由（1）（2）可知， 1+35 （1）n（2n1）（1）n n,利用 假設(shè),湊結(jié)論,從n=k到n=k+1有什么變化,（1）k k,（1）k1 k2(k+1)1,下面的框圖表示了數(shù)學(xué)歸納法的基本過程：,（1）驗(yàn)證：n=n0 （n0N+） 時命題成立。,（2）證明：假設(shè)n=k （kn0）時命題成立， 則n=k+1時命題也成立。,對所有的n （n0N+， nn0）命題成立,奠基,假設(shè)與遞推,數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。 主要有兩個步驟、一個結(jié)論: 第一步：驗(yàn)證當(dāng)n取第一個值n0（如 n0=1或2等）時結(jié)論正確 第二步：假設(shè)n=k (kN ， 且k n0)時結(jié)論正確， 證

6、明n=k+1時結(jié)論也正確 結(jié)論：由（1）、（2）得出結(jié)論正確,找準(zhǔn)起點(diǎn) 奠基要穩(wěn),用上假設(shè) 遞推才真,寫明結(jié)論 才算完整,數(shù)學(xué)歸納法主要步驟:,1）此時n0=_左_ 右= _,例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明,144,1,2）假設(shè)n=k時命題成立，即,當(dāng)n=k時，等式左邊共有_項(xiàng)， 第(k+1)項(xiàng)是_。,k,(k+1)3(k+1)1,1(11)2 =4,14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2,14+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2,14+27+310+k(3k+1) +(k+1)3(k+1)+1 =(k+1)(k+1)+12,(k+1)3(k+1)+1,當(dāng)n=k+1時 左邊=14

7、+27+310+k(3k+1) +(k+1)(3(k+1)+1) = k(k+1)2+(k+1)(3(k+1)+1) = (k+1)k(k+1)+3(k+1)+1 = (k+1)k2+4k+4=(k+1)(k+1)+12 右邊,練習(xí)鞏固,1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：,在驗(yàn)證n=1成立時，左邊計算所得的結(jié)果是,2,2.某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng) 時命題成立，那么可推得當(dāng) n=k+1 時命題也成立. 現(xiàn)已知當(dāng)n=5時該命題不成立，那么可推得 （ ） A當(dāng)n=6時該命題不成立 B當(dāng)n=6時該命題成立 C當(dāng)n=4時該命題不成立 D當(dāng)n=4時該命題成立,C,3.如下用數(shù)學(xué)歸納法證明對嗎？,證明：當(dāng)n=1時

8、，左邊,右邊,等式成立。 假設(shè)n=k時等式成立，有,那么，當(dāng)n=k+1時，有,即n=k+1時，命題成立。 根據(jù)可知，對nN，等式成立。,注意:用上假設(shè) 遞推才真,第二步證明中沒有用到假設(shè)，這不是數(shù)學(xué)歸納法證明,既然不對，如何改正？,三注意：1、有時 n0不一定等于1 2、項(xiàng)數(shù)不一定只增加一項(xiàng)。 3、一定要用上假設(shè),分析,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明 122334n(n1) ,練習(xí)鞏固,從n=k到n=k+1有什么變化,利用 假設(shè),湊結(jié)論,證明:,2)假設(shè)n=k時命題成立,即 122334k(k+1),1)當(dāng)n=1時，左邊=12=2,右邊= =2. 命題成立, n=k+1時命題正確。 由(1)和(2)知，

9、當(dāng) ，命題正確。,明確初始值n0，驗(yàn)證真假。（必不可少） “假設(shè)n=k時命題正確”，寫出命題形式。 證明“n=k+1時”命題成立。 分析“n=k+1時”命題是什么，并找出與“n=k”時命題形式的差別，弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)。 注意用上假設(shè)， 要作結(jié)論,用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式注意事項(xiàng)：,數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。 主要有兩個步驟、一個結(jié)論: （1）證明當(dāng)n取第一個值n0（如 n0=1或2等）時結(jié)論正確 （2）假設(shè)n=k (kN ， 且k n0)時結(jié)論正確， 證明n=k+1時結(jié)論也正確 由（1）、（2）得出結(jié)論正確,歸納小結(jié),（1）數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法的證明方法它適用

10、于 與正整數(shù)有關(guān)的問題。 （2）兩個步驟，一個結(jié)論缺一不可，否則結(jié)論不能成立。 （3）在證明遞推步驟時，必須使用歸納假設(shè)。,遞推基礎(chǔ)不可少 歸納假設(shè)要用到 結(jié)論寫明莫忘掉,可能錯誤 如何避免？,課堂小結(jié),數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法 ，它是在可靠的基礎(chǔ)上，利用命題自身具有的傳遞性，運(yùn)用“有限”的手段，來解決“無限”的問題。它克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，使我們認(rèn)識到事情由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無窮。,數(shù)學(xué)歸納法的核心思想,課堂小結(jié),作業(yè),（1）課本作業(yè) P50. 習(xí)題4. 1 1，2 ，3,（2）補(bǔ)充作業(yè):,用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果an是一個等差數(shù)列，那么an=a1+(n-1)d對于一切nN*都成立。,（3）預(yù)習(xí)課本P49例1和例2,哥德巴赫猜想,德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫經(jīng)過觀察,發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：任何大于5的整數(shù),都可以表示為三個質(zhì)數(shù)的和.他猜想這個命題是正確的,但他本人無法給予證明. 1742年6月6日,哥德巴赫去求教當(dāng)時頗負(fù)