1、柱坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程：,通解為：,若僅與r 有關(guān),拉普拉斯方程為：,解為：,若僅與j 有關(guān),拉普拉斯方程為：,解為：,若僅與z 有關(guān),拉普拉斯方程為：,解為：,雙層介質(zhì)的同軸電纜,【例1】已知同軸電纜內(nèi)、外半徑分別為R1、R2，中間充有兩種均勻各向同性的介質(zhì)，其電容率分別為e1和e2，分界面為柱面，其半徑為R3 ，已知內(nèi)外電極間的電壓為U0，求空間的電勢(shì)分布和場(chǎng)強(qiáng)分布？,R2,R3,R1,e2,e1,F2,F1,F1，F(xiàn)2,設(shè)兩種介質(zhì)中勢(shì)函數(shù)分別為,U0,球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程：,通解為：,式中球諧函數(shù),若電荷呈軸對(duì)稱(chēng)分布，則拉普拉斯方程變?yōu)椋?通解為：,若具有球?qū)ΨQ(chēng)性，F(xiàn)與q ,j 無(wú)

2、關(guān),只取 n= 0 項(xiàng)：,若討論的問(wèn)題僅與q 有關(guān),則拉普拉斯方程變?yōu)椋?解為：,O,R1,R2,R3,Q,F1,F2,圖 3.8-1 帶電導(dǎo)體球殼中的導(dǎo)體球,n1,n2,er,【例2】一個(gè)內(nèi)徑和外徑分別為R2 和R3的導(dǎo)體球殼，帶電量Q，同心的包圍著一個(gè)半徑為R1的導(dǎo)體球（ R1 R2 ）,如圖。若使這個(gè)導(dǎo)體球接地，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和這個(gè)導(dǎo)體球的感生電荷。,設(shè)導(dǎo)體球殼外電勢(shì)為F1 ，,殼內(nèi)為F2,x,y,z,O,P,F2,a,e1,F1,e2,r,圖 3.8-2 均勻電場(chǎng)中的介質(zhì)球體,q,E0,【例3】一半徑為a，電容率為e2的介質(zhì)球體，放在均勻外電場(chǎng)E0中，球外充滿(mǎn)電容率為e1的另一種均勻

3、介質(zhì)，如圖。求球內(nèi)外的電勢(shì)分布。,設(shè)介質(zhì)球外電勢(shì)為F1 ，,球內(nèi)為F2,勒讓德多項(xiàng)式：,解的物理意義：,（1）球外電勢(shì)由兩部分疊加： 勻強(qiáng)電場(chǎng)產(chǎn)生的電勢(shì)極化電荷產(chǎn)生的電勢(shì),電偶極子產(chǎn)生的電勢(shì),與球心處,的電偶極子產(chǎn)生的電勢(shì)等效,（2）球內(nèi)電勢(shì)也由兩部分疊加： 勻強(qiáng)電場(chǎng)產(chǎn)生的電勢(shì)極化電荷產(chǎn)生的電勢(shì),極化電荷在球內(nèi)產(chǎn)生的為勻強(qiáng)場(chǎng)，對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為,a,x,y,z,O,P,F2,e1,F1,e2,r,q,E0,若僅與r 有關(guān),拉普拉斯方程為：,解為：,若僅與j 有關(guān),拉普拉斯方程為：,解為：,若僅與z 有關(guān),拉普拉斯方程為：,解為：,若電荷呈軸對(duì)稱(chēng)分布，則拉普拉斯方程變?yōu)椋?通解為：,若具有球?qū)ΨQ(chēng)性，F(xiàn)與q ,j 無(wú)關(guān),只取 n= 0 項(xiàng)：,若討論的問(wèn)題僅與q 有關(guān),則拉普拉斯方程變?yōu)椋?解為：,若電荷呈軸對(duì)稱(chēng)分布，則拉普拉斯方程變?yōu)椋?通解為：,若具有球?qū)ΨQ(chēng)性，F(xiàn)與q ,j 無(wú)關(guān),只取 n=