1、.專題 二次函數中的面積計算問題 典型例題 第10題例. 如圖，二次函數圖象與軸交于A,B兩點(A在B的左邊)，與軸交于點C，頂點為M ，為直角三角形, 圖象的對稱軸為直線，點是拋物線上位于兩點之間的一個動點，則的面積的最大值為（ C ）A B C D二次函數中面積問題常見類型：一、選擇填空中簡單應用二、不規(guī)則三角形面積運用S=三、運用四、運用相似三角形五、運用分割方法將不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形例1. 如圖1，已知：正方形ABCD邊長為1，E、F、G、H分別為各邊上的點， 且AE=BF=CG=DH, 設小正方形EFGH的面積為，AE為，則關于的函數圖象大致是圖1(D)（ B ）例2. 解答下列

2、問題：如圖1，拋物線頂點坐標為點C(1，4)，交x軸于點A(3，0)，交y軸于點B.（1）求拋物線和直線AB的解析式；（2）求CAB的鉛垂高CD及SCAB ；（3）設點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，是否存在一點P，使SPABSCAB，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.xCOyABD11圖1BC鉛垂高水平寬ha圖2A思路分析此題是二次函數中常見的面積問題，方法不唯一，可以用割補法，但有些繁瑣，如圖2我們可得出一種計算三角形面積的新方法：即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.掌握這個公式后，思路直接，過程較為簡單，計算量相對也少許多，答案:（1）由已知，可設拋物線的解析式

3、為y1a(x1)24(a0)把A(3，0)代入解析式求得a1，拋物線的解析式為y1(x1)24，即y1x 22x3設直線AB的解析式為y2kxb，由y1x 22x3求得B點的坐標為(0，3)把A(3，0)，B(0，3)代入y2kxb，解得k1，b3直線AB的解析式為y2x3 （2）C(1，4)，當x1時，y14，y22CAB的鉛垂高CD422 SCAB323(平方單位) （3）解：存在 xCOyABD11圖2P設P點的橫坐標為x，PAB的鉛垂高為h則hy1y2(x 22x3)(x3)x 23x由SPABSCAB得：3(x 23x)3整理得4x 212x90，解得x把x代入y1x 22x3，得y

4、1P點的坐標為(，) 例3. （貴州省遵義市）如圖，在平面直角坐標系中，RtAOB的頂點坐標分別為A（0，2），O（0，0），B（4，0），把AOB繞點O逆時針方向旋轉90得到COD（點A轉到點C的位置），拋物線yax 2bxc(a0)經過C、D、B三點（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點為P，求PAB的面積；-3BAxyO2-1-112345-21345（3）拋物線上是否存在點M，使MBC的面積等于PAB的面積？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由思路分析:根據題目所給信息，函數關系式和PAB的面積很容易求出。第（3）問是二次函數中常見的動點問題，由于點M是拋物線上的一個不

5、確定點，點M可以處于不同的位置，是由于點的不確定性而導致圖形的形狀發(fā)生特征上的變化，故而用分類討論的思想解決問題。答案:（1）由題意知C（2，0），D（0，4）拋物線經過B（4，0），C（2，0）可設拋物線的解析式為ya(x2)(x4)-3BAxyO2-1-112345-21345PE將D（0，4）代入上式，解得a該拋物線的解析式為y(x2)(x4)即yx 2x4（2）yx 2x4(x1)2拋物線的頂點P的坐標為（1，）過點P作PE軸于點E，如圖則SPABS四邊形PEOB SAOB SPEA(14)42(2)16（3）假設存在這樣的點M，其坐標為M（x，y）則SMBC | y |6SPAB6即

6、| y |66，y2當y2時，(x1)22，解得x； 當y2時，(x1)22，解得x存在點M，使MBC的面積等于PAB的面積，其坐標為：M1（，2），M2（，2），M3（，2），M4（，2）例4如圖，拋物線與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且x1x2，與y軸交于點C（0，4），其中x1，x2是方程x 22x80的兩個根（1）求這條拋物線的解析式；（2）點P是線段AB上的動點，過點P作PEAC，交BC于點E，連接CP，當CPE的面積最大時，求點P的坐標；BAyOPECx（3）探究：若點Q是拋物線對稱軸上的點，是否存在這樣的點Q，使QBC成為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有符合條件的

7、點Q的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）解方程x 22x80，得x12，x24A（4，0），B（2，0）拋物線與x軸交于A，B兩點，可設拋物線的解析式為ya(x2)(x4)（a0）又拋物線與y軸交于點C（0，4），a2(4)4，a拋物線的解析式為y(x2)(x4)，即yx 2x4 BAyOPECxG（2）設點P的坐標為（m，0），過點E作EGx軸于點G，如圖A（4，0），B（2，0），AB6，BPm2PEAC，BPEBAC，EGSCPESCBPSBPEBPCOBPEG(m2)(4)(m1)23 又2m4，當m1時，SCPE有最大值3此時點P的坐標為（1，0）（3）存在這樣的點Q，使QBC成為

8、等腰三角形，點Q的坐標為：Q1(1，1)，Q2(1，)，Q3(1，)，Q4(1，)，Q5(1，) BAyOCxQ1Q2Q4Q3Q5設點Q的坐標為（1，n）B（2，0），C（0，4），BC2(2)24220當QBQC時，則QB2QC2即(21)2y2(1)2(4y)2，y1Q1(1，1)當BCBQ時，則BQ2BC2即(21)2y220，yQ2(1，)，Q3(1，)當QCBC時，則QC2BC2即12(4y)220，yQ4(1，)，Q5(1，)例5如圖1，拋物線yx 22xk與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，3）（圖2、圖3為解答備用圖）（1）k_，點A的坐標為_，點B的坐標為_；（2）設拋

9、物線yx 22xk的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；（4）在拋物線yx 22xk上求點Q，使BCQ是以BC為直角邊的直角三角形yxBAOC圖2yxBAOC圖1yxBAOC圖3解：（1）3，（1，0），（3，0）；yxBAOC圖1M（2）連結OM，如圖1yx 22xk(x1)24拋物線的頂點M的坐標為（1，4）S四邊形ABMC SAOC SCOM SMOB1331349 yxBAOC圖2D說明：也可過點M作拋物線的對稱軸，將四邊形ABMC的面積轉化為求一個梯形與兩個直角三角形面

10、積的和（3）設D（m，m 22m3），連結OD，如圖2則0m3，m 22m30S四邊形ABDC SAOC SCOD SDOB133m3(m 22m3)m 2m6yxBAOC圖3Q1E(m)2 當m時，四邊形ABDC的面積最大此時m 22m3()223存在點D（，），使四邊形ABDC的面積最大 （4）有兩種情況：如圖3，過點B作BQ1BC，交拋物線于點Q1、交軸于點E，連接Q1C在RtCOB中，OBOC3，CBO45，EBO45，OBOE3點E的坐標為（0，3）直線BE的解析式為yx3令x3x 22x3，解得，yxBAOC圖4FQ2點Q1的坐標為（2，5）如圖4，過點C作CFCB，交拋物線于點Q

11、2、交x軸于點F，連接BQ2CBO45，CFB45，OFOC3點F的坐標為（3，0）直線CF的解析式為yx3令x3x 22x3，解得，點Q2的坐標為（1，4）綜上所述，在拋物線yx 22x3上，使BCQ是以BC為直角邊的直角三角形的點Q有兩個，分別是：Q1（2，5）和Q2（1，4）精選練習1.如圖，AB為半圓的直徑，點P為AB上一動點，動點P從點A出發(fā)，沿AB勻速運動到點B，運動時間為t，分別以AP于PB為直徑做半圓，則圖中陰影部分的面積S與時間t之間的函數圖像大致為（ ）ABCNOMPxy（第2題圖）2如圖，已知A、B是反比例函數（k0，x0）圖象上的兩點，BCx軸，交y軸于點C。動點P從坐

12、標原點O出發(fā)，沿OABC（圖中“”所示路線）勻速運動，終點為C。過P作PMx軸，PNy軸，垂足分別為M、N。設四邊形OMPN的面積為S，P點運動時間為t，則S關于t的函數圖象大致為ABOtSOtSOtSOtSCD3. 如圖，四邊形ABCD中，BAD=ACB=90，AB=AD，AC=4BC，設CD的長為x，四邊形ABCD的面積為y，則y與x之間的函數關系式是 (第3題)ABCD4.如圖，兩條拋物線y1=-2+1、y2=2-1 與分別經過點（-2，0），（2，0）且平行于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為 5如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為(2，0)，連結OA，將線段OA繞原點O順時針旋轉1

13、20，得到線段OB（1）求點B的坐標；（2）求經過A、O、B三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使BOC的周長最?。咳舸嬖?，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由（4）如果點P是（2）中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及PAB的最大面積；若沒有，請說明理由AxyBO6.如圖，拋物線yx 2bxc與x軸交于A(1，0)，B(3，0)兩點（1）求該拋物線的解析式；（2）設（1）中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得QAC的周長最??？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在（1）中

14、的拋物線上的第二象限內是否存在一點P，使PBC的面積最大？，若存在，求出點P的坐標及PBC的面積最大值；若不存在，請說明理由OBACyx7如圖，已知拋物線yax 2bx4與直線yx交于點A、B兩點，A、B的橫坐標分別為1和4（1）求此拋物線的解析式（2）若平行于y軸的直線xm（0m1）與拋物線交于點M，與直線yx交于點N，交x軸于點P，求線段MN的長（用含m的代數式表示）ABMPONxyxmyx（3）在（2）的條件下，連接OM、BM，是否存在m的值，使得BOM的面積S最大？若存在，請求出m的值，若不存在，請說明理由8已知二次函數yx 2axa2（1）求證：不論a為何實數，此函數圖象與x軸總有兩

15、個交點；（2）設a 0，當此函數圖象與x軸的兩個交點的距離為時，求出此二次函數的解析式；（3）若此二次函數圖象與x軸交于A、B兩點，在函數圖象上是否存在點P，使得PAB的面積為？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由9已知：t1，t2是方程t 22t240，的兩個實數根，且t1t2，拋物線yx 2bxc的圖象經過點A（t1，0），B（0，t2）（1）求這個拋物線的解析式；（2）設點P（x，y）是拋物線上一動點，且位于第三象限，四邊形OPAQ是以OA為對角線的平行四邊形，求OPAQ的面積S與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；BAOQPxy（3）在（2）的條件下，當OPAQ的面積為24

16、時，是否存在這樣的點P，使OPAQ為正方形？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由10如圖，已知拋物線yax 2bxc與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C其中點A在x軸的負半軸上，點C在y軸的負半軸上，線段OA、OC的長（OAOC）是方程x 25x40的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x1（1）求A、B、C三點的坐標；（2）求此拋物線的解析式；yxBDOAEC（3）若點D是線段AB上的一個動點（與點A、B不重合），過點D作DEBC交AC于點E，連結CD，設BD的長為m，CDE的面積為S，求S與m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時D點坐標；若不存

17、在，請說明理由11如圖，在梯形ABCD中，DCAB，A90，AD6厘米，DC4厘米，BC的坡度i3 : 4動點P從A出發(fā)以2厘米/秒的速度沿AB方向向點B運動，動點Q從點B出發(fā)以3厘米/秒的速度沿BCD方向向點D運動，兩個動點同時出發(fā)，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止設動點運動的時間為t秒（1）求邊BC的長；（2）當t為何值時，PC與BQ相互平分；（3）連結PQ ，設PBQ的面積為y，探求y與t的函數關系式，CcDcAcBcQcPc求t為何值時，y有最大值？最大值是多少？12如圖，已知拋物線yax 2bx3（a0）與x軸交于點A(1，0)和點B(3，0)，與y軸交于點C（1）求拋

18、物線的解析式；（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；OCABxyM（圖）OCABxy（圖）（3）如圖，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標13如圖，已知拋物線ya(x1)2(a0)經過點A(2，0)，拋物線的頂點為D，過O作射線OMAD過頂點D平行于軸的直線交射線OM于點C，B在軸正半軸上，連結BC（1）求該拋物線的解析式；（2）若動點P從點O出發(fā)，以每秒1個長度單位的速度沿射線OM運動，設點P運動的時間為t（s）問：當t

19、為何值時，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OCOB，動點P和動點Q分別從點O和點B同時出發(fā)，分別以每秒1個長度單位和2個長度單位的速度沿OC和BO運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動設它們的運動的時間為t（s），連接PQ，當t為何值時，四邊形BCPQ的面積最??？并求出最小值及此時PQ的長DCMyOABQPx14如圖，OAB是邊長為2的等邊三角形，過點A的直線yxm與x軸交于點E（1）求點E的坐標；（2）求過A、O、E三點的拋物線解析式；yxBAOE（3）若點P是（2）中求出的拋物線AE段上一動點（不與A、E重合），設四邊形OAPE的面積為S，求S的最大

20、值15已知二次函數的圖象經過A（2，0）、C(0，12) 兩點，且對稱軸為直線x=4. 設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B.（1）求二次函數的解析式及頂點P的坐標；（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O 運動，過點M作直線MNx軸，交PB于點N. 將PMN沿直線MN對折，得到P1MN. 在動點M的運動過程中，設P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒. 求S關于t的函數關系式. OPCBAxy圖1圖2

21、MOAxPNCBy二次函數中的面積計算問題參考答案1.D 2.A 3. 4. 85.解：（1）如圖1，過點B作BMx軸于M由旋轉性質知OBOA2AOB120，BOM60AxyBO圖1MOMOBcos6021，BMOBsin602點B的坐標為(1，) （2）設經過A、O、B三點的拋物線的解析式為yax 2bxc拋物線過原點，c0 解得所求拋物線的解析式為yx 2x （3）存在 如圖2，連接AB，交拋物線的對稱軸于點C，連接OCOB的長為定值，要使BOC的周長最小，必須BCOC的長最小點A與點O關于拋物線的對稱軸對稱，OCACBCOCBCACAB由“兩點之間，線段最短”的原理可知：此時BCOC最小

22、，點C的位置即為所求設直線AB的解析式為ykxm，將A(2，0)，B(1，)代入，得AxyBO圖2C 解得直線AB的解析式為yx拋物線的對稱軸為直線x1，即x1將x1代入直線AB的解析式，得y(1)點C的坐標為(1，) （4）PAB有最大面積 AxyBO圖3DP如圖3，過點P作y軸的平行線交AB于點DSPAB SPADSPBD(yDyP)(xBxA)(x)(x 2x)(12)x 2x(x)2當x時，PAB的面積有最大值，最大值為 此時yP()2()此時P點的坐標為(，)6.解：（1）將A(1，0)，B(3，0)代入yx 2bxc得 解得 該拋物線的解析式為yx 22x3（2）存在該拋物線的對稱

23、軸為x1拋物線交x軸于A、B兩點，A、B兩點關于拋物線的對稱軸x1對稱由軸對稱的性質可知，直線BC與x1的交點即為所求的Q點，此時QAC的周長最小，如圖1OBACyxQ圖1將x0代入yx 22x3，得y3點C的坐標為(0，3)設直線BC的解析式為ykxb1，將B(3，0)，C(0，3)代入，得 解得直線BC的解析式為yx3 聯立 解得點Q的坐標為(1，2) （3）存在 設P點的坐標為（x，x 22x3）（3x0），如圖2SPBC S四邊形PBOC SBOC S四邊形PBOC 33S四邊形PBOC 當S四邊形PBOC有最大值時，SPBC就最大S四邊形PBOC SRtPBES直角梯形PEOC OB

24、ACyxQ圖2EPBEPE(PEOC)OE(x3)(x 22x3)(x 22x33)(x)(x)2當x時，S四邊形PBOC最大值為SPBC最大值 當x時，x 22x3()22()3點P的坐標為(，)7.解：（1）由題意知A（1，1），B（4，4），代入yax 2bx4，得ACBMPONxyxmyx 解得所求拋物線的解析式為yx 22x43分由xm和yx，得交點N（m，m）同理可得M（m，m 22m4），P（m，0）PN| m|，MP| m 22m4|0m1MNMPPNmm 22m4m 23m4（3）過B作BCMN于C則BC4m，OPm S SMON SBMN MNOPMNBCMN(OPBC)2

25、(m 23m4)2(m)2 20當m時，S有最大值8.解： （1）a 24(a2)(a2)240不論a為何實數，此函數圖象與x軸總有兩個交點（2）設x1、x2是yx 2axa20的兩個根則x1x2a，x1x2a2此函數圖象與x軸的兩個交點的距離為，(x1x2)213即(x1x2)24x1x213(a)24(a2)13，整理得(a1)(a5)0，解得a1或a5a 0，a1此二次函數的解析式為yx 2x3（3）設點P的坐標為（xp，yp）函數圖象與x軸的兩個交點的距離為，ABSPABAB|yp|，即|yp|yp|3，yp3當yp3時，xp2xp33，解得xp2或xp3；當yp3時，xp2xp33，

26、解得xp0或xp1綜上所述，在函數圖象上存在點P，使得PAB的面積為，P點坐標為：P1（2，3），P2（3，3），P3（0，3）或P4（1，3）9.解：（1）由t 22t240，解得t16，t24 t1t2，A（6，0），B（0，4）拋物線yx 2bxc的圖象經過點A，B兩點 解得這個拋物線的解析式為yx 2x4（2）點P（x，y）在拋物線上，且位于第三象限，y0，即y0又S2SAPO2| OA| y | OA| y |6| y |S6y分6(x 2x4)4(x 27x6)4(x)225令y0，則x 2x40，解得x16，x21拋物線與x軸的交點坐標為（6，0）、（1，0）x的取值范圍為6x1

27、（3）當S24時，得4(x)22524，解得：x14，x23 代入拋物線的解析式得：y1y24點P的坐標為（3，4）、（4，4）當點P為（3，4）時，滿足POPA，此時，OPAQ是菱形當點P為（4，4）時，不滿足POPA，此時，OPAQ不是菱形要使OPAQ為正方形，那么，一定有OAPQ，OAPQ，此時，點的坐標為（3，3），而（3，3）不在拋物線yx 2x4上，故不存在這樣的點P，使OPAQ為正方形10解：（1）OA、OC的長是方程x 25x40的兩個根，OAOCOA1，OC4點A在x軸的負半軸，點C在y軸的負半軸A（1，0），C（0，4）拋物線yax 2bxc的對稱軸為x1由對稱性可得B點坐

28、標為（3，0）A、B、C三點的坐標分別是：A（1，0），B（3，0），C（0，4）（2）點C（0，4）在拋物線yax 2bxc圖象上，c4 將A（1，0），B（3，0）代入yax 2bx4得yxBDOAECF 解得此拋物線的解析式為yx 2x4 （3）BDm，AD4m在RtBOC中，BC 2OB 2OC 23 24 225，BC5DEBC，ADEABC，即DE過點E作EFAB于點F，則sinEDFsinCBA，EFDE4m S SCDE SADC SADE(4m)4(4m)(4m)m 22m(m2)22（0m4）0當m2時，S有最大值2此時ODOBBD321此時D點坐標為（1，0）11.解：（

29、1）如圖1，過C作CEAB于點E，則四邊形AECD為矩形CcDcAcBcQcPc圖1EcFcAECD4，CEDA6 又i3 : 4，EB8，AB12在RtCEB中，由勾股定理得：BC10（2）假設PC與BQ相互平分DCAB，四邊形PBCQ是平行四邊形（此時Q在CD），如圖2CQBP，即3t10122t 解得t，即t秒時，PC與BQ相互平分 CcDcAcBcQcPc圖2（3）當Q在BC上，即0 t 時如圖1，過Q作QFAB于點F，則CEQF，即，QF SPBQ PBQF(122t)t 2t即yt 2tyt 2t(t3)2當t3秒時，y有最大值為厘米2當Q在CD上，即 t 時SPBQ PBCE(1

30、22t)6366t即y366t此時y隨t的增大而減小故當t秒時，y有最大值為36616厘米2綜合，得y與t的函數關系式如下：（ t ）（0 t ）y16，當t3秒時，y有最大值為厘米2 12解：（1）由題意得 解得所求拋物線的解析式為yx 22x3； EFOCABxy（2）存在符合條件的點P，其坐標為P(1，)或P(1，)或P(1，6)或P(1，)； （3）解法一：過點E作EFx軸于點F，設E(m，m 22m3)（3 a 0）則EFm 22m3，BFm3，OFm S四邊形BOCE SBEF S梯形FOCEBFEF (EFOC)OF(m3)(m 22m3)(m 22m6)(m)9分m 2m(m)

31、2當m時，S四邊形BOCE 最大，且最大值為此時y()22()3此時E點的坐標為(，) 解法二：過點E作EFx軸于點F，設E(x，y)（3 x 0）則S四邊形BOCE SBEF S梯形FOCEBFEF (EFOC)OF(3x) y(3y)(x)(yx)(x 23x3)(x)2當x時，S四邊形BOCE 最大，且最大值為此時y()22()3此時E點的坐標為(，)13解：（1）把A(2，0)代入ya(x1)2，得0a(21)2a該拋物線的解析式為y(x1)2即yx 2x （2）設點D的坐標為(xD，yD)，由于D為拋物線的頂點xD1，yD1 21點D的坐標為(1，)如圖，過點D作DNx軸于N，則DN，AN3，AD6DAO60OMADDCMyOABQFNEPx當ADOP時，四邊形