1、一、證明或判斷數(shù)列為等差數(shù)列的方法1. 定義法 在數(shù)列中，若（為常數(shù)），則數(shù)列為等差數(shù)列例：已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足（） 證明：數(shù)列是等差數(shù)列 證明：由得 整理得 則 兩式相減得 因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，所以 所以，即 所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列 2.等差中項(xiàng)法 是等差數(shù)列 例：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且 其中A、B為常數(shù) （1）求A與B的值 （2）證明數(shù)列是等差數(shù)列 解：（1）因?yàn)?，所?把，分別代入 得 解得：， （2）由（1）知 整理得 即 又 -得 即 又 -得 所以 所以，又 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為5的等差數(shù)列 3.看通項(xiàng)與前n項(xiàng)和法（注：這些結(jié)論適用于選擇題填空題）（1）

2、若數(shù)列通項(xiàng)能表示成（，為常數(shù)）的形式，則數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和能表示成（，為常數(shù)）的形式，則數(shù)列是等差數(shù)列例：若是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則是（ ） A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 C.等差數(shù)列，也是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列解析：根據(jù)（2）知等差數(shù)列，不是等比數(shù)列二、證明或判斷數(shù)列為等比數(shù)列的方法1.定義法 在數(shù)列中，若（為常數(shù)），則數(shù)列為等比數(shù)列例：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，且 ， 記，（1）求，（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論解：（1）， (2), 所以， 猜想是公比為的等比數(shù)列 證明如下：因?yàn)?所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列例2：已

3、知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為， ，證明數(shù)列是等比數(shù)列；解：由已知可得時(shí)兩式相減得:，即，從而，當(dāng)時(shí)，所以，又，所以，從而故總有，又，從而所以數(shù)列是等比數(shù)列 例3：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且。（1） 設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列； 證明：（1）時(shí)， ， 又是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列。例4：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和滿足關(guān)系，求證為等比數(shù)列。（錯(cuò)證）由題意：兩式相減得： 即： 所以：為定值，所以為等比數(shù)列。由于在證明的過程沒有注意到各符號(hào)有意義的條件，從而忽略了的取值范圍，導(dǎo)致證明不符合定義的完整性。正確的證明如下：時(shí)：兩式相減得： 即：所以：（這只能說明從第二項(xiàng)開始，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為定值，所以需要對第二項(xiàng)與第一項(xiàng)的比另外加以證明，以達(dá)到定義的完整性。）又因?yàn)闀r(shí)：即又因?yàn)椋运?所以 所以對任意都有為定值，所以為等比數(shù)列。總之，在用定義證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列的時(shí)候，一定要注意下標(biāo)的取值范圍，不管是；還是還是其它的情況，都在考慮定義的完整性，確保任何的后一項(xiàng)與相鄰前一項(xiàng)的差（比）為定值，如有不全面的地方須另外加以補(bǔ)充。2. 看通項(xiàng)與前n項(xiàng)和法（1） 若通項(xiàng)能表示成（，均為不為0的常數(shù)）的形式，則是等比數(shù)列（2） 若數(shù)列的前n項(xiàng)和能表示成（、均為不等于0的常數(shù)，且）的形式，