1、11-1 彎曲的概念和實(shí)例,11-2 受彎桿件的簡(jiǎn)化,11-3 剪力和彎矩,11-4 剪力方程和彎矩方程、剪力圖和彎矩圖,11-5 剪力、彎矩和載荷集度間的關(guān)系,第十一章 彎曲內(nèi)力,一. 關(guān)于彎曲的概念,1.受力特點(diǎn)： 桿件在包含其軸線的縱向平面內(nèi)，承受垂直于軸線的橫向外力或外力偶作用。 2.變形特點(diǎn)： 直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€。,梁的概念以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。,11-1 彎曲的概念和實(shí)例,平面彎曲,梁軸線,縱向?qū)ΨQ面,梁彎曲后，它的軸線變成了曲線。如果彎曲變形發(fā)生在外力作用平面內(nèi)（形成平面曲線），則這種彎曲稱為平面彎曲。 本章只討論：外力在同一平面內(nèi)，變形也在此平面內(nèi)的情況，也就是

2、說(shuō)只討論平面彎曲問(wèn)題。 （平面彎曲是工程中最常見(jiàn)的情況）,1.起重機(jī)大梁,二.工程實(shí)例,2.火車輪軸,一. 支座的幾種基本形式,1. 固定端實(shí)例如圖a，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖b, c。,11-2 受彎桿件的簡(jiǎn)化,2. 固定鉸支座實(shí)例如圖中左邊的支座，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖b，e。,3. 活動(dòng)鉸支座實(shí)例如圖a中右邊的支座，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖c，f。,1. 分布載荷q(x) 連續(xù)作用在一段長(zhǎng)度的載荷。 例如：自重、慣性力、液壓等， 單位：kg/cm， N/m。,合力著力點(diǎn)：在載荷圖的面積形心上,二.載荷的簡(jiǎn)化,當(dāng)分布載荷分布區(qū)段很小，在一個(gè)dx段上時(shí)，往往簡(jiǎn)化成集中力。（真正的集中力在工程中是不存在的）,3集中力矩 M往往

3、是梁上安裝附屬構(gòu)件所引起的。,2集中力P,懸臂梁,三. 靜定梁的基本形式,簡(jiǎn)支梁,外伸梁,仍采用截面法確定梁上某截面的內(nèi)力分量,例 11-1 確定懸臂梁m-m處的內(nèi)力,11-3 剪力和彎矩,一.概念,1求出A處的約束力(選作),取m-m截面右側(cè)分析,剪力,彎矩,取截面左右兩側(cè)的部分構(gòu)件計(jì)算，所得到的內(nèi)力大小相等，方向相反。,二.剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)約定,凡剪力對(duì)所取梁內(nèi)任一點(diǎn)的力矩順時(shí)針轉(zhuǎn)向的為正，反之為負(fù)；凡彎矩使所取梁段產(chǎn)生上凹下凸變形的為正，反之為負(fù)。,例 13-1 求梁AB截面I-I II-II的剪力和彎矩。,1計(jì)算梁的約束力,2選擇I-I截面左側(cè)為研究對(duì)象計(jì)算彎矩剪力,3選擇II-II

4、截面右側(cè)為研究對(duì)象計(jì)算彎矩剪力,c,在實(shí)際求解問(wèn)題中，可按以下方法由外力直接判斷內(nèi)力的正負(fù)：,左上右下，剪力為正； 左順右逆，彎矩為正。,如此取截面左右兩側(cè)的構(gòu)件計(jì)算所得到的內(nèi)力大小相等，符號(hào)相同。,橫截面上的剪力在數(shù)值上等于截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上外力的代數(shù)和。 橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上外力對(duì)截面形心的力矩的代數(shù)和。,求解梁指定截面的剪力和彎矩的一般步驟：,1、求約束力（很重要）；,2、選擇被截下部分的梁作為研究對(duì)象，畫出受力分析圖；,3、求截面上的剪力和彎矩的具體數(shù)值。,11-4 剪力方程與彎矩方程 剪力圖與彎矩圖,一、剪力方程和彎矩方程,一般情況下，梁橫截面上的剪力

5、和彎矩隨截面位置而變化，若以橫坐標(biāo) x 表示橫截面在梁軸線上的位置，則各橫截面上的剪力和彎矩都可以表示為 x 的函數(shù)。,剪力方程,彎矩方程,依照剪力方程和彎矩方程繪制的內(nèi)力曲線圖( x軸-橫截面位置，y軸-剪力彎矩) 稱為剪力圖和彎矩圖。 從前面的研究可以發(fā)現(xiàn)，彎曲變形時(shí)的內(nèi)力圖要比軸向拉壓和扭轉(zhuǎn)要復(fù)雜的多，這主要是由于引起彎曲內(nèi)力的改變的外載的種類較多（垂直于軸線的載荷，力偶）。,例 11-3 作懸臂梁的剪力和彎矩圖,1以A為原點(diǎn)建立x 軸,AB段中任取一個(gè)橫截面m-m,取截面左側(cè)作為研究對(duì)象,剪力方程:,彎矩方程:,2畫出剪力彎矩圖,彎矩的極值發(fā)生在固定端處，絕對(duì)值的大小為:,A右側(cè)至B左

6、側(cè)梁段上并沒(méi)有外加力（集中力/分布載）的作用，則A右側(cè)至B左側(cè)的剪力圖表現(xiàn)為一條平行于 x 軸的直線，不發(fā)生突變。,例 11-4 作簡(jiǎn)支梁的剪力和彎矩圖,1）計(jì)算約束力,由于C點(diǎn)存在集中力，因此AC和CB段的剪力方程、彎矩方程不相同。,2）取AC段中某截面左側(cè)部分進(jìn)行受力分析：,3）取CB段中某截面右側(cè)部分進(jìn)行受力分析：,由此可知本例中的剪力方程和彎矩方程都是分段函數(shù)。,剪力方程：,彎矩方程：,C處存在集中力F,剪力圖上發(fā)生突變,突變的大小為,若梁上某點(diǎn)作用一向下（上）的集中力，則在剪力圖上該點(diǎn)的極左側(cè)截面到極右側(cè)截面發(fā)生向下（上）的突變，剪力突變的大小等于該集中力的大小。,例 11-5 作以

7、下簡(jiǎn)支梁的剪力和彎矩圖。,解：約束力,梁上有集中力偶的地方彎矩圖有突變，而剪力圖沒(méi)有變化。,例 11-6 作以下簡(jiǎn)支梁的剪力和彎矩圖，并找出剪力圖或彎矩圖的規(guī)律,整個(gè)梁段上存在均布載荷q,剪力圖上發(fā)生線性漸變,漸變總的值為:,等于均布載荷載整個(gè)梁段上的作用力的大小。,若梁上某段作用一向下（上）的均布載荷，則在剪力圖上該段的左側(cè)截面到右側(cè)截面發(fā)生向下（上）的線性漸變，漸變總的值等于該均布載荷在此梁段上的總的作用力。,11-5 載荷集度、剪力和彎矩之間的關(guān)系,由于載荷的不同，梁的剪力和彎矩圖也不同。,FQ=0 的截面上，彎矩有極值，其他的例子中也總結(jié)了一些規(guī)律，這都說(shuō)明載荷、剪力、彎矩之間存在著一

8、定的關(guān)系；,找到這些關(guān)系，對(duì)我們方便快速地畫出剪力彎矩圖具有很大的益處。,一、基本原理,如圖所示簡(jiǎn)支梁受到載荷的作用：,建立坐標(biāo)系,取其中一微段d x q(x)為連續(xù)函數(shù)，規(guī)定向上為正,將該微段取出，加以受力分析,由（1）式可得:,（2）式中略去高階微量,載荷集度q、剪力FQ、彎矩M之間存在著微分關(guān)系:,剪力圖上某點(diǎn)的斜率等于載荷集度的數(shù)值,彎矩圖上某點(diǎn)的斜率等于剪力的數(shù)值,若q(x)為常數(shù)，則可根據(jù)這些關(guān)系得到如下表格,二、具體應(yīng)用,討論: 下面的剪力彎矩圖錯(cuò)在什么地方？（時(shí)間3分鐘） （計(jì)算數(shù)值是否正確不考慮）,1-受到集中力，在剪力圖上應(yīng)發(fā)生突變。,2-剪力的數(shù)值為正，但彎矩圖上相應(yīng)的斜

9、率為負(fù)。,3-剪力為0的截面上彎矩圖上并未有極值。,4-CB段上剪力線性變小，彎矩圖的斜率應(yīng)逐步變小，而非圖示變大。,不列剪力彎矩方程，畫剪力彎矩圖的基本步驟,1、正確計(jì)算出約束力；,2、按照剪力圖的相關(guān)規(guī)則快速繪出剪力圖；,3、按照載荷集度、剪力、彎矩的微分關(guān)系繪出彎矩圖的大致樣式；,4、計(jì)算彎矩在各段的極值。,例11-7 不列剪力方程和彎矩方程，繪出下面外伸梁的剪力和彎矩圖。,計(jì)算約束力：,畫出剪力圖,根據(jù)微分關(guān)系列表如下,哪個(gè)是對(duì)的？,例11-9 不列剪力方程和彎矩方程，繪出下面懸臂梁的剪力和彎矩圖。,計(jì)算約束力：,畫出剪力圖,畫出彎矩圖,課堂練習(xí): 畫出下面組合梁的剪力圖和彎矩圖（時(shí)間

10、:5分鐘）,提示: B處為一個(gè)鉸，AB和BC并不是一個(gè)構(gòu)件,注意B點(diǎn): 為什么B點(diǎn)的彎矩等于0？,比較以下兩個(gè)圖:,此類鉸接，鉸處無(wú)法承受彎矩，因此 M = 0,此類鉸接，M 不一定為0,三 、曲桿、剛架的內(nèi)力和內(nèi)力圖*,某些構(gòu)件，如活塞環(huán)、鏈環(huán)、拱等一般也都有一縱向?qū)ΨQ面，其軸線是一平面曲線，當(dāng)載荷作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，曲桿將發(fā)生彎曲變形。這時(shí)橫截面上的內(nèi)力一般有剪力FQ、彎矩M和軸力FN。如果載荷不是作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，其橫截面上可能還有扭矩Mx。,剛架是由多根直桿連接處為剛性連接而成。,一般情況下，在外力作用下剛架的橫截面上同時(shí)產(chǎn)生軸力、剪力和彎矩，其內(nèi)力符號(hào)的規(guī)定和曲桿相似。,m-m 截面上有哪些內(nèi)力分量？,軸力,剪力,彎矩,下面以四分之一圓周的曲桿為例來(lái)說(shuō)明內(nèi)力的計(jì)算。,對(duì)于曲桿的內(nèi)力符號(hào)約定:,引起拉伸變形的軸力FN為正；,使軸線曲率增加的彎矩M 為正；,以剪力FQ對(duì)所考慮的一段曲桿內(nèi)任一點(diǎn)取矩，力矩為順時(shí)針則剪力為正。,繪制彎矩圖時(shí)，將彎矩M 畫在軸線的法線方向，并畫在桿件的受壓一側(cè)，無(wú)須注明正負(fù)號(hào)。,根據(jù)上面的約定，下面圖中預(yù)設(shè)的各個(gè)內(nèi)力應(yīng)為正還是負(fù)？,畫出曲桿的彎矩圖,例11