1、2016屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示知識能否憶起一、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解3平面向量的坐標(biāo)表示(1)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底對于平面內(nèi)的一個向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y，使ax iyj，把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a(x，y)，其中

2、x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)(2)設(shè)xiyj，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)，即若(x，y)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，反之亦成立(O是坐標(biāo)原點(diǎn))二、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算1向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)2向量坐標(biāo)的求法(1)若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.三、平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.若abx1y2x2y10.小題能否全取1(2

3、012廣東高考)若向量(1,2)，(3,4)，則()A(4,6)B(4，6)C(2，2) D(2,2)解析：選A，(1,2)(3,4)(4,6)2已知向量a(2,1)，b(x，2)，若ab，則ab等于()A(2，1) B(2,1)C(3，1) D(3,1)解析：選A由ab可得2(2)1x0，故x4，所以ab(2，1)3(教材習(xí)題改編)已知兩點(diǎn)A(4,1)，B(7，3)，則與同向的單位向量是()A. B.C. D.解析：選AA(4,1)，B(7，3)，(3，4)，與同向的單位向量為.4在平行四邊形ABCD中，若(1,3)，(2,5)，則_，_.解析：(2,5)(1,3)(1,2)，(1,2)(1

4、,3)(0，1)答案：(1,2)(0，1)5梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分別是CD，AB的中點(diǎn)，設(shè)a，b.若manb，則_.解析：abaab，m，n1.4.答案：41.基底的不唯一性只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量a都可被這個平面的一組基底e1，e2線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的2向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向的信息也有大小的信息平面向量基本定理及其應(yīng)用典題導(dǎo)入例1(2012蘇北四市聯(lián)考)如圖，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)

5、O，設(shè)a，b，若2，則_(用向量a和b表示)自主解答2，DOCBOA，且，()ab.答案ab由題悟法用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，再用該基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算以題試法1(2012南寧模擬)在ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，則的值為()A.B.C. D1解析：選A設(shè)mm()(0m1)，則(1m) m，所以.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算典題導(dǎo)入例2(1)(2012西城期末)已知向量a(，1)，b(0，2)若實(shí)數(shù)k與向量c滿足a2bkc，則c可以是()A(，1)B(1，)C(，1)

6、D(1, )(2)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c.求3ab3c；求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n.自主解答(1)a(，1)，b(0，2)，a2b(，3)(1，)(2)由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)mbnc(6mn，3m8n)，解得答案(1)D本例中第(2)題增加條件3c，2b，求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)解：3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)由題悟法1向量的坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算代數(shù)化

7、，將數(shù)與形結(jié)合起來，從而可使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算2兩個向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相同此時注意方程(組)思想的應(yīng)用注意向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)不同：向量平移后，其起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)都發(fā)生變化，但向量的坐標(biāo)不變以題試法2(2012淮安模擬)已知向量a(6,4)，b(0,2)，ab，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)C在函數(shù)ysin的圖象上，則實(shí)數(shù)的值為_解析：由題意得(6,4)(0,2)(6,42)，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,42)，根據(jù)條件得42sin1，解得.答案：平面向量共線的坐標(biāo)表示典題導(dǎo)入例3(2011廣東高考)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實(shí)數(shù)，(ab)c，則()A.B.C1 D2自主

8、解答可得ab(1，2)，由(ab)c得(1)4320，所以.答案B在本例條件下，問是否存在非零常數(shù)，使ab和ac平行？若平行， 是同向還是反向？解：ab(1，2)，ac(13，24)，若(ab)(ac)，(1)(24)2(13)0.1.ab(2,2)與ac(2，2)反向即存在1使ab與ac平行且反向由題悟法ab的充要條件有兩種表達(dá)方式(1)ab(b0)ab(R)；(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10.兩種充要條件的表達(dá)形式不同第(1)種是用線性關(guān)系的形式表示的，而且有前提條件b0，而第(2)種無b0限制以題試法3(1)(2012北京東城區(qū)綜合練習(xí))已知向量a(2

9、,3)，b(1,2)，若manb與a2b共線，則()A2 B2C D.解析：選C由向量a(2,3)，b(1,2)得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)，因?yàn)閙anb與a2b共線，所以(2mn)(1)(3m2n)40，整理得.(2)(2012嘉興模擬)已知a，b是不共線的向量，ab，ab，R，那么A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件為()A2 B1C1 D1解析：選DA，B，C三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)t，滿足t，即abtatb，又a，b是不共線的向量，即1.1在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若(4,3)，(1,5)，則等于()A(2,7)B(6,21)C(2，7) D(6，21)解

10、析：選B33(2)63(6,30)(12,9)(6,21)2已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，則2a3b()A(2，4) B(3，6)C(4，8) D(5，10)解析：選C由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)m4，從而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)3.(2013昆明模擬)如圖所示，向量a，b，c，A，B，C在一條直線上，且3，則()AcabBcabCca2bDca2b解析：選A3，3()，即cab.4已知點(diǎn)A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0)給出下面的結(jié)論：直線OC與直線BA平行；2.其中正確的結(jié)論的個數(shù)是()A1

11、B2C3 D4解析：選C(2,1)，(2，1)，又A，B，C，O不共線，OCAB.正確；，錯誤；(0,2)，正確；2(4,0)，(4,0)，正確5(2012鄭州模擬)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個向量a(1,2)，b(m,3m2)，且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一的表示成cab(、為實(shí)數(shù))，則m的取值范圍是()A(，2) B(2，)C(，) D(，2)(2，)解析：選D由題意知向量a，b不共線，故m，解得m2.6在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F.若a，b，則()A.ab B.abC.ab D.ab解析：選B由已知得DEEB，又DEFBEA，D

12、FAB.即DFDC.CFCD.()ba.abaab.7(2012洛陽質(zhì)檢)已知向量a，b(x,1)，其中x0，若(a2b)(2ab)，則x_.解析：a2b，2ab(16x，x1)，由題意得(82x)(x1)(16x)，整理得x216，又x0，所以x4.答案：48(2013九江模擬)Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是兩個向量集合，則PQ等于_解析：P中，a(1m,12m)，Q中，b(12n，23n)則得此時ab(13，23)答案：9已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是_解析：若點(diǎn)A，B，C能

13、構(gòu)成三角形，則向量，不共線(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.答案：k110已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a，b的關(guān)系式；(2)若2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)解：(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三點(diǎn)共線，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，3)11已知a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a3b|；(2)當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時，kab與a3b平行，平行時它們是同向還是反向？解：(1)因?yàn)閍(1,0)，b(2,1)，所以a3b(7,3

14、)，故|a3b|.(2)kab(k2，1)，a3b(7,3)，因?yàn)閗ab與a3b平行，所以3(k2)70，即k.此時kab(k2，1)，a3b(7,3)，則a3b3(kab)，即此時向量a3b與kab方向相反12已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t11時，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)都共線解：(1) t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時，有故所求的充要條件為t20且t12t20.(2)當(dāng)t11時，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4

15、)t2，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)共線1.如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點(diǎn)，N是線段OD的中點(diǎn)，AN的延長線與CD交于點(diǎn)E，則下列說法錯誤的是()ABC D解析：選D由向量減法的三角形法則知，排除B；由向量加法的平行四邊形法則知，排除A、C.2(2012山西四校聯(lián)考)在ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C、D不重合)，若x(1x) ，則x的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選D依題意，設(shè)，其中1，則有()(1) .又x(1x) ，且，不共線，于是有x1，即x的取值范圍是.3(2012東營模擬)已知P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且3450.延

16、長AP交BC于點(diǎn)D，若a，b，用a，b表示向量，.解：a，b，又3450，34(a)5(b)0，化簡，得ab.設(shè)t (tR)，則t at b又設(shè)k (kR)，由ba，得k(ba)而a，ak(ba)(1k)akb.由，得解得t.代入，有ab.1已知向量a(，1)，b(sin m，cos )，且ab，則實(shí)數(shù)m的最小值為()A2 B1C D3解析：選Aab，cos sin m0.msin cos 2sin2.2若，是一組基底，向量xy(x，yR)，則稱(x，y)為向量在基底，下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐標(biāo)為(2,2)，則a在另一組基底m(1,1)，n(1,2)下的坐標(biāo)為()A(2,0) B(0，2)C(2,0) D(0,2)解析：選Da在基底p，q下的坐標(biāo)為(2