1、第第 1 1 講講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【高考考情解讀】1.對三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的考查中，以圖象的變換，函數(shù)的單調(diào)性、 奇偶性、周期性、對稱性、最值等作為熱點內(nèi)容，并且往往與三角變換公式相互聯(lián)系，有時 也與平面向量， 解三角形或不等式內(nèi)容相互交匯.2.題型多以小而活的選擇題、 填空題來呈現(xiàn)， 如果設(shè)置解答題一般與三角變換、 解三角形、 平面向量等知識進行綜合考查， 題目難度為中、 低檔 1 三角函數(shù)定義、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式 (1)定義：設(shè) 是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則 sin y，cos x， y tan .各象限角的三角函數(shù)值的符號：一全正，二正

2、弦，三正切，四余弦 x sin (2)同角關(guān)系：sin2cos21，tan . cos k (3)誘導(dǎo)公式：在 ，kZ Z 的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號看象限” 2 2 三角函數(shù)的圖象及常用性質(zhì) 函數(shù)ysin xycos xytan x 圖象 在 單調(diào)性 2k ， 22 在( k， 22 k)(kZ Z)上單調(diào) 遞增 k， 2 2k(kZ Z)上單調(diào)遞增； 3 在 2k ， 22 2k(kZ Z)上單調(diào)遞減 對稱中心： (k， 0)(kZ Z)； 在2k， 2k(kZ Z)上單調(diào) 遞增；在 2k，2k(kZ Z) 上單調(diào)遞減 對稱性 對稱軸：x k(kZ Z) 2 對稱中心：( k，0)(k

3、Z Z)； 2 對稱軸：xk(kZ Z) 對稱中心： ( 0)(kZ Z) 3 三角函數(shù)的兩種常見變換 考點一三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系問題 例 1 系，建立如圖所示的坐 (1)如圖，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān) 標系，設(shè)秒針針尖位置P(x，y)若初始位置為 P0 31，當秒針 2 ，2 從 P0(此時 t0)正常開始走時，那么點P 的縱坐標 y 與時間 t 的函 數(shù)關(guān)系為() t Aysin 306 t Cysin 306 t Bysin 606 t Dysin 303 () 33 sin，cos 落在角 的終邊上，且 0,2)，則 的值為 (2)已知點 P 44 A.4

4、 3 B. 4 5 C. 4 7 D. 4 弄清三角函數(shù)的概念是解答本題的關(guān) 鍵 答案(1)C(2)D 解析(1)由三角函數(shù)的定義可知， 初始位置點 P0的弧度為 ， 由于秒針每秒轉(zhuǎn)過的弧度 6 為，針尖位置P 到坐標原點的距離為 1，故點P 的縱坐標 y 與時間 t 的函數(shù)關(guān)系可 30 t . 能為 ysin 306 3 cos cos 44 (2)tan 1， 3 sin sin 44 又 sin 33 0，cos0， 44 7 所以 為第四象限角且 0,2)，所以 . 4 (1)涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問題 (如鐘表、摩天輪、水車等)，常常借助三角函數(shù)的定義求解應(yīng)用定義時，注意三角函

5、數(shù)值僅與終邊位置有關(guān)，與終邊上點的位置無關(guān) (2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式時要弄清三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化 簡過程要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等 1 (1)已知 (，0)，tan(3) ， 3 3 則 cos 2的值為 A. 10 10 () B 10 10 3 10 C. 10 答案B 3 10 D 10 1 解析由 tan(3) ， 3 31 cos sin .得 tan ，cos 22 3 (，0)，sin 10. 10 (2)如圖，以 Ox 為始邊作角 (00) 的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求A；由函 數(shù)

6、的周期確定 ； 確定 常根據(jù)“五點法”中的五個點求解， 其中一般把第一個零點作 為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置 (2)在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換變換只是相對于其中 的自變量 x 而言的，如果x 的系數(shù)不是 1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長 度和方向 (1)(2013四川)函數(shù) f(x)2sin(x)(0， 0. 從而有2，故 1. 2 B2 () C3D4 2x 2. 由知，f(x)2sin 4 若 0x ， 2 5 則 2x . 444 當 2x ， 442 即 0x 時，f(x)單調(diào)遞增； 8 5 當 2x ， 244 即 x 時，f(x

7、)單調(diào)遞減 82 0， 上單調(diào)遞增， 綜上可知，f(x)在區(qū)間 8 在區(qū)間 8，2上單調(diào)遞減 1求函數(shù) yAsin(x)(或 yAcos(x)，或 yAtan(x)的單調(diào)區(qū)間 (1)將 化為正 (2)將 x 看成一個整體，由三角函數(shù)的單調(diào)性求解 2 已知函數(shù) yAsin(x)B(A0，0)的圖象求解析式 ymaxyminymaxymin (1)A ，B . 22 2 (2)由函數(shù)的周期 T 求 ，. T (3)利用與“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求. 3 函數(shù) yAsin(x)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點 4 求三角函數(shù)式最值的方法 (1)將三角函數(shù)式化為 yAsin(x)B 的形式，進而

8、結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解 (2)將三角函數(shù)式化為關(guān)于sin x，cos x 的二次函數(shù)的形式，進而借助二次函數(shù)的性質(zhì)求 解 5 特別提醒： 進行三角函數(shù)的圖象變換時，要注意無論進行什么樣的變換都是變換變量本身. 1 假設(shè)若干個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合， 則稱這些函數(shù)為“互為生成函數(shù)” 給出 下列函數(shù)： f(x)sin xcos x；f(x) 2(sin xcos x)； f(x) 2sin x2；f(x)sin x. 則其中屬于“互為生成函數(shù)”的是 A 答案B 2 已知函數(shù) f(x)sin xcos x 3cos2x 任意兩條對稱軸，且|x1x2|的最小值為 . 4 (1)求 f(x)的表達

9、式； (2)將函數(shù) f(x)的圖象向右平移 個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來 8 的 2 倍，縱坐標不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，若關(guān)于x 的方程 g(x)k0 在區(qū)間0， 上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)k 的取值范圍 2 1cos 2x 13 解(1)f(x) sin 2x 3 222 13 sin 2xcos 2xsin(2x )， 223 由題意知，最小正周期 T2 ， 42 2 T ，所以 2， 22 4x . f(x)sin 3 (2)將 f(x)的圖象向右平移 個單位后， 8 得到 ysin(4x )的圖象， 6 再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2 倍， 3(

10、0)，直線 xx 1，xx2 是 yf(x)圖象的 2 B () CD 縱坐標不變，得到 ysin(2x )的圖象 6 所以 g(x)sin(2x ) 6 5 令 2x t，0x ， t. 6266 g(x)k0 在區(qū)間0， 上有且只有一個實數(shù)解， 2 5 即函數(shù) g(t)sin t 與 yk 在區(qū)間 ， 上有且只有一個交點 66 如圖， 11 由正弦函數(shù)的圖象可知 k 或k1. 22 11 0， 由于 sin cos 2sin 4 3 且 為第二象限角， 3 所以 2k 2k ，kZ Z， 24 3 所以 4k0，|0)的圖象關(guān)于直線 x 對稱，且f 120，則 的最小 3 值為() A2

11、答案A B4C6D8 ，0是 f(x)圖象的一個對稱中心，又 x是一條對稱軸，所以 解析由 f 0 知 1212 3 0 應(yīng)有2 ， 4312 解得 2，即 的最小值為 2，故選 A. 6 (2013江西)如圖，已知 l1l2，圓心在 l1上、半徑為 1 m 的圓 O 在 t 0 時與 l2相切于點 A，圓 O 沿 l1以 1 m/s 的速度勻速向上移動，圓 被直線 l2所截上方圓弧長記為 x，令 ycos x，則 y 與時間 t(0t1， 單位：s)的函數(shù) yf(t)的圖象大致為() 答案B 解析方法一(排除法) 當 t0 時，ycos 01，否定 A、D. 12 當 t 時，l2上方弧長為

12、 . 23 21 ycos . 32 否定 C，只能選 B. 方法二(直接法) 由題意知AOBx，OH1t， xOH cosAOHcos 1t， 2OA x ycos x2cos2 1 2 2(1t)21(0t1) 選 B. 二、填空題 7 已知角 的頂點為坐標原點，始邊為 x 軸的正半軸，若 P(4，y)是角 終邊上一點，且 2 5 sin ，則 y_. 5 答案8 解析因為 sin 2 5 ， 5 224y y 所以 y0，且 y264，所以 y8. 8 函數(shù) f(x)sin xcos x|sin xcos x|對任意的 xR 都有 f(x1)f(x)f(x2)成立，則 |x2x1|的最小

13、值為_ 3 答案 4 解析依題意得，當 sin xcos x0， 即 sin xcos x 時，f(x)2sin x； 當 sin xcos x0，所以 1. 24 2x . (2)由(1)知 f(x)sin 3 358 當 x時， 2x . 2333 所以 3 2x 1. sin 32 3. 2 所以1f(x) 33 ， 上的最大值和最小值分別為 ，1.故 f(x)在區(qū)間 22 xR ，0，0 的部分圖象如圖所示 12(2012湖南)已知函數(shù) f(x)Asin(x) 2 (1)求函數(shù) f(x)的解析式； x fx的單調(diào)遞增區(qū)間 (2)求函數(shù) g(x)f 1212 115 解(1)由題設(shè)圖象知，周期T2 12 12， 2 所以 2. T 5 因為點 12，0在函數(shù)圖象上， 5 2 0，所以 Asin 12 50. 即 sin 6 5 54 又因為 0 ，所以 . 2663 5 從而，即 . 66 又點(0,1)在函數(shù)圖象上，所以Asin1，解得 A2.