1、數(shù)學(xué)建模過程,現(xiàn)實(shí)對象與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系,建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟,1 方法 機(jī)理分析法：以經(jīng)典數(shù)學(xué)為工具，分析其內(nèi)部的機(jī)理規(guī)律。,統(tǒng)計分析法：以隨機(jī)數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，經(jīng)過對統(tǒng)計數(shù)據(jù)進(jìn)行分 析，得到其內(nèi)在的規(guī)律。 如：多元統(tǒng)計分析。,系統(tǒng)分析法：對復(fù)雜性問題或主觀性問題的研究方法。把 定性的思維和結(jié)論用定量的手段表示出來。 如：層次分析法。,2 建模步驟,1）模型準(zhǔn)備： 了解問題的實(shí)際背景，明確建模目 的，掌握對象的各種信息如統(tǒng)計數(shù)據(jù)等，弄清實(shí)際 對象的特征。 有時需查資料或到有關(guān)單位了解情況等。,2）模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對象的特征和建模目的，對問 題進(jìn)行必要地合理地簡化。不同的假設(shè)會得到不同的模型。如

2、果假設(shè)過于簡單可能會導(dǎo)致模型的失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改或補(bǔ)充假設(shè)，如“四足動物的體重問題”；如果假設(shè)過于詳細(xì)，試圖把復(fù)雜的實(shí)際現(xiàn)象的各個因素都考慮進(jìn)去，可能會陷入困境，無法進(jìn)行下一步工作。分清問題的主要方面和次要方面，抓主要因素，盡量將問題均勻化、線性化。,3）模型建立：,分清變量類型，恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)工具； 抓住問題的本質(zhì)，簡化變量之間的關(guān)系； 要有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理，模型本身要正確； 要有足夠的精確度。,4）模型求解：可以包括解方程、畫圖形、證明定理 以及邏輯運(yùn)算等。會用到傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方 法，計算機(jī)技 術(shù)（編程或軟件包）。特別地近似計 算方法（泰勒級數(shù)，三角級數(shù)，二項(xiàng)式展開、代數(shù) 近似、

3、有效數(shù)字等）。,6）模型檢驗(yàn)： 把模型分析的結(jié)果“翻譯”回到實(shí) 際對象中，用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?和適應(yīng)性檢驗(yàn)結(jié)果有三種情況：符合好，不好，階 段性和部分性符合好。 7）模型應(yīng)用：應(yīng)用中可能發(fā)現(xiàn)新問題，需繼續(xù)完善。,5）模型分析：結(jié)果分析、數(shù)據(jù)分析。 變量之間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；數(shù)學(xué)預(yù)測；最優(yōu) 決策控制。,模型的分類,1）按變量的性質(zhì)分：,2）按時間變化對模型的影響分,3）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分 人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、 水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、 生物數(shù)學(xué)模型、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型、地質(zhì)數(shù)學(xué)模型、 數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型、數(shù)學(xué)社會學(xué)模型等。,4）按建

4、立模型的數(shù)學(xué)方法（或所屬數(shù)學(xué)分支）分 初等模型、幾何模型、線性代數(shù)模型、微分方程模型、 圖論模型、馬氏鏈模型、運(yùn)籌學(xué)模型等。,5）按建模目的分 描述性模型、分析模型、預(yù)報模型、優(yōu)化模型、 決策模型、控制模型等。,6）按對模型結(jié)構(gòu)的了解程度分 白箱模型：其內(nèi)在機(jī)理相當(dāng)清楚的學(xué)科問題，包括力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等。 灰箱模型：其內(nèi)在機(jī)理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問題，包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟(jì)、交通等。 黑箱模型：其內(nèi)在機(jī)理（數(shù)量關(guān)系）很不清楚的現(xiàn)象，如生命科學(xué)、社會科學(xué)等。,初 等 模 型,初等模型是指可以用初等數(shù)學(xué)的方法來構(gòu)造和求解的模型。我們來建立以下四個問題的數(shù)學(xué)模型。,我們來解決以下幾個問題：,一 席位分

5、配問題,二 核軍備競賽,三 產(chǎn)品的抽樣檢驗(yàn),一 席位分配問題,某校有200名學(xué)生，甲系100名，乙系60名， 丙系40名，若學(xué)生代表會議設(shè)20個席位，問三系各 有多少個席位？,按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則,表示某單位的席位數(shù),表示某單位的人數(shù),表示總?cè)藬?shù),表示總席位數(shù),1 問題的提出,20個席位的分配結(jié)果,現(xiàn)丙系有6名學(xué)生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。,10,6,4,10,6,4,現(xiàn)象1 丙系雖少了6人，但席位仍為4個。（不公平！）,為了在表決提案時避免可能出現(xiàn)10：10的平局，再設(shè)一個席位。,21個席位的分配結(jié)果,11,7,3,現(xiàn)象2 總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平?。?慣

6、例分配方法：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額 按慣例分給小數(shù)部分較大者。 存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？,2 建模分析,目標(biāo)：建立公平的分配方案。 反映公平分配的數(shù)量指標(biāo)可用每席位代表的人數(shù)來衡量。,一般地，,當(dāng),席位分配公平,但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標(biāo)準(zhǔn)來判斷。,此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個好的衡量標(biāo)準(zhǔn)。,C,D的不公平程度大為改善！,2） 相對不公平,表示每個席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時，此值 越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。,則A吃虧,或?qū) 是不公平的。,定義“相對不公平”,對A 的相對不公 平值,同理，可定義對B 的相對

7、不公平值為：,對B 的相對不公 平值,建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標(biāo),制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。,3 建模,若A、B兩方已占有席位數(shù)為,用相對不公平值,討論當(dāng)席位增加1 個時，應(yīng)該給A 還是B 方。,不失一般性，,有下面三種情形。,情形1,說明即使給A 單位增加1席，仍對A 不公平，所增這一席必須給A單位。,情形2,說明當(dāng)對A 不公平時，給A 單位增加1席，對B 又不公平。,計算對B 的相對不公平值,情形3,說明當(dāng)對A 不公平時，給B 單位增加1席，對A 不公平。,計算對A 的相對不公平值,則這一席位給A 單位，否則給B 單位。,結(jié)論：當(dāng)（*）成立時，增加的一個席位應(yīng)分配

8、給A 單位， 反之，應(yīng)分配給 B 單位。,記,則增加的一個席位應(yīng)分配給Q值 較大的一方。,這樣的分配席位的方法稱為Q值方法。,若A、B兩方已占有席位數(shù)為,4 推廣 有m 方分配席位的情況,設(shè),方人數(shù)為,，已占有,個席位，,當(dāng)總席位增加1 席時，計算,則1 席應(yīng)分給Q值最大的一方。從,開始，即每方,至少應(yīng)得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，則把它排除在外。）,5 舉例,甲、乙、丙三系各有人數(shù)103，63，34，有21個席位，如何分配？,按Q值方法：,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,甲：11，乙：6，丙：4,練習(xí),學(xué)校共1000

9、學(xué)生，235人住在A樓，333人住 在B樓，432住在C樓。學(xué)生要組織一個10人 委員會，試用慣例分配方法， dHondt方法和 Q值方法分配各樓的委員數(shù)，并比較結(jié)果。,dHondt方法,有k個單位，每單位的人數(shù)為 pi ，總席位數(shù)為n。,做法：,用自然數(shù)1,2,3,分別除以每單位的人數(shù)，從所得的數(shù)中由大到小取前 n 個，（這n 個數(shù)來自各個單位人數(shù)用自然數(shù)相除的結(jié)果），這n 個數(shù)中哪個單位有幾個所分席位就為幾個。,二 核軍備競賽,冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實(shí)行“核威懾戰(zhàn)略”，核軍備競賽不斷升級。,隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過了一系列的核裁軍協(xié)議。,在什么情況下雙方的核軍備

10、競賽不會無限擴(kuò)張，而存在暫時的平衡狀態(tài)。,當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時，平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化。,估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個數(shù)量受哪些因素影響。,背景,以雙方(戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。,假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：,認(rèn)為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；,乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。,在任一方實(shí)施第一次核打擊時，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對方的一個核導(dǎo)彈基地。,摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。,模型假設(shè),圖的模型,y

11、=f(x)甲方有x枚導(dǎo)彈，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù),x=g(y)乙方有y枚導(dǎo)彈，甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù),當(dāng) x=0時 y=y0，y0乙方的威懾值,y0甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù),P(xm,ym),乙安全區(qū),甲安全區(qū),雙方 安全區(qū),P平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù)),乙安全線,甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo),乙方威懾值 y0變大,甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級。,（其它因素不變）,乙安全線 y=f(x)上移,模型解釋,平衡點(diǎn)PP,甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動發(fā)射架,乙安全線y=f(x)不變,甲方殘存率變大,威懾值x 0和交換比不變,x減

12、小，甲安全線x=g(y)向y軸靠近,模型解釋,甲方這種單獨(dú)行為，會使雙方的核導(dǎo)彈減少,PP,三 產(chǎn)品的抽樣檢驗(yàn),產(chǎn)品質(zhì)量是每個企業(yè)都十分關(guān)心的一個問題，質(zhì)量監(jiān)控的一個經(jīng)常采用的方法是抽樣檢驗(yàn)。人們設(shè)計出了各種各樣的給出整批產(chǎn)品可接受準(zhǔn)則的抽樣方案。,問題：一個陶器公司生產(chǎn)咖啡杯，杯上飾以某著名運(yùn)動員的頭像，人們設(shè)計了以下兩種抽樣方案：,方案A（單抽樣方案）隨機(jī)地從批量中選20個杯子，如果有兩個或少于兩個不合格，就接受批量，否則拒絕該批量。,方案B(雙抽樣方案)隨機(jī)地從批量中選10個杯子，如果沒有不合格就接受該批量，如果有兩個或多于兩個不合格就拒絕該批量。而若有一個不合格，再做檢驗(yàn)，隨機(jī)地選另外

13、10個杯子，當(dāng)提取第二批抽樣時，計算20個組合抽樣中不合格杯子的個數(shù)，如不合格數(shù)不多于1個就接受該批量，否則就拒絕該批量。,討論這兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。,分析與建模,兩種方法中的有效性可通過首先假設(shè)不合格數(shù)所占的比例為p來進(jìn)行分析。然后我們對每種方法求出接受該批量的概率，并對p值的一些取值范圍計算其概率。,對方法A而言，若得到一個不合杯子的概率為p,抽樣量是20，則不合格數(shù)為2、1、0的概率分別為：,把這些概率加起來，就會得到：,因此，接受該批量的概率由下式給出：,對于方法B，第一次抽樣接受的概率是,如果發(fā)現(xiàn)一個不合格杯子就要做第,二次抽樣。10個中有1個不合格杯子的概率為：,若在第二次抽樣中只找到0或1個不合格杯子，則接受該批量。這時的概率為：,所以，組合概率由下式給出:,因而對于方法B而言，接受的概率是：,這樣給出的接受該批量的概率為：,現(xiàn)在，我們對各種p值來看看怎樣用這些