1、81 扭轉的概念和實例 82 外力偶矩的計算、扭矩和扭矩圖 83 剪應力互等定理、剪切虎克定律,84 圓軸扭轉時的應力和強度條件,第八章 工程力學之扭 轉,85 圓軸扭轉時的變形和剛度條件,扭 轉,首先以圖8-1(a)所示汽車轉向軸為例，來說明扭轉變形的概念。,8-1 扭轉的概念和實例,汽車轉彎時，兩手在方向盤所在平面內施加一對大小相等，方向相反，作用線相互平行的力P，形成一個力偶。這樣，轉向軸的上端A受到經方向盤傳來的力偶作用，下端B受到來自轉向器的阻抗力偶作用，如圖8-1（b）所示。在上述力偶作用下，轉向軸產生如圖8-1（c）所示的變形，其變形特點是： 直桿的縱向直線變?yōu)槁菪€。這種變形稱

2、為直桿的扭轉變形，簡稱為扭轉。,扭 轉,以扭轉變形為主要變形的桿，工程上統(tǒng)稱為軸。如電動機主軸、水輪機主軸、機床傳動軸、攪拌機軸等等。,軸的扭轉變形受截面形狀的影響，不同截面形狀的扭轉軸將產生不同的扭轉變形，圓截面軸的扭轉變形如圖8-1（c）所示，而矩形截面軸的扭轉變形如圖8-2所示。工程中最常見的是圓截面軸的扭轉，也是扭轉中最簡單的一種情況。本章的研究對象是圓截面軸，包括實心圓截面軸和空心圓截面軸兩種情況。,扭 轉,8-2 外力偶矩的計算、扭矩和扭矩圖,一、外力偶矩的計算,對于傳動軸，作用于軸上的外力偶矩往往不直接給出，一般所給出的是軸所傳遞的功率和軸的轉速。,如圖8-3所示電動機工作時，通

3、過電動機主軸和皮帶輪將功率輸入到AB軸上，再經AB軸右端的齒輪輸送出去。設已知AB軸所傳遞的功率為N千瓦，轉速為n轉/分鐘，求AB軸所受到的外力偶矩m。,扭 轉,設電動機通過皮帶輪作用于AB軸上的外力偶矩為m，軸的轉速為n轉/分鐘（r/min），則軸每秒鐘轉過的角度為 力偶矩m每秒鐘所作的功為 ，也就是電動機通過皮帶輪每秒鐘輸入到AB軸上的功，單位是N.m/s，即AB軸傳遞的功率，所以有,由此得計算傳動軸外力偶矩的公式為,扭 轉,二、扭矩和扭矩圖,1. 扭矩,例8-1 圖8-4（a）所示圓軸，已知外力偶矩m，求1-1截面上的內力。,解： 用一個通過1-1截面的平面假想地將圓軸切開，一分為二，取

4、左半部分進行研究，如圖84（b）所示。由于外力為一力偶，所以1-1截面上內力的合力一定是作用面在1-1橫截面內的一個力偶。,根據靜力平衡條件：,扭矩：作用面在橫截面內的力偶，用T 表示。,得,扭 轉,結論：,圓軸扭轉時，橫截面上的內力是一個作用面在橫截面內的力偶，即扭矩。,扭矩為代數量，正、負號的規(guī)定按右手螺旋法則： 右手的四指沿著扭矩的旋轉方向，如果拇指的指向與該扭矩所作用橫截面的外法線方向一致，則扭矩為正，反之為負。,由此，可以判斷1-1截面上的扭矩為正。,本題中，如取右半部分為研究對象，受力如圖8-5所示，設扭矩T1為正，根據,得：,所以：,扭 轉,由此可見，不管取哪一部分作為研究對象，

5、最后的計算結果是完全相同的。,扭 轉,例8-2 求圖8-4（a）中2-2截面上的扭矩。,解： 用一個通過2-2截面的平面假想地將軸切開，一分為二，取左段為研究對象，設扭矩T2為正，受力如圖8-6所示。,列平衡方程,T2為負值，說明2-2截面上實際扭矩的方向與所設的T2的方向相反。,得,扭 轉,2. 扭矩圖,一般情況下，扭轉軸各截面的扭矩不盡相同，為了形象地表示扭矩沿軸線的變化情況，采用繪制扭矩圖的方法。,AB軸可以分為等扭矩的AC段和CB段，AC段各截面的扭矩都等于T1，CB段各截面的扭矩都等于T2。建立如圖8-7所示坐標，水平軸代表各截面的位置，垂直軸代表扭矩的大小，正扭矩畫在水平軸的上方，

6、負扭矩畫在水平軸的下方，得到圖8-7所示扭矩圖。,以平行于軸線的坐標表示橫截面的位置，以垂直于軸線的坐標表示扭矩的大小，描繪的扭矩沿軸線變化情況的圖形稱為扭矩圖。,例如作圖8-4（a）所示軸的扭矩圖。,扭 轉,例8-3 圖8-8（a）、圖8-8（b）所示傳動軸，轉速n=300r/m。A為主動輪，輸入功率NA=10kW； B、C、D為從動輪，輸出功率分別為NB=4.5kW，NC=3.5kW，ND=2.0kW。試繪軸的扭矩圖。,扭 轉,解： （1） 外力偶矩的計算作用在A、B、C、D輪上的外力偶矩分別為,（2） 扭矩計算,將軸分為等扭矩的BA、AC、CD三段，用截面法求出每一段上的扭矩。,扭 轉,

7、AC段： 如圖8-8（d）所示，任取2-2截面，同理有,BA段： 如圖8-8（c）所示，任取其中一個截面1-1，將軸假想地從1-1截面切開，采用設正法，取左段為研究對象。,CD段： 如圖8-8（e）所示，任取截面3-3，取右段為研究對象，同理有,（3） 畫扭矩圖,以平行于軸線的坐標表示橫截面的位置，以垂直于軸線的坐標表示扭矩，作扭矩圖如圖8-8（f）所示。,扭 轉,8-3 剪應力互等定理 剪切虎克定律,扭轉軸橫截面上的應力分析是一個比較復雜的問題。本節(jié)首先研究比較簡單的薄壁圓筒承受扭轉時橫截面上的應力，并結合其受力和變形分析，介紹有關剪切的基本概念和定律，為圓軸扭轉應力的分析奠定基礎。,一、薄

8、壁圓筒的扭轉,為了分析薄壁圓筒的扭轉應力，首先觀察薄壁圓筒的扭轉變形。,扭 轉,取一左端固定、右端自由的薄壁圓筒，在外表面上畫上兩條圓周線和與軸線平行的兩條縱向線，相交形成一矩形網格abcd，如圖8-9（a）所示。然后在圓筒自由端施加一外力偶矩m，可以觀察到：,設兩個圓周線和兩條縱向線相距無限小，以兩個圓周線所在截面、縱向線與軸線所確定的兩個縱向截面為切面，從圓筒上取出如圖8-10所示立方體，這個邊長可以無限小的立方體稱為單元體。,1、圓周線的大小、形狀，以及它們之間的距離均未改變，只是繞軸線作相對轉動，兩條圓周線分別轉過不同的角度。,2、縱向線都傾斜了同一角度，矩形abcd變成了平行四邊形，

9、如圖8-9（b）所示。,以上所述是薄壁圓筒的表面變形情況，因為筒壁很薄，可近似認為筒內的變形與筒外表面的變形相同。,扭 轉,元體變形后的形狀如圖中虛線所示?？梢钥闯?，單元體既沒有軸向正應變，也沒有橫向正應變，只是兩個橫截面間發(fā)生垂直半徑方向的相對錯動，即剪切變形，對應的 為剪應變。,結論：,1、薄壁圓筒扭轉時橫截面上沒有正應力，只有剪應力，剪應力沿垂直半徑方向。,2、薄壁圓筒包含軸線的縱向截面上沒有正應力。 如果包含軸線的縱向截面上有正應力，圓周線的周長將發(fā)生變化。,由于筒壁很薄，可設剪應力沿壁厚方向均勻分布。且各點剪應力對截面形心的矩合成為截面的扭矩。,如果橫截面上有正應力，兩個圓周線的間距

10、一定會改變； 如果剪應力不垂直半徑，單元體將發(fā)生前后錯動。,扭 轉,二、剪應力互等定理,以如圖8-11所示的單元體為研究對象，設單元體的邊長分別為 dx、dy和 t ，在單元體的左、右兩個側面上，分別作用著剪力 ，這對大小相等、方向相反的剪力構成一力偶，力偶矩為 ，由于單元體處于平衡，所以在單元體的頂面和底面上，一定存在著剪應力 ，構成矩為 的反向力偶，且存在關系式,所以有,上式表明： 在相互垂直的兩個截面上，剪應力必然成對存在，大小相等，都垂直于兩個截面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線。這一規(guī)律稱為剪應力互等定理。,扭 轉,三、剪切虎克定律,1. 剪切虎克定律,圖8-11所示單元體的

11、所有截面上只有剪應力沒有正應力，這種情況稱為純剪切。,薄壁圓筒的扭轉試驗表明： 當剪應力不超過材料的剪切比例極限 時，剪應力和剪應變成線性關系，即,這個關系稱為剪切虎克定律。,圖8-11單元體在剪應力作用下，左右兩個截面將發(fā)生微小的相對錯動，如圖8-10所示，使原來相互垂直的兩個棱邊的夾角改變了一個微量 ，即剪應變。,其中比例系數 稱為剪切彈性模量，單位為 ，是一個材料常數。,扭 轉,2. 材料常數 、 、 之間的關系,至此，我們已經引用了三個材料常數，即彈性模量 、泊松比 和剪切彈性模量 。可以證明，對各向同性材料，三個材料常數之間存在下列關系：,扭 轉,8-4 圓軸扭轉時的應力和強度條件,

12、一、圓軸扭轉時的應力,工程中的圓軸一般為實心軸或空心軸。研究圓軸扭轉時橫截面上的應力分布規(guī)律，需要從幾何、物理、靜力學三個方面進行考慮。,1. 幾何方面,如圖8-12所示，取一左端固定的等截面圓軸，在圓軸表面上作兩條圓周線和兩條與軸線平行的縱向線，在軸的右端施加一個力偶m，可以觀察到與薄壁圓筒受扭時相似的現象，即： 圓周線的大小、形狀不變，間距不變，只是各圓周線繞著軸線相對轉過了一個角度； 兩條縱向線傾斜了同一個角度，矩形ABCD變成了平行四邊形。,扭 轉,根據上述現象，對扭轉軸的變形作如下假設：, 圓軸扭轉過程中橫截面保持為平面，大小和形狀不變，半徑仍為直線，這個假設稱為圓軸扭轉的平面假設。

13、, 變形后，相鄰橫截面之間的距離不變。,根據這一假設，圓軸扭轉時橫截面就像剛性平面一樣，各自繞軸線轉過一個角度。根據與薄壁圓筒相同的理論分析，得到與薄壁圓筒同樣的結論：,1、橫截面上沒有正應力，只有垂直于半徑方向的剪應力。,2、包含軸線的縱向截面上沒有正應力。,扭 轉,如圖8-13（a）所示，設兩個圓周線和兩條縱向線相距無限小。以兩個圓周線所在截面、縱向線與軸線所確定的兩個縱向截面為切面，從軸內切取一楔形體O1ABCDO2來分析，如圖 8-13（b）所示。設兩個橫截面的距離為dx，變形后的楔形體如圖中虛線所示： 軸表面的矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BCD，半徑O2D、O2C變形后仍為直線，移動

14、到O2D、O2C，在半徑為 的內層取一矩形abcd，變形后變?yōu)閍bcd。,扭 轉,即：,式中 代表扭轉角沿軸線方向的變化率。對于同一截面，它是一個定值。由此可見，剪應變 與半徑 成正比。,2. 物理方面,以 代表橫截面上半徑為 處的剪應力，即d點處的剪應力，根據剪切虎克定律，在彈性范圍內，剪應力 和剪應變成線性關系，即有,設 為半徑轉過的角度，亦即楔形體左、右兩截面間的相對扭轉角。,設 ，由圖形可以看出,扭 轉,上式表明： 扭轉剪應力 與半徑 成正比，即剪應力沿半徑線性分布。楔形體上的剪應力分布如圖8-14所示。,將（8-3）式代入上式，得：,結論： 圓軸扭轉時橫截面上的扭轉剪應力 垂直于半徑

15、，并與半徑 成正比。橫截面中心處的剪應力為零，外表面上剪應力最大，在半徑為 的各點處剪應力大小相等。,實心圓截面軸和空心圓截面軸橫截面上的扭轉剪應力的分布情況分別如圖8-15（a）、圖8-15（b）所示。,扭 轉,3. 靜力學方面,以上研究了剪應力的變化規(guī)律，但由于 的數值還不知道，所以還不能確定剪應力的大小。為此，需要利用扭矩T和剪應力之間的靜力學關系。,如圖8-16所示在距圓心為處取微面積dA，作用在dA上的內力為 ，垂直于半徑方向，該內力對圓心的矩為 。在整個橫截面上，所有微面積上的內力對圓心的矩之和應等于截面的扭矩，即有：,將（8-4）代入上式，并注意到在給定的截面上 是常量，,扭 轉

16、,即,式中，積分 僅與橫截面的尺寸有關，稱為橫截面的極慣性矩，用 表示，即：,這樣（8-7）式便可寫為,公式（8-9）稱為圓軸扭轉變形的基本公式。,在求得 的表達式后，即可得扭轉剪應力的基本公式為：,于是有：,扭 轉,由以上公式，可求得橫截面上任意一點的扭轉剪應力。而且在 處，即圓截面的邊緣上，有最大剪應力,顯然，Wp也只與橫截面的尺寸有關，稱為抗扭截面模量。這樣最大剪應力的公式為,引用記號,扭 轉,1、上述公式是以平面假設為基礎導出的。而試驗表明，平面假設只適用于等截面圓軸，所以上述公式只適用于等截面圓軸。對圓截面沿軸線變化緩慢的小錐度錐形桿，也可近似地應用這些公式。此外，推導公式時使用了虎

17、克定律，因而公式只適用于最大扭轉剪應力,說明：,2、推導公式時使用了虎克定律，因而公式只適用于最大扭轉剪應力 小于剪切比例極限的情況。,扭 轉,二、極慣性矩與抗扭截面模量,1. 實心圓截面軸,如圖8-17（a）所示直徑為D的圓截面，以寬為 的環(huán)形區(qū)域為微面積，即取,根據定義式（8-7），圓截面的極慣性矩為,則抗扭截面模量,扭 轉,或,式中， 代表空心圓截面內、外徑的比值。由此，得空心圓截面的抗扭截面模量,2空心圓截面,對于外徑為D、內徑為d的空心圓截面，按相同的計算方法，得極慣性矩為,扭 轉,例8-4 發(fā)電量為15000kW的水輪機如圖8-18所示，電機軸為空心軸，外徑D=550mm，內徑d=

18、300mm，正常轉速n=250r/min。試計算軸內的最大、最小扭轉剪應力。,扭 轉,解 ：（1） 求外力偶矩,（2）用截面法求扭矩,水輪機軸傳遞的功率為15000kW，則水輪機軸所受的外力偶矩為,水輪機主軸任意橫截面上的扭矩為,（3）求最大、最小扭轉剪應力,空心圓截面的極慣性矩和抗扭截面模量分別為,扭 轉,所以水輪機主軸的最大扭轉剪應力為,最小扭轉剪應力為,扭 轉,此即為圓截面軸的扭轉強度條件。,三、圓軸扭轉的強度條件,通過扭轉破壞試驗，可以測得圓軸扭轉破壞時的最大剪應力，我們稱之為扭轉極限應力，用 來表示，將極限應力 除以安全系數n，得材料的許用剪應力，即有,為了保證圓截面軸在工作時不致因

19、強度不足而破壞，要求整個軸的最大扭轉剪應力不得超過材料的許用剪應力，即要滿足,扭 轉,例8-5 （1） 設上例中水輪機主軸所用材料的許用剪應力為,主軸改為實心軸要求它與原來的空心軸強度相同，試確定其直 徑。（3）比較實心軸和空心軸的重量。,，試校核水輪機主軸的強度。,（2）如果將水輪機,所以軸的強度足夠。,即,解：（1）上例中已求出整個軸的最大扭轉剪應力，且有,（2）設實心軸的直徑為d1，所謂與空心軸有相同的強度，就是與空心軸有相同的最大扭轉剪應力，即要求實心軸的最大扭轉剪應力為,扭 轉,空心軸的橫截面面積為,所以,（3）重量比較,所以兩軸的重量之比，也是面積之比為,在兩軸長度相等，材料相同的

20、條件下，兩軸的重量之比等于橫截面面積之比。實心軸的橫截面面積為,扭 轉,由此可見，在載荷相同的情況下，空心軸的重量只是實心軸的75%，即采用空心軸可以節(jié)約25%的材料。,扭 轉,例8-6 如圖819a所示傳動軸的轉速為 n=500轉/分,主動輪A輸入功率N1=368kW， 從動輪B、C分別輸出功率N2=147kW， N3=221kW，已知=70Mpa。 （1）試設計軸的直徑； （2）主動輪和從動輪應如何安排才比較合 理？,解：(1)試設計軸的直徑,（a）計算外力偶矩,扭 轉,所以整個軸的最大剪應力在AB段的外表面上。設軸的直徑為d，應滿足強度條件,根據平衡條件，可得,（b）求各截面上的扭矩并作

21、扭矩圖如圖8-19b所示。,（c）根據強度條件設計軸的直徑,可以看出，AB段有最大扭矩,扭 轉,即,(2) 主動輪放在兩個從動輪之間比較合理，因為這樣可以減小軸的最大扭矩 ，主動輪放在中間時軸的扭矩圖如圖8-19c所示。,扭 轉,一、圓軸扭轉時的變形,8-5 圓軸扭轉時的剛度和變形條件,軸的扭轉變形通常用圖8-20所示兩個橫截面間的相對轉角來度量，稱之為扭轉角。,由公式（8-8）可知，相距為dx的兩橫 截面間的扭轉角為,所以，相距為 的兩橫截面之間的扭轉角為,對于等截面、等扭矩圓軸，則上式中 為常數，扭轉角公式變?yōu)?扭 轉,由上式可以看出，扭轉角 與GIp成反比，GIp越大，扭轉角就越小，所以稱GIp為圓軸的抗扭剛度。,另外，扭轉角為代數量，由于 均為正值，所以扭轉角的正負號與扭矩T的正負號一致。,扭 轉,二、圓軸扭轉的剛度條件,對于受扭轉的圓軸，除了滿足強度條件，還要對變形有一定的限制，即要滿足剛度條件，否則會影響軸的正常工作。如齒輪傳動軸，如果軸的