1、24.1.4圓周角,西山民族中學 楊紅海,一. 復習引入:,1.圓心角的定義?,在同圓（或等圓）中，如果圓心角、弧、弦有一組量相等，那么它們所對應的其余兩個量都分別相等。,答:頂點在圓心的角叫圓心角,2.上節(jié)課我們學習了一個反映圓心角、弧、弦三個量之間關系的一個結(jié)論，這個結(jié)論是什么？,當球員在B,D,E處射門時,他所處的位置對球門AC分別形成三個張角ABC,ADC,AEC.,問：這三個角具有什么特征？,這三個角的大小又有什么關系呢？,生活實踐,頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角,什么叫做圓周角？,A,B,C,O,一、概念,圓心角與圓周角的定義比較,頂點在圓心的角叫圓心角。,頂點在圓上，并且兩邊

2、都和圓相交的角叫做圓周角,辯一辯 圖中的CDE是圓周角嗎?,練習一：判斷下列各圖中，哪些是圓周角，為什么？,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,o,A,B,C,C,C,C,C,C,C,C,圖1,圖2,圖3,圖4,圖5,圖6,圖7,圖8,圖9,如圖是一個圓柱形的海洋館的橫截面的示意圖,人們可以通過其中的圓弧形玻璃AB 觀看窗內(nèi)的海洋動物,同學甲站在圓心的O 位置，同學乙站在正對著玻璃窗的靠墻的位置C，他們的視角（AOB 和ACB）有什么關系？如果同學丙、丁分別站在他靠墻的位置D和E，他們的視角（ ADB 和AEB ）和同學乙的視角相同嗎？,二、觀察

3、,它們之間有什么關系呢？,類比圓心角探知圓周角,在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓心角相等.,在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角有什么關系？,為了解決這個問題,我們先探究同弧所對的圓周角和圓心角之間有的關系.,你會畫同弧所對的圓周角和圓心角嗎?,圓周角和圓心角的關系,教師提示:注意圓心與圓周角的位置關系.,（1） 折痕是圓周角的一條邊，,（2） 折痕在圓周角的內(nèi)部，,（3） 折痕在圓周角的外部,如圖,觀察圓周角ABC與圓心角AOC,它們的大小有什么關系?,說說你的想法,并與同伴交流.,B,C,D,A,B,O,同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半

4、,三、,分別量一下圖中 所對的兩個圓周角的度數(shù)，比較一下，再變動點C在圓周上的位置，圓周角的度數(shù)有沒有變化？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？ 再分別量出圖中 所對的圓周角和圓心角的度數(shù)，比較一下，你什么發(fā)現(xiàn)？,圓周角.gsp,1.如圖，點A、B、C、D在同一個圓上，四邊形ABCD的對角線把4個內(nèi)角分成8個角，這些角中哪些是相等的角？,A,B,C,D,1,2,3,4,5,6,7,8,1 = 4,5 = 8,2 = 7,3 = 6,練 習,1.首先考慮一種特殊情況： 當圓心(O)在圓周角(ABC)的一邊(BC)上時,圓周角ABC與圓心角AOC的大小關系.,AOC是ABO的外角，,AOC=B+A.,OA=OB，

5、,A=B.,AOC=2B.,即 ABC = AOC.,你能寫出這個命題嗎?,同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.,老師期望:你可要理解并掌握這個模型.,四、同弧所對圓周角與圓心角的關系,如果圓心不在圓周角的一邊上,結(jié)果會怎樣? 2.當圓心(O)在圓周角(ABC)的內(nèi)部時,圓周角ABC與圓心角AOC的大小關系會怎樣?,老師提示:能否轉(zhuǎn)化為1的情況?,過點B作直徑BD.由1可得:, ABC = AOC.,你能寫出這個命題嗎?,同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.,ABD = AOD,CBD = COD,四、同弧所對圓周角與圓心角的關系,如果圓心不在圓周角的一邊上,結(jié)果會怎樣? 3.當圓

6、心(O)在圓周角(ABC)的外部時,圓周角ABC與圓心角AOC的大小關系會怎樣?,老師提示:能否也轉(zhuǎn)化為1的情況?,過點B作直徑BD.由1可得:, ABC = AOC.,你能寫出這個命題嗎?,同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.,ABD = AOD,CBD = COD,四、同弧所對圓周角與圓心角 的關系,綜上所述,圓周角ABC與圓心角AOC的大小關系是:,同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.,即 ABC = AOC.,如圖所示，ADB、ACB、AOB,分別是什么角？,它們,有何共同點？,ADB與ACB有什么關系？,同弧 所對的圓周角相等.,(等弧),思考: 相等的圓周角所對的弧相等

7、嗎?,在同圓或等圓中,都等于這條弧所對的圓心角的一半.,圓周角定理:,A,B,C,D,在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等.,則 D=A,ABCD,1.如圖,在O中,BOC=50,求A的大小.,解: A = BOC = 25.,如圖,AB是直徑,則ACB=,90 度,半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，,90度的圓周角所對的弦是直徑。,A,B,C1,O,C2,C3,五、定理,2.如圖，你能設法確定一個圓形紙片的圓心嗎？你有多少種方法？與同學交流一下,D,O,O,O,方法一,方法二,方法三,方法四,A,B,練 習,在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對弧一定相等嗎？為什么？,在同圓或等圓

8、中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等,六、,例 如圖，O直徑AB為10cm，弦AC為6cm，ACB的平分線交O于D，求BC、AD、BD的長,又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，,解：AB是直徑，, ACB= ADB=90,在RtABC中，,CD平分ACB，,AD=BD.,七、例題,3.求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形（提示：作出以這條邊為直徑的圓.）,A,B,C,O,求證： ABC 為直角三角形.,證明：,CO= AB,以AB為直徑作O，,AO=BO，,AO=BO=CO.,點C在O上.,又AB為直徑,ACB= 180= 90., ABC 為直

9、角三角形.,練 習,練習:如圖 AB是O的直徑, C ,D是圓上的兩點,若ABD=40,則BCD=.,40,3、AB、AC為O的兩條弦，延長CA到D，使 AD=AB，如果ADB=35 ， 求BOC的度數(shù)。,BOC =140,350,700,能力提升,1、在O中，CBD=30 ,BDC=20,求A,1、在O中，CBD=30 ,BDC=20,求A,能力提升,2、如圖，在O中，AB為直徑，CB = CF, 弦CGAB，交AB于D，交BF于E 求證：BE=EC,能力提升,4、在O中，一條弧所對的圓心角和圓周角分別為(2x+100)和(5x-30)，則x=_ _；,3. 如圖，在直徑為AB的半圓中，O為圓心，C、D 為半圓上的兩點，COD=50，則 CAD=_；,20,25,練習：,如圖，圓心角AOB=1