1、2016年高考真題解答題專項訓(xùn)練：立體幾何（理科）教師版 1在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線.（）已知G,H分別為EC，F(xiàn)B的中點，求證：GH平面ABC；（）已知EF=FB=AC=，AB=BC求二面角的余弦值.【來源】2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（山東卷精編版）試題解析：（）證明：設(shè)的中點為,連接,在,因為是的中點，所以又所以在中，因為是的中點，所以，又,所以平面平面，因為平面，所以平面.（）解法一：連接,則平面，又且是圓的直徑，所以以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意得，過點作于點，所以可得故.設(shè)是平面的

2、法向量. 由可得可得平面的一個法向量因為平面的一個法向量所以.所以二面角的余弦值為.解法二：連接，過點作于點，則有,又平面，所以FM平面ABC,可得過點作于點，連接，可得,從而為二面角的平面角.又,是圓的直徑，所以從而，可得所以二面角的余弦值為.2如圖，在四棱錐PABCD中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=ADE為邊AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90. （）在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線CM平面PBE，并說明理由；（）若二面角PCDA的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.【來源】2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（四川卷精編版）試題解析：（）在

3、梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長AB，DC，相交于點M（M平面PAB），點M即為所求的一個點.理由如下：由已知，BCED，且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形. 從而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.（說明：延長AP至點N，使得AP=PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點）（）方法一：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD.從而CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45.設(shè)BC=1，則在RtPAD中，PA=AD=2.過點A作AHCE，交CE的延長線于點H，連接PH.易知PA平面ABCD，從而PACE.于

4、是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.過A作AQPH于Q，則AQ平面PCE. 所以APH是PA與平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH=45，AE=1，所以AH=.在RtPAH中，PH= ，所以sinAPH= =.方法二：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD.于是CDPD.從而PDA是二面角P-CD-A的平面角. 所以PDA=45.由PAAB，可得PA平面ABCD.設(shè)BC=1，則在RtPAD中，PA=AD=2.作AyAD，以A為原點，以 ,的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,

5、0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）.設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z)，由 得 設(shè)x=2，解得n=(2,-2,1).設(shè)直線PA與平面PCE所成角為，則sin=.所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.3本題共有2個小題，第一小題滿分6分，第二小題滿分6分.將邊長為1的正方形（及其內(nèi)部）繞的旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側(cè).（1）求三棱錐的體積；（2）求異面直線與所成的角的大小.【來源】2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（上海卷精編版）試題解析：（1）由題意可知，圓柱的高，底面半徑由的長為，可知，（2）設(shè)過

6、點的母線與下底面交于點，則，所以或其補角為直線與所成的角由長為，可知，又，所以，從而為等邊三角形，得因為平面，所以在中，因為，所以，從而直線與所成的角的大小為4如圖,在三棱臺中,平面平面,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.（）求證：BF平面ACFD；（）求二面角BADF的平面角的余弦值.【來源】2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（浙江卷精編版）試題解析：（）延長， ， 相交于一點，如圖所示因為平面平面，且，所以平面，因此又因為， ， ，所以為等邊三角形，且為的中點，則所以平面（）方法一：過點作于Q，連結(jié)因為平面，所以，則平面，所以所以是二面角的平面角在中， ， ，得在中，

7、， ，得所以二面角的平面角的余弦值為方法二：如圖，延長， ， 相交于一點，則為等邊三角形取的中點，則，又平面平面，所以， 平面以點為原點，分別以射線， 的方向為， 的正方向，建立空間直角坐標系由題意得， ， ， ， ， 因此， ， ， 設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為由，得，??；由，得，取于是， 所以，二面角的平面角的余弦值為5如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且， .求證：（1）直線DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F.【來源】2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試數(shù)學（江蘇卷精編版）試題解析：證明：（1）在直三棱柱中，

8、 在三角形ABC中，因為D，E分別為AB，BC的中點，所以，于是，又因為DE平面平面，所以直線DE/平面.（2）在直三棱柱中， 因為平面，所以，又因為，所以平面.因為平面，所以.又因為，所以.因為直線，所以 【考點】直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系6如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2.（）求證：EG平面ADF；（）求二面角OEFC的正弦值；（）設(shè)H為線段AF上的點，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.【來源】2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（天津卷精編版）試題解析：依題意，

9、，如圖，以為點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，依題意可得， .（）證明：依題意， .設(shè)為平面的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得，又，可得，又因為直線，所以.（）解：易證， 為平面的一個法向量.依題意， .設(shè)為平面的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值為.（）解：由，得.因為，所以，進而有，從而，因此.所以，直線和平面所成角的正弦值為.視頻7如圖,在四棱錐P-ABCD中, 平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.（1）求證:PD平面PAB；（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上

10、是否存在點M,使得BM平面PCD？若存在, 求AMAP的值；若不存在, 說明理由.【來源】2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（北京卷精編版）試題解析：（）因為平面平面，所以平面.所以.又因為，所以平面.（）取的中點，連結(jié).因為，所以.又因為平面，平面平面，所以平面.因為平面，所以.因為，所以.如圖建立空間直角坐標系.由題意得，.設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z)，則nPD=0,nPC=0,即令，則.所以n=(1,-2,2).又，所以cosn,PB=nPB|n|PB|=-33.所以直線與平面所成角的正弦值為.（）設(shè)是棱上一點，則存在使得.因此點.因為平面，所以平面當且僅當BMn=0，

11、即，解得.所以在棱上存在點使得平面，此時.8如圖，四棱錐PABC中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.（）證明MN平面PAB;（）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.【來源】2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（新課標3卷精編版）試題解析：（）由已知得.取的中點，連接，由為中點知，.又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面.（）取的中點，連結(jié).由得，從而，且.以為坐標原點， 的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.由題意知， ， .設(shè)為平面的一個法向量，則即可取.于是.9如圖

12、,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,AB=5,AC=6,點E,F分別在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于點H.將DEF沿EF折到DEF的位置,OD=.（）證明:DH平面ABCD （）求二面角B-DA-C的正弦值.【來源】2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（新課標2卷精編版）試題解析：（）由已知得， ，又由得，故.因此，從而.由, 得.由得.所以， .于是，故.又，而，所以.（）如圖，以為坐標原點， 的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，則， ， ， ， ， ， .設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可取.于是， .因此二面角的正弦值是.10如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD， ，且二面角DAFE與二面角CBEF都是（）證明：平面ABEF平面EFDC；（）求二面角EBCA的余弦值【來源】2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（新課標1卷精編版）試題解析：（