1、1,第九章,彎曲應(yīng)力及彎曲強度,Bending Stress & Bending Strength,2,第九章彎曲應(yīng)力及彎曲強度,引言,慣性矩,梁的彎曲切應(yīng)力,剪力、彎矩與剪力圖、彎矩圖,剪力、彎矩與分布載荷集度之間的微分關(guān)系,彎曲正應(yīng)力,梁的彎曲強度計算,梁的梁的合理強度設(shè)計,3,彎曲變形的受力特點:,變形特點:,梁：,彎曲：,以軸線變彎為主要特征的變形形式。,外力作用線垂直于梁軸線，外力偶作用面通過梁軸線。,以彎曲變形為主的桿件。,梁軸線由直線變?yōu)榍€。,平面彎曲:,梁彎曲變形后軸線所在平面與載荷作用面重合的彎曲。,9-1 引言,9-1-1 平面彎曲的概念和實例,4,縱向?qū)ΨQ面,注意：對稱

2、彎曲屬于平面彎曲的一種。,對稱彎曲: 梁彎曲變形后的軸線與載荷作用面都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲。此時梁軸線在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎曲成一條平面曲線。,5,彎曲的一些工程實例,如：大橋的橋面,6,飛機的機翼,7,橋式吊梁,8,梁的簡化：,求內(nèi)力時，以梁軸線代替梁。,9-1-2 受彎桿件的簡化,一、支座的簡化：,1. 活動鉸支座,2. 固定鉸支座,3. 固定端,9,二、載荷的簡化：,1. 分布載荷：,分布載荷集度q (kN/m),2. 集中載荷： (kN),3. 力偶：Me (kNm),10,三、靜定梁的三種基本形式:,一端固定鉸支座，一端活動鉸支座。,1. 簡支梁：,3. 懸臂梁：,一端固定，一端自由。,2

3、. 外伸梁：,1) 單端外伸梁：,2) 雙端外伸梁：,11,復(fù)習(xí)1： 求懸臂梁的約束反力.,12,解：,1. 取分離體，畫受力圖,2. 立平衡方程，求解,Then we get,13,復(fù)習(xí)2： 求AC梁的約束反力.,1. 取分離體，畫受力圖,解：,14,取 CB段：,2 立平衡方程，求解,15,取整體,16,9-2-1 剪力、彎矩,9-2 剪力、彎矩與剪力圖、彎矩圖,如圖所示簡支梁，求：距A端x處截面m-m上的內(nèi)力。,解：求約束反力,l,17,求內(nèi)力截面法,取左段,18,取右段,剪力，F(xiàn)S：平行于橫截面的內(nèi)力合力,a,19,彎矩，M：垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力偶矩,a, 彎曲構(gòu)件內(nèi)力,20,彎

4、矩,剪力,（+）,（+）,二、FS和M的正負規(guī)定:,21,例 9.1,外伸梁受力如圖所示，計算指定截面上的剪力和彎矩.,解: 求支反力,22,1-1截面,23,2-2截面,24,3-3截面,25,4-4截面,26,27,求彎曲內(nèi)力的簡便方法(直接法）:,1) 任意截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面左側(cè)或右側(cè)梁段上所有外力的代數(shù)和。截面左側(cè)梁段上向上的力或截面右側(cè)梁段上向下的力產(chǎn)生正剪力，反之產(chǎn)生負剪力。,2) 任意橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面左側(cè)或右側(cè)梁段上所有外力對截面形心之矩的代數(shù)和。向上的力產(chǎn)生正彎矩，向下的力產(chǎn)生負彎矩。,3) 如果取截面的左邊梁段研究，則順時針轉(zhuǎn)向的力偶在截面上產(chǎn)生正

5、彎矩；取截面的右邊梁段研究，則逆時針轉(zhuǎn)向的力偶在截面上產(chǎn)生正彎矩。反之產(chǎn)生負彎矩。,28,左上右下外力為正,左順右逆力矩為正,29,例9.1,Fs1,A,M1,懸臂梁受力如圖所示，計算1截面和2截面上的剪力和彎矩。,解:,留左,1. 求FS1 和 M1 :,s,s,30,Fs2,B,M2,s,留左,2. 求FS2 和 M2 :,s,31,9-2-2 剪力方程和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖,描述彎曲內(nèi)力的變化規(guī)律： （1）數(shù)學(xué)方法剪力方程和彎矩方程； （2）幾何方法剪力圖和彎矩圖。,內(nèi)力方程,一、剪力方程： 彎矩方程：,列FS,M方程的方法: 1）截面法：用設(shè)正法； 2）直接法：公式和口訣。 2.

6、整個梁的FS, M方程有時需要分段列出。,x 表示梁截面的位置 。 FS 和M 分別表示剪力和彎矩的大小。,32,二、剪力圖（FS圖）和彎矩圖(M圖),彎矩圖（M圖）： 的函數(shù)坐標(biāo)圖。,畫FS圖, M圖的方法： 1. 基本法：根據(jù)FS，M方程作圖的方法；,2. 簡易法：,步驟：1）求支反力，2）將梁分段，3）分段列FS，M 方程，4）根據(jù)FS ，M方程畫FS，M圖（標(biāo)明正 負、特征值和單位）。,根據(jù)F , Me , q 與FS ,M 的關(guān)系作圖的方法。,剪力圖（FS圖）： 的函數(shù)坐標(biāo)圖。,3. 分段規(guī)則：以集中力、集中力偶作用點和分布力不連續(xù)點為分段點。,33,RA,RB,解: 1. 求支反力

7、。,3. 分段列內(nèi)力方程：用截面法。,a,b,A,B,例 9.2 圖示簡支梁受一集中力F 作用，試作此梁的內(nèi)力圖。,D,AD段：,選A點為坐標(biāo)原點。,2. 將梁分為AD和DB兩段。,F,留左。,34,RA,RB,a,b,A,B,D,DB段：,選B點為原點。,F,留右。,AD段：,35,RA,RB,a,b,A,B,D,DB段：,4.根據(jù)內(nèi)力方程畫內(nèi)力圖.,F,AD段：,(若a b),36,例9.3 寫出下列各梁的剪力方程和彎矩方程，并作出剪力圖和彎矩圖。,解: 1. 求支反力,3. 分段列剪力方程和彎矩方程：用直接法。,AC段：,2. 將梁分為AC和CB兩段。,選A點為 x 軸的坐標(biāo)原點。,左上

8、右下外力為正,（練習(xí)冊P30， 計4.2(d) ）,37,AC段：,選A點為 x 軸的坐標(biāo)原點。,左順右逆力矩為正,BC段：,選B點為 x 軸的坐標(biāo)原點。,3. 分段列剪力方程和彎矩方 程：用直接法。,38,AC段：,BC段：,4. 根據(jù)剪力、彎矩方程畫 剪力、彎矩圖。, 畫剪力圖：, 畫彎矩圖：,AC段：,BC段：,AC段：,向上凸,39,4. 根據(jù)剪力、彎矩方程畫 剪力、彎矩圖。, 畫彎矩圖：,AC段：,BC段：,向上凸,AC段：,BC段：,40,9-3-1 突變關(guān)系：,1. 在集中力F作用點：,FS圖有突變F, 突變方向與F的方向相同；,M圖無突變, 有尖角。,FS圖無突變；,9-3 剪

9、力、彎矩與分布載荷集度之間的關(guān)系,41,證明見P183。,9-3-2 微分關(guān)系：,在例 9.3中已得到驗證。,42,反映在內(nèi)力圖上：剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處的分布載荷集度；彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處的剪力。,FS圖，M圖的線型規(guī)律：,1. 在q=0的梁段上：,M圖為斜直線,FS圖為水平線；,2. 在q=C 的梁段上：,FS圖為斜直線,FS圖的斜向與q的指向相同。,M圖為拋物線，拋物線的凸向與q的指向相同。,注意：此段內(nèi)在FS = 0的截面上，M圖有極值。,43,外力,無分布載荷作用,剪力圖特點,斜直線,從左向右向下突變,無變化,斜直線,拋物線,從左到右有折角,剪力、彎矩與外力

10、之間的關(guān)系,彎矩圖特點,均布載荷,集中力,集中力偶,水平直線,從左到右向下突變,44,若q(x)，F(xiàn)S(x)在AB梁段上連續(xù)，則：,9-3-3 積分關(guān)系：,x,由(9.1)和(9.2)式得：,注意：AqAB和 分別為AB梁段上分布載荷圖和FS圖的面積 （有正負面積之分）。,45,畫FS，M圖的簡易法：,簡易法畫FS，M圖的步驟：,用突變、微分和積分關(guān)系畫FS，M圖的方法。,求支反力；,將梁分段；,注意：,從左至右逐點（在分段點的左邊用積分關(guān)系，從分段點的左邊到分段點的右邊用突變關(guān)系）逐段（用微分關(guān)系即線型規(guī)律）畫FS，M圖。,從左至右逐點逐段畫FS，M圖時，左端起始的剪力和彎矩都為零即從橫坐標(biāo)

11、開始畫起；右端結(jié)束時的剪力和彎矩也都為零即最后都回到橫坐標(biāo)上。 一般，先畫FS圖，后畫M圖。,46,例9.4 利用M、Fs 和 q 之間的關(guān)系作出下列各梁的剪力圖和彎矩圖 。,解: 1. 求支反力,2. 將梁分為AC和CB兩段。,FS圖,3. 畫FS圖：,47,M圖,FS圖,畫M圖：,設(shè)剪力FS = 0的截面D距C為 x 。,在此截面上彎矩將有極值，所以求 x 。,48,平面剛架的內(nèi)力圖,平面剛架的內(nèi)力：,即：,平面剛架：,剛節(jié)點：,受力前后夾角保持不變的連接點。如：A處。,各部分由剛節(jié)點連接成的平面框架結(jié)構(gòu)。如圖所示。,注意：,正值的軸力、剪力和彎矩畫在剛架的外側(cè)；負值的畫在內(nèi)側(cè)。注明正、負

12、號。,假想站在剛架的內(nèi)側(cè)，分別面對每段桿，將其視為桿、軸和梁。,軸力FN，剪力FS和彎矩M。,49,解：將剛架分為 CB，AB兩段,CB段：,FN (x) = 0,FS(x) = P1,M(x) =P1 x,a,l,P1,P2,A,B,C,例9.5 圖示為下端固定的剛架。受集中力 P1 和 P2 作用，作此剛架的內(nèi)力圖。,(0 x a),(0 x a),(0 x a),BA段：,FN(x) =P1,FS(x) = P2,M(x) = - P1a- P2 x,(0 x l ),(0 x l ),(010 ymax = 5 h,可見：對細長梁max max,q=3.6kN/m,A,L=3m,B,1

13、03,我們知道，對梁的強度起主要影響的是正應(yīng)力。,則由梁的彎曲正應(yīng)力強度條件：,9-8 梁的合理強度設(shè)計,可知，要提高彎曲強度，就是要減小max，即：,合理強度設(shè)計的目的是為了提高梁的強度。,104, 9-8-1 載荷及支座的合理布置：,1. 集中力靠近支座：,因此提高梁強度的措施應(yīng)是減小最大彎矩Mmax和提高彎曲截面模量Wz 。,可降低Mmax,105,2. 集中力適當(dāng)分散：,106,3. 合理安排梁的支座位置：,107, 9-8-2 梁的合理截面設(shè)計：,1. 矩形截面梁應(yīng)豎放， 如圖。,提高Wz /A,108,2. 選擇面積分布遠離中性軸的截面：,109,3. 根據(jù)材料性能選擇截面形狀：,即： 和 分別同時達到材料的 和