1、第1章集合與簡(jiǎn)易邏輯11集合一、集合的概念1.1.1在“ 難解的題目； 方程x210在實(shí)數(shù)集內(nèi)的解； 直角坐標(biāo)平面上第四象限內(nèi)的所有點(diǎn)； 很多多項(xiàng)式”中，能夠組成集合的是() (A) (B) (C) (D) 解析由集合中元素的確定性可知只有和能組成集合，答案為A1.1.2下列集合中，有限集是()(A) x|x10，xN(B) x|x10，xZ(C) x|x210，xQ(D) x|xy10，yR解析由N表示自然數(shù)集得x|x10，xN0，1，2，3，4，5，6，7，8，9是有限集，答案為A1.1.3若集合Mx|x6，a5，則下列結(jié)論中正確的是()(A) aM(B) aM(C) aM(D) aM解析

2、因?yàn)?56，則 5M，aM，所以，答案為A1.1.4已知集合A0，1，By|y21x2，xA，則A與B的關(guān)系是()(A) AB(B) AB(C) AB(D) AB解析由已知得集合B1，0，1，所以，AB，答案為B1.1.5下列四個(gè)關(guān)系中，正確的是()(A) 0(B) 00 (C) 00，1 (D) 00，1解析與0，0與0，1是兩個(gè)集合間的關(guān)系，這種關(guān)系不應(yīng)用表達(dá)元素與集合間關(guān)系的“”來(lái)表達(dá)；而00，又0是集合0，1中的元素，所以，00，1是正確的，答案為D1.1.6設(shè)a，bR，集合1，ab，a0，ba，b，則ba()(A) 1(B) 1(C) 2(D) 2解析由已知得01，ab，a，而a0，

3、于是，只能ab0，則ba1，又 11，ab，a，所以，a1，b1，ba2，答案為C1.1.7用適當(dāng)?shù)姆绞綄?xiě)出下列集合：(1) 組成中國(guó)國(guó)旗的顏色名稱的集合；(2) 不大于6的非負(fù)整數(shù)所組成的集合；(3) 所有正奇數(shù)組成的集合；(4) 方程x360的實(shí)數(shù)解構(gòu)成的集合；(5) 不等式x25x40的解集；(6) 直角坐標(biāo)平面中，第一象限內(nèi)的所有點(diǎn)組成的集合；(7) 直角坐標(biāo)平面中，直線y2x1上的所有點(diǎn)組成的集合解析(1) 組成中國(guó)國(guó)旗的顏色名稱的集合是紅，黃(2) 不大于6的非負(fù)整數(shù)所組成的集合是0，1，2，3，4，5，6(3) 所有正奇數(shù)組成的集合是x|x2k1，kN(4) 方程x360的實(shí)數(shù)解

4、構(gòu)成的集合是x|x360，xR(5) 不等式x25x40的解集x|x25x40或?qū)懗蓌|1x0且y0(7) 直角坐標(biāo)平面中，直線y2x1上的所有點(diǎn)組成的集合是(x，y)|y2x11.1.8已知集合A1，3，x，集合B1，x2，若有BA且xB，則A解析由x2A及xB得x23，解得x3，經(jīng)檢驗(yàn)此x的值符合集合中元素的互異性，所以，集合A1，3，3或1，3，31.1.9集合Ax|3x2，Bx|2m1x2m1，若BA，則m的取值范圍是解析由已知可得2m13，2m12， 解得1m121.1.10若集合M0，1，2，N(x，y)|x2y10且x2y10，x，yM，則N中元素的個(gè)數(shù)為()(A) 9(B) 6

5、(C) 4(D) 2解析將點(diǎn)(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)，(0，2)，(2，0)，(1，2)，(2，1)的坐標(biāo)代入不等式組x2y10，x2y10，可知只有點(diǎn)(0，0)，(1，1)，(1，0)，(2，1)四個(gè)點(diǎn)在集合N內(nèi)，所以，答案為C1.1.11定義集合運(yùn)算：ABz|zxy(xy)，xA，yB，設(shè)集合A0，1，B2，3，則集合AB的所有元素之和為()(A) 0(B) 6(C) 12(D) 18解析由已知可得AB0，6，12，所以，AB中所有元素之和為18，答案為D1.1.12設(shè)是R上的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集，若對(duì)任意a，bA，有abA，則稱A對(duì)運(yùn)算封閉下列數(shù)集

6、對(duì)加法，減法，乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的是()(A) 自然數(shù)集(B) 整數(shù)集(C) 有理數(shù)集 (D) 無(wú)理數(shù)集解析任意兩個(gè)自然數(shù)或整數(shù)的商不一定是自然數(shù)或整數(shù)，任意兩個(gè)無(wú)理數(shù)的積不一定是無(wú)理數(shù)，而任意兩個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商一定都是有理數(shù)，所以，有理數(shù)集對(duì)加法，減法，乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的，答案為C1.1.13集合Mx|a1xb1，Nx|a2xb2，其中常數(shù)a1b1a2b20，則“a1a2b1b2”是“MN”的()(A) 充分不必要條件(B) 必要不充分條件(C) 充要條件(D) 既不充分也不必要條件解析若a1b11，a2b21，則有a1a2b1b2，此時(shí)

7、，Mx|x1，Nx|x0，于是，Mxxb1a1，Nxxb2a2，或者，Mxxb1a1，Nxxb2a2，于是，b1a1b2a2，即a1a2b1b2，所以，“a1a2b1b2”是“MN”的必要不充分條件，答案為B1.1.14已知集合Mx|xa2b2，其中a，b是常數(shù)給出下列四個(gè)命題： 2ab一定屬于M 2ab一定不屬于M 2ab一定屬于M 2ab一定不屬于M其中正確命題的序號(hào)是(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))解析由(ab)20和(ab)20對(duì)任意a，bR恒成立可得2aba2b2，2aba2b2，所以，2abM，2abM，在上述四個(gè)命題中，和是正確的1.1.15已知集合A是非零實(shí)數(shù)集的子集，并且有如下性質(zhì)

8、：對(duì)任意xA，必有32xA問(wèn)：(1) 集合A可否有且僅有一個(gè)元素?如果可以，求出所有滿足要求的集合A；若不可以，則說(shuō)明理由；(2) 集合A可否有且僅有兩個(gè)元素?如果可以，求出所有滿足要求的集合A；若不可以，則說(shuō)明理由解析(1) 若集合A中有且僅有一個(gè)元素x，則32xx，即x23x20，解得x1或x2，所以，集合1和2是兩個(gè)滿足要求的單元集(2) 集合1，2是滿足要求的二元集若集合Aa，b是滿足要求的二元集，并且32ab，32ba，即3a2ab，3b2ab，則ab，矛盾，所以，滿足要求的二元集只能是1，21.1.16同時(shí)滿足1A1，2，3，4，5，且A中所有元素之和為奇數(shù)的集合A的個(gè)數(shù)是()(A

9、) 5(B) 6(C) 7(D) 8解析若A為二元集，則A可為1，2、1，4；若A為三元集，則A可為1，2，4、1，3，5；若A為四元集，則A可為1，2，3，5、1，3，4，5；若A為五元集，則A可為1，2，3，4，5，所以，共有7個(gè)符合條件的集合，答案為C1.1.17對(duì)于集合A和B，當(dāng)AB時(shí)，下列集合之間的關(guān)系一定不能成立的是()(A) A(B) B(C) B(D) A解析由于不存在集合是空集的真子集，所以，由AB可得B，所以，答案為C1.1.18下列各組集合中，M與P表示同一個(gè)集合的是()(A) M(1，3)，P(3，1)(B) M，P0(C) My|yx21，xR，P(x，y)|yx21

10、，xR(D) My|yx21，xR，Pt|t(y1)21，yR解析(1，3)與(3，1)是平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)不相同的點(diǎn)；集合0中有一個(gè)元素，它不是空集集合My|yx21，xR是二次函數(shù)yx21的因變量的集合，它是一個(gè)數(shù)集，而集合P(x，y)|yx21，xR表示平面直角坐標(biāo)系中的一條拋物線，它是點(diǎn)的集合集合My|yx21，xRt|t(y1)21，yRy|y1，所以，答案為D1.1.19寫(xiě)出集合A(x，y)|x2y22且xy0的所有子集：解析集合A(1，1)，(1，1)，所以，A的所有子集是，(1，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)1.1.20用適當(dāng)?shù)姆绞綄?xiě)出下列集合并化簡(jiǎn)：(1) 方程x

11、220的全體實(shí)數(shù)解組成的集合：；(2) 函數(shù)y3x2，1x3的所有因變量組成的集合：；(3) 函數(shù)yx24x3，xR的所有因變量組成的集合：解析(1) 方程x220的全體實(shí)數(shù)解組成的集合是x|x220，xR；(2) 函數(shù)y3x2，1x3的所有因變量組成的集合是y|y3x2，1x3y|5y11；(3) 函數(shù)yx24x3，xR的所有因變量組成的集合是y|yx24x3，xRy|y71.1.21已知集合x(chóng)|ax22x10，aR，xR中有且僅有一個(gè)元素，則a的值是解析要使得集合x(chóng)|ax22x10，aR，xR中有且僅有一個(gè)元素，則a0或224a0，所以，a0或a11.1.22關(guān)于x的不等式x(a1)22(

12、a1)22的解集是A，關(guān)于x的不等式x23(a1)x2(3a1)0 (其中aR)的解集是B，求使AB的a的取值范圍解析不等式x(a1)22(a1)22的解集A2a，a21不等式x23(a1)x2(3a1)0即為(x2)(x3a1)0若a13，則B2，3a1；若a13，則B3a1，2由AB得a13， 22a， a213a1或a13， 3a12a，a212， 解得1a3或a1所以，a的取值范圍是a1或1a31.1.23已知集合Ax|x23x20，Bx|x2ax(a1)0，Cx|x2bx20，xR，若BA，CA，求實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件解析集合A1，2，而x2ax(a1)0即為(x1)(xa1)0，

13、若a11，即a2，則B1滿足；若a11，即a2，則B1，a1，由BA知a12，即a3對(duì)于集合C，由CA知，若C，則(b)280，解得22b22；若C為單元集，則(b)280，此時(shí)C2或C2，與CA矛盾；若C1，2，即C中方程兩根為1和2，則b3所以，a，b應(yīng)滿足的條件是a2或a3而 22b0，則記f(x)x2(1m)x4，此時(shí)，只需f(3)0，即93(m1)4103所以，m的取值范圍是m103或m31.1.25設(shè)集合M1，2，3，4，5，6，S1，S2，Sk都是M的含兩個(gè)元素的子集，且滿足：對(duì)任意的Siai，bi，Sjaj，bj(ij，i，j1，2，3，k)，都有minaibi，biaimin

14、ajbj，bjaj(minx，y表示兩個(gè)數(shù)x，y中的較小者)，則k的最大值是()(A) 10(B) 11(C) 12(D) 13解析集合M的所有兩元子集是1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，2，3，2，4，2，5，2，6，3，4，3，5，3，6，4，5，4，6，5，6，共計(jì)15個(gè)，其中，不同minaibi，biai (i1，2，15)有12，13，14，15，16，23，25，34，35，45，56共11個(gè)，所以，答案為B1.1.26設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意a，bP，都有ab，ab，ab，abP (除數(shù)b0)，則稱P是一個(gè)數(shù)域例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集Fab2|a，bQ也

15、是數(shù)域有下列命題： 整數(shù)集是數(shù)域； 若有理數(shù)集QM，則數(shù)集M必為數(shù)域； 數(shù)域必為無(wú)限集； 存在無(wú)窮多個(gè)數(shù)域其中正確的命題的序號(hào)是(把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)填上)解析因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)整數(shù)的商不一定是整數(shù)，故命題不正確；當(dāng)集合MQ2時(shí)，由于1Q，而12 M，故命題不正確；由數(shù)域P的定義知，必有bb1P，從而2P，則3P，所以，整數(shù)集ZP，故數(shù)域P中必有無(wú)窮多個(gè)元素，命題正確；由于數(shù)集Fab2|a，bQ是數(shù)域，則將其中的2換成3，5，等仍為數(shù)域，所以數(shù)域有無(wú)窮多個(gè)，命題正確所以，在上述四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是，1.1.27非空集合G關(guān)于運(yùn)算滿足：(1) 對(duì)任意a，bG，都有abG；(2) 存在eG，

16、使得對(duì)一切aG，都有aeeaa，則稱G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算： G非負(fù)整數(shù)，為整數(shù)的加法； G偶數(shù)，為整數(shù)的乘法； G平面向量，為平面向量的加法； G二次三項(xiàng)式，多項(xiàng)式的乘法； G虛數(shù)，為復(fù)數(shù)的乘法其中G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”的是(寫(xiě)出所有“融洽集”的序號(hào))解析對(duì)于非負(fù)整數(shù)集以及加法運(yùn)算，兩個(gè)非負(fù)整數(shù)之和一定是非負(fù)整數(shù)，其中e0；對(duì)于偶數(shù)集和乘法運(yùn)算，其中不存在滿足要求的元素e；對(duì)于平面向量集合以及向量的加法運(yùn)算，任意兩個(gè)平面向量之和仍為該平面內(nèi)的向量，e0；對(duì)于二次三項(xiàng)式集合以及多項(xiàng)式的乘法，其中不存在滿足要求的元素e；對(duì)于虛數(shù)集和復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，其中不存在滿足要求的元素e，

17、所以，集合G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”的是和1.1.28已知集合Sx|xm2n2，m，nZ求證：若a，bS，則abS解析由a，bS得存在整數(shù)p，q，r，s，使得ap2q2，br2s2，則ab(p2q2)(r2s2)p2r2q2s2p2s2q2r2(prqs)2(psqr)2，其中prqs和psqr都是整數(shù)，所以，abS1.1.29已知集合Ax|x12a8b，a，bZ，By|y20c16d，c，dZ判斷集合A與集合B之間存在什么關(guān)系，并說(shuō)明理由解析若yB，即y20c16d12c8(c2d)，因?yàn)閏，dZ，則有c2dZ，得yA，于是BA；若xA，則x12a8b60a48a40b32b20(3a2b)16

18、(3a2b)，因?yàn)閍，bZ，則有3a2b，3a2bZ，于是AB所以，AB1.1.30若f(x)x2axb，a，bR，Ax|xf(x)，xR，Bx|xff(x)，xC(1) 寫(xiě)出集合A與B之間的關(guān)系，并證明；(2) 當(dāng)A1，3時(shí)，用列舉法表示集合B解析(1) 任取xA，則f(x)x，于是，f f(x)f(x)x，即有xB，所以有AB，但由于xff(x)必為四次方程，在復(fù)數(shù)集C上有4個(gè)根，所以AB(2) 當(dāng)A1，3時(shí)，即方程x2axbx的兩根為1、3，于是13(a1)，(1)3b，所以a1，b3，即f(x)x2x3，此時(shí)，集合B中的方程為(x2x3)2(x2x3)3x，即(x2x3)2x20，(x

19、23)(x22x3)0，所以，B1，3，3，31.1.31已知A(x，y)|x2y24x4y70，x，yR，B(x，y)|xy10，x，yR(1) 對(duì)于直線m和直線外的一點(diǎn)P，用“m上的點(diǎn)與點(diǎn)P距離的最小值”定義點(diǎn)P到直線m的距離與原有的點(diǎn)線距離概念是等價(jià)的試以類似的方式給出一個(gè)點(diǎn)集A與B的“距離”的定義；(2) 依照(1)中的定義求出A與B的“距離”解析(1) 定義：在點(diǎn)集A，B中分別任取一點(diǎn)，所取兩點(diǎn)間的距離若有最小值，則此最小值稱為點(diǎn)集A與B的“距離”(2) 集合A中的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓，其方程是(x2)2(y2)21，圓心C(2，2)，半徑為1，設(shè)P(x，y)為曲線xy10上任意一點(diǎn)，則|P

20、C|2(x2)2(y2)2x2y24(xy)8(xy)22xy4(xy)8(xy)24(xy)28(xy2)224當(dāng)且僅當(dāng)xy20，xy10 ，即x111，y111 或x111，y111 時(shí)，|PC|最小值224，|PC|最小值26，所以，A與B的“距離”為261二、集合的運(yùn)算1.1.32已知全集Ia1，a2，a3，a4，a5，a6，集合Aa1，a3，a4，a5，Ba1，a4，則AIB()(A) a1，a4(B) a2，a6(C) a3，a5(D) a2，a3，a5，a6解析IBa2，a3，a5，a6，所以，AIBa3，a5，答案為C1.1.33若集合Mx|x|2，Nx|x23x0，則MN()

21、(A) 3(B) 0(C) 0，2(D) 0，3解析M2，2，N0，3，所以MN0，答案為B1.1.34設(shè)A，B，I均為非空集合，且滿足ABI，則下列各式中錯(cuò)誤的是()(A) (IA)BI題1.1.34(B) (IA)(IB)I(C) A(IB)(D) (IA)(IB)(IB)解析集合A，B，I的關(guān)系如圖所示，可知(IA)(IB)IAI，所以，答案為B1.1.35設(shè)全集I2，3，5，A|a5|，2，IA5，則a的值為()(A) 2(B) 8(C) 2或8(D) 2或8解析由AIAI得|a5|3，所以a2或8，答案為C1.1.36設(shè)集合Mx|a1x2b1xc10，Nx|a2x2b2xc20，則方

22、程(a1x2b1xc1)(a2x2b2xc2)0的解集是()(A) MN(B) MN(C) N(D) M解析由(a1x2b1xc1)(a2x2b2xc2)0可得(a1x2b1xc1)0或(a2x2b2xc2)0，所以，該方程的解集是MN，答案為B1.1.37若集合M(x，y)|xy0，P(x，y)|xy2，則MP()(A) (1，1)(B) x1y1(C) 1，1(D) (1，1)解析由xy0，xy2，得x1， y1，所以，MP(1，1)，答案為D1.1.38滿足Ma1，a2，a3，a4，且Ma1，a2，a3a1，a2的集合M的個(gè)數(shù)是()(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4解析由Ma1，a

23、2，a3a1，a2知a1、a2M，a3M，a4可以在集合M也可以不在集合M中，所以，滿足要求的集合M的個(gè)數(shù)是2個(gè)答案為B1.1.39若A，B，C為三個(gè)集合，ABBC，則一定有()(A) AC(B) CA(C) AC(D) A解析任取xA，則xABBC，于是，xBC，則xC，所以，AC，答案為A1.1.40已知Ax|x7，Bx|x5，則AB；AC；ABC解析由已知得ABx|x2，ACR，ABC題1.1.411.1.41若集合Ax|2x1，Bx|axb滿足ABx|x2，ABx|1b0，全集IR，集合Mxbxab2，Nxabxa，Px|bxb0得babab2a，將集合M，N表示在數(shù)軸上可知P MIN

24、，答案為A1.1.44對(duì)于集合A，B，C，“ACBC”是“AB”的()(A) 充分不必要條件(B) 必要不充分條件(C) 充要條件(D) 既不充分也不必要條件解析若AB，則顯然有ACBC；反之，若C1，A1，2，B1，3，此時(shí)ACBC1，但AB，所以，“ACBC”是“AB”的必要不充分條件，答案為B1.1.45設(shè)全集I(x，y)|x，yR，集合M(x，y)|y3x21，N(x，y)|yx1，那么I(MN)()(A) (B) (2，3)(C) (2，3)(D) (x，y)|yx1解析集合I表示平面上所有的點(diǎn)，集合M表示直線yx1上除(2，3)外的所有點(diǎn)，集合N表示不在直線yx1上的所有點(diǎn)，所以M

25、N表示平面上除(2，3)外的所有點(diǎn)，所以，I(MN)是集合(2，3)，答案為B1.1.46若全集IR，f(x)，g(x)都是定義域?yàn)镽的函數(shù)，Px|f(x)0，Qx|g(x)0，則不等式組f(x)0，g(x)0 的解集用P，Q表示為解析由已知可得不等式g(x)0的解集是IQ，所以，不等式組的解集是PIQ1.1.47設(shè)P表示ABC所在平面上的點(diǎn)，則集合P|PAPBP|PBPC解析由已知得點(diǎn)P到ABC三頂點(diǎn)等距，所以，P|PAPBP|PBPCABC的外心1.1.48集合A(x，y)|axy1，B(x，y)|xay1，C(x，y)|x2y21，分別求使得集合(AB)C為含有兩個(gè)元素和三個(gè)元素的集合的

26、a的值解析集合A、B分別表示過(guò)定點(diǎn)(0，1)和(1，0)的兩條直線，集合C表示單位圓，且(0，1)，(1，0)C，若(AB)C含有兩個(gè)元素，則兩直線重合或同時(shí)與圓相切，可得a1或a0若(AB)C含有三個(gè)元素，即表明兩條直線與圓有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，由于兩直線或同時(shí)與圓相切，或同時(shí)與圓不相切，則必須有上述兩條直線的交點(diǎn)在圓上，兩直線的交點(diǎn)是11a，11a，則11a211a21，所以，a121.1.49若集合A是一個(gè)有限集，我們以f(A)表示該集合中元素的個(gè)數(shù)例如：f()0，f(a)1等等(1) 已知集合M(x，y)|yx2，xR，若集合N(x，y)|yb，其中b是實(shí)常數(shù)，求f(MN)的值；(2)

27、已知集合M(x，y)|yx2，xZ，若集合P(x，y)|yxp，其中p是實(shí)常數(shù)，如果存在整數(shù)k使得(k，k2)MP，求證：f(MP)2解析(1) 若b0，則f(MN)2(2) 由已知可得關(guān)于x的方程x2xp有一個(gè)根是k，則k2kp，即pk2k，于是，方程x2xp即為x2x(k1)k0，即(xk)(xk1)0，解得xk或x1k，所以，MP(k，k2)，(1k，(1k)2)，由k是整數(shù)得k1k，則f(MN)21.1.50設(shè)全集為R，Ax|x25x60，Bxx5|6或x1，由11B得|115|6，集合B(5a，5a)，此時(shí)5a6，所以，ABR，答案為D1.1.51已知Py|yx21，xR，Qy|yx

28、1，xR，則PQ()(A) (0，1)，(1，0)(B) 0，1(C) 1，2(D) y|y1解析集合P，Q分別是函數(shù)yx21，yx1的值域，于是P1，)，QR，所以PQ1，)，答案為D1.1.52設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，定義A與B的“差集”為ABx|xA，且xB，則A(AB)()題1.1.52(A) B(B) AB(C) AB(D) A解析由“差集”的定義可知集合AB如圖中陰影部分所示，所以，A(AB)AB，答案為B1.1.53已知全集UAB中有m個(gè)元素，(UA)(UB)中有n個(gè)元素，若AB非空，則AB的元素個(gè)數(shù)為()題1.1.53(A) mn(B) mn(C) nm(D) mn解析由文氏圖

29、可得AB的元素個(gè)數(shù)為mn，答案為D1.1.54設(shè)全集UN*，集合Ax|x2n，nN*，Bx|x3n，nN*，則U(AB)()(A) x|x6n，nN*(B) x|x6n1，nN*(C) x|x6n2，nN*(D) x|x6n3，nN*解析對(duì)于x2n，nN*，若n3k (kN*)，則x6k；若n3k1 (kN*)，則x6k2；若n3k2 (kN*)，則x6k4，對(duì)于x3n，若n2k (kN*)，則x6k；若n2k1 (kN*)，則x6k3，所以，U(AB) x|x6n1，nN*，答案為B1.1.55我們稱(P，Q)為“有序集合對(duì)”，其中P，Q是集合，當(dāng)PQ時(shí)，認(rèn)為(P，Q)與(Q，P)是兩個(gè)不同

30、的“有序集合對(duì)”那么，使得ABa，b成立的“有序集合對(duì)”(A，B)共有()個(gè)(A) 9(B) 4(C) 7(D) 16解析若A，則只能Ba，b；若Aa，則B可以為b或a，b；若Ab，則B可以為a或a，b；若Aa，b，則B可以是，a，b，a，b這四個(gè)集合中的某一個(gè)，所以，使得ABa，b成立的“有序集合對(duì)”(A，B)共有9個(gè)，答案為A1.1.56有限集合S中元素的個(gè)數(shù)記做card(S)設(shè)A，B都為有限集合，給出下列命題： AB的充要條件是card(AB)card(A)card(B)；題1.1.56 AB的必要條件是card(A)card(B)； AB的充分條件是card(A)card(B)； AB

31、的充要條件是card(A)card(B)，其中真命題的序號(hào)是()(A) ，(B) ，(C) ，(D) ，解析用文氏圖可知，當(dāng)AB時(shí)，必有card(AB)card(A)card(B)反之，若card(AB)card(A)card(B)，也必有AB于是，card(AB)card(A)card(B)是AB的充要條件；若AB，則card(A)card(B)；反之，當(dāng)card(A)card(B)時(shí)，未必有AB，于是，card(A)card(B)是AB的必要條件；當(dāng)card(A)card(B)時(shí)，有可能有AB，于是，card(A)card(B)是AB的既不充分，也不必要條件；card(A)card(B)是

32、AB的必要不充分條件，所以，答案為B1.1.57若非空集合A，B，C滿足ABC，且B不是A的子集，則()(A) xC是xA的充分條件但不是必要條件(B) xC是xA的必要條件但不是充分條件(C) xC是xA的充要條件(D) xC既不是xA的充分條件，也不是xA的必要條件解析若xA，則一定有xABC，于是，xC是xA的必要條件；如果xCAB時(shí)必有xA，則CA，即ABA，于是，任取yBABA，則yA，BA，矛盾，所以，xC是xA的必要條件但不是充分條件，答案為B1.1.58已知集合M2，3，m24m2，P0，7，m24m2，2m滿足MP3，7，則實(shí)數(shù)m的值是解析由已知得7M，則m24m27，解得m

33、1或m5若m1，則m24m23，2m1若m5，2m7，與集合中元素的互異性矛盾，所以，m的值是11.1.59如果全集Ua，b，c，d，e，f，Aa，b，c，d，ABa，U(AB)f，則B題1.1.59解析由表示集合U，A，B的圖形可得只有e(UA)B，所以，Ba，e題1.1.601.1.60如果全集U含有12個(gè)元素，P，Q都是U的子集，PQ中含有2個(gè)元素，UPUQ含有4個(gè)元素，UPQ含有3個(gè)元素，則P含有個(gè)元素；Q含有個(gè)元素解析由表示集合U，P，Q的圖形可得P，Q中各有5個(gè)元素1.1.61集合Ax|x5k3，kN， Bx|x7k2，kN，則AB中的最小元素是解析由已知可得集合A3，8，13，1

34、8，23，28，33， B2，9，16，23，30，所以，AB中的最小元素是23題1.1.621.1.62已知集合Ax|8x6，Bx|xm，若ABB且AB，則m的取值范圍是解析將集合A，B表示在數(shù)軸上可知m的取值范圍是8m61.1.63已知常數(shù)a是正整數(shù)，集合Ax|xa|a12，xZ， Bxx|2a，xZ，則集合AB中所有元素之和為解析由|xa|a12可得12x2a12，而xZ，于是，A0，1，2，3，2a1，2a，由|x|2a得2ax2a，又xZ，則B(2a1)，(2a2)，(2a2)，(2a1)于是，AB(2a1)，(2a2)，1，0，1，(2a2)，(2a1)，2a，其中所有元素之和為2

35、a1.1.64我們將ba稱為集合x(chóng)|axb的“長(zhǎng)度”若集合Mxmxm34，Nxn13xn，且M和N都是集合x(chóng)|0x1的子集，則集合MN的“長(zhǎng)度”的最小值是()(A) 13(B) 112(C) 23(D) 512解析集合M和N的“長(zhǎng)度”分別是34和13，又M和N都是集合x(chóng)|0x1的子集，于是，當(dāng)m14，n0時(shí)，集合MN的“長(zhǎng)度”取得最小值1314112，答案為B1.1.65已知集合Ax|x2(m2)x10，xR，且AR，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解析若A，則(m2)240，解得4m41.1.66若集合Ax|x22axa0，xR，Bx|x24xa50，xR(1) 若AB，求a的取值范圍；(2) 若A和B中

36、至少有一個(gè)是，求a的取值范圍；(3) 若A和B中有且僅有一個(gè)是，求a的取值范圍解析(1) 若A，則4a24a0，解得0a1若B，則164(a5)1，所以，使AB成立的a的取值范圍是0a1(3) 使A和B中有且僅有一個(gè)是的aA(RB)(RA)B，所以，使A和B中有且僅有一個(gè)是的a的取值范圍是10(D) 對(duì)任意的xR，x3x210解析“對(duì)任意的xR，x3x210”的否定是“存在xR，使得x3x210”，答案為C1.2.3與命題“若aM，則bM”等價(jià)的命題是()(A) 若bM，則aM(B) 若bM，則aM(C) 若bM，則aM(D) 若aM，則bM解析逆否命題與原命題互為等價(jià)命題，原命題的逆否命題為

37、“若bM，則aM”，所以，答案為C1.2.4設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可以推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命題總成立的是()(A) 若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立(B) 若f(5)25成立，則當(dāng)k5時(shí)，均有f(k)k2成立(C) 若f(7)49成立，則當(dāng)k8時(shí)，均有f(k)16得f(4)25使得f(4)42成立，由已知可得當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立，答案為D1.2.5命題“若x21，則1x1”的逆否命題是()(A) 若x21，則x1或x1(B) 若1x1，則x21或x1(D) 若x1或x1，則x21解析命題“

38、若x21，則1x0等價(jià)解析若|a|b|ab|，則(|a|b|)2|ab|2，a2b22|a|b|a2b22ab，于是，|ab|ab，可得ab0；若ab0，則a0，b0 或a0，b0等價(jià)1.2.8已知A和B都是非空集合，證明：“ABAB”與“AB”是等價(jià)的解析若ABAB，則任取xA，必有xABAB，于是，xAB，則xB，所以，AB，同理可得BA，于是，AB；若AB，則顯然有ABAB，所以，“ABAB”與“AB”是等價(jià)的1.2.9已知a，b，c是實(shí)數(shù)，則與“a，b，c互不相等”等價(jià)的是()(A) ab且bc(B) (ab)(bc)(ca)0(C) (ab)2(bc)2(ca)20(D) a2，b2

39、，c2互不相等解析由于不相等關(guān)系不具有傳遞性，當(dāng)ab且bc，a與c可能相等；由(ab)2(bc)2(ca)20可得ab，bc，ca中至少有一個(gè)不成立，即(ab)2(bc)2(ca)20等價(jià)于“a，b，c不全相等”，而不能等價(jià)于“a，b，c互不相等”；a1，b0，c1，此時(shí)a，b，c互不相等，但a2c2，所以，“a，b，c互不相等”與“a2，b2，c2互不相等”不是等價(jià)的；ab等價(jià)于ab0，“a，b，c互不相等”等價(jià)于ab0，bc0，ca0同時(shí)成立，所以，“a，b，c互不相等”與“(ab)(bc)(ca)0”等價(jià)，答案為B1.2.10命題“若ab0，則a、b中至少有一個(gè)為零”的逆否命題為 解析原

40、命題的逆否命題為“若a、b均不為零，則ab0”1.2.11給出下列四個(gè)命題： 若x2y2，則xy； 若xy，則x2y2； 若x2y2，則xy； 若xy且xy，則x2y2，其中真命題的序號(hào)是解析由x2y2可得xy或xy，命題不成立；若xy0，此時(shí)xy，而x2y2，于是，命題不成立；若x2y2時(shí)有xy，則可得x2y2，矛盾，于是，命題成立；對(duì)于xy且xy，如果x2y2，則有xy或xy，即xy與xy至少有一個(gè)成立，矛盾，于是，命題成立所以，上述四個(gè)命題中，真命題的序號(hào)是和1.2.12已知命題p：方程x2mx10有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根命題q：方程4x2 4(m2)x10沒(méi)有實(shí)根若“p或q”為真，“p且q”

41、為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解析當(dāng)命題p為真時(shí)，應(yīng)有m240，m0， 解得m2當(dāng)命題q為真時(shí)，應(yīng)有16(m2)2160，解得1m1，使“p且q”為假的m的取值范圍是m2或m3，所以，使兩者同時(shí)成立的m的取值范圍是m3或10，a21a22a230，a31a32a330可得數(shù)表中的九個(gè)數(shù)之和為正；同時(shí)，又有a11a21a310，a12a22a320，a13a23a3312，與a2b2144矛盾，所以，滿足要求的a，b不存在1.2.15中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”，“平行關(guān)系”等等，如果集合A中元素之間的一個(gè)關(guān)系“”滿足以下三個(gè)條件：(1) 自反性：對(duì)于任意aA，都有aa；(2) 對(duì)稱性：對(duì)于a，bA，若ab，則有ba；(3) 傳遞性：對(duì)于a，b，cA，若ab，bc，則有ac，則稱“”是