1、2012 年高考數(shù)學(xué) 30 道壓軸題訓(xùn)練(答案) 1橢圓的中心是原點 O，它的短軸長為2 2，相應(yīng)于焦點F(c,0)（c 0）的準(zhǔn)線l與 x 軸相交于點 A，OF 2 FA ，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。 （1）求橢圓的方程及離心率； （2）若。，求直線PQ的方程； uuu ruuu r （3）設(shè)AP AQ（1） ，過點P且平行于準(zhǔn)線 l 的直線與橢圓相交于另一點 M ，證明 uuuu ruuu r FM FQ. (14 分) 2 2 已知函數(shù) （1） f (x) 對任意實數(shù) x 都有 f (x 1) f (x) 1， ，且當(dāng)x0,2時， f (x) | x 1|。 。 x2k,2k

2、2(k Z)時，求f (x) 的表達(dá)式。 f (x) 是偶函數(shù)。（2）證明 （3）試問方程 f (x)log 4 1 指出實數(shù)根的個數(shù)； 若沒有實數(shù)根， 0 是否有實數(shù)根？若有實數(shù)根， x 2 請說明理由。當(dāng) 3 （本題滿分 12 分）如圖，已知點 F（0，1） ，直線 L：y=-2，及圓 C：x (y 3)2 1。 （1）若動點 M 到點 F 的距離比它到直線 L 的距離小 1，求動點 M 的軌跡 E 的方程； （2）過點 F 的直線 g 交軌跡 E 于 G（x1，y1） 、H（x2，y2）兩點，求證：x1x2為定值； 10 （3）過軌跡 E 上一點 P 作圓 C 的切線，切點為 A、B，要

3、使四邊形 PACB的面積 S 最小，求點 P 的 坐標(biāo)及 S 的最小值。 -6 4 8 y 6 C 2 F x-15 -10-5O -2 5 X 10 -4 -8x2 2 4.以橢圓 2 y 1（a1）短軸一端點為直角頂點，作橢圓內(nèi)接等腰直角三角形，試判斷并推證 a -10 能作出多少個符合條件的三角形. 5已知，二次函數(shù) f（x）ax2bxc 及一次函數(shù) g（x）bx，其中 a、b、cR R，abc，ab c0. （）求證：f（x）及 g（x）兩函數(shù)圖象相交于相異兩點； 圍. 6已知過函數(shù) f（x）=x （1）求 a、b 的值； （2）求 A 的取值范圍，使不等式 f（x）A1987 對于

4、x1，4恒成立； （3）令g 3 （）設(shè) f（x） 、g（x）兩圖象交于 A、B 兩點，當(dāng) AB 線段在 x 軸上射影為 A1B1時，試求|A1B1|的取值范 ax21的圖象上一點 B（1，b）的切線的斜率為3。 x fx3x2 tx 1。是否存在一個實數(shù) t，使得當(dāng)x(0,1時，g（x）有最大 值 1？ 7已知兩點 M（2，0） ，N（2，0） ，動點P 在 y 軸上的射影為 H，PH是 2 和PMPN的等比 中項。 （1）求動點 P 的軌跡方程，并指出方程所表示的曲線； （2）若以點 M、N 為焦點的雙曲線 C 過直線 x+y=1 上的點 Q，求實軸最長的雙曲線 C 的方程。 8已知數(shù)列a

5、n滿足a1 3a(a 0),a n1 2a n a2a a ,設(shè)b n n 2a n a n a （1）求數(shù)列bn的通項公式； （2）設(shè)數(shù)列bn的前項和為 Sn，試比較 Sn與 9已知焦點在 x 軸上的雙曲線 C 的兩條漸近線過坐標(biāo)原點，且兩條漸近線與以點 為半徑的圓相切，又知 C 的一個焦點與 A 關(guān)于直線 （）求雙曲線 C 的方程； （）設(shè)直線 7 8 的大小，并證明你的結(jié)論. A(0,2)為圓心，1 y x對稱 y mx1與雙曲線 C 的左支交于 A，B 兩點，另一直線l 經(jīng)過 M（-2，0）及 AB 的中點，求直線l在 y 軸上的截距 b 的取值范圍； （）若 Q 是雙曲線 C 上的任

6、一點，F(xiàn) 1F2 為雙曲線 C 的左，右兩個焦點，從F1引F 1QF2 的 平分線的垂線，垂足為 N，試求點 N 的軌跡方程 10. 1 f (x) 對任意xR都有 f (x) f (1 x) . 2 11n1 f( )和f( )f() (nN )的值 2nn 12n1 （）數(shù)列 an 滿足：an= f(0)+f( )f( )f()f( 1)，數(shù)列an 是 nnn （）求 等差數(shù)列嗎？請給予證明； （）令bn 4 4an1 222 ,Tnb 1 2 b2b3bn,S n 32 16 . n y A 試比較T n與 S n 的大小 11.： 如圖， 設(shè) OA 、 OB 是過拋物線 y22px 頂

7、點 O 的兩條弦， 且OA OB 0，求以 OA 、OB 為直徑的兩圓的另一個交點 P 的軌跡.(13分) 9 12. 知函數(shù) f (x)log 3(x22mx2m 2 2 )的定義域為 R m 3 (1) 求實數(shù) m 的取值集合 M ； (2) 求證：對 m M 所確定的所有函數(shù) f (x)中，其函數(shù)值最小的一個是 2，并求使函數(shù)值等于 2 的 m 的值和 x的值. 13. 設(shè)關(guān)于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的兩根為 , ( (1).求 f( )和f( )的值。 （2） 。證明：f(x) 在 , 上是增函數(shù)。 （3） 。對任意正數(shù) x1、x2, 求證： 14已知數(shù)列an各項均為正數(shù)，

8、Sn為其前 n 項的和. 對于任意的n N ，都有4Sn I、求數(shù)列 II 、若2 15.(12 分)已知點 H （3，0） ，點 P 在 y 軸上，點 Q 在 x 軸的正半軸上，點 M 在直線 PQ 上，且滿足 n O P x B ), 函數(shù) f(x)= 4xt. x21 f(x1 x 2 xx 2)f(1)2 x 1 x 2 x 1 x 2 *a n 1 2 . a n 的通項公式. tS n 對于任意的n N* 恒成立，求實數(shù)t的最大值. HPPM =0，PM= 3 MQ ， 2 （1）當(dāng)點 P 在 y 軸上移動時，求點 M 的軌跡 C； （2）過點 T（1，0）作直線 l 與軌跡 C

9、交于 A、B 兩點，若在 x 軸上存在一點 E（x0,0） ，使得ABE 為等邊三角形，求 x0的值. 16.（14 分）設(shè) f1(x)= f n (0) 12 ,定義 fn+1 (x)=f1fn(x),an=,其中 nN N*. f n (0) 21 x (1)求數(shù)列an的通項公式； 4n2 n (2)若 T2n=a1+2a2+3a3+2na2n,Qn=,其中 nN N*,試比較 9T2n與 Qn的大小. 24n 4n 1 17 已知a=（x,0） ，b=（1，y） ， （a+ 3b ）（a 3b ） （I） 求點（x，y）的軌跡 C 的方程； （II） 若直線 L：y=kx+m(m0)與曲

10、線 C 交于 A、B 兩點，D（0，1） ，且有|AD|=|BD|，試求 m 的取值范圍 18已知函數(shù) 1 f (x) 對任意實數(shù) p、q 都滿足 f (pq) f (p) f (q),且f (1). 3 f (n) 的表達(dá)式； 3 (n N ),求證：a k ; 4 k1 (nN ), S n b k ,試比較 k1 n （1）當(dāng)nN時，求 n （2）設(shè)an nf (n) nf (n1) （3）設(shè)bn f (n) 1 k1 S k n 與 6 的大小 19已知函數(shù)f (x) log a x(a 0且a 1),若數(shù)列：2, f (a 1 ), f (a 2 ),， f (a n ),2n 4(

11、n N) 成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列an的通項a n ； （2）若0 （3）若a 20已知OFQ 的面積為2 （1）設(shè) a 1,數(shù)列a n 的前 n 項和為 S n，求 limS n ； n 2,令b n a n f (a n )，對任意n N,都有b n f1(t) ,求實數(shù) t 的取值范圍. 6,且OF FQ m. 6 m 4 6,求向量OF與FQ的夾角 正切值的取值范圍； 6 1)c2， 4 （2）設(shè)以 O 為中心，F(xiàn) 為焦點的雙曲線經(jīng)過點 Q（如圖） ，|OF | c,m ( 當(dāng)|OQ|取得最小值時，求此雙曲線的方程. （3）設(shè) F1為（2）中所求雙曲線的左焦點，若 A、B 分別為此雙

12、曲線漸近線 l1、l2上的動 點，且 2|AB|=5|F1F|，求線段 AB 的中點 M 的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線. 21、已知函數(shù) f (x) 3x2bx 1是偶函數(shù)，g(x) 5x c是奇函數(shù)，正數(shù)數(shù)列a n 滿足 an1, f(an an1) g(an1an an2)1 求 若 a n 的通項公式； a n 的前n項和為S n ，求limSn. n 22、直角梯形 ABCD 中DAB90，ADBC，AB2，AD 經(jīng)過點 D （1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求橢圓 C 的方程； （2）若點 E 滿足 EC 31 ，BC橢圓 C 以 A、B 為焦點且 22 1 AB ，問是否存在不平行 2 A

13、B 的直線 l 與橢圓 C 交于 M、N 兩點且 | ME | NE |，若存在，求出直線 l 與 AB 夾角的范圍，若不存在，說明理由 23、 設(shè)函數(shù) f (x) 1 , x4 2 f (x) f (1 x)為定值； （1）求證：對一切xR, （2）記an 12n 1 f (0) f ( ) f ( ) f () f (1) nnn (n N*),求數(shù)列a n 的通 項公式及前 n 項和. 24. 已知函數(shù) (I) f (x) 是定義在 R 上的偶函數(shù).當(dāng) X0 時, f (x) = 7x . 2x x 1 求當(dāng) X0. m , 13k2 設(shè) x1,x2為方程*的兩根，則 x1+x2= 6k

14、m ，x0= x 1 x 2 3km ,y0=kx0+m= 2213k213k 故 AB 中點 M 的坐標(biāo)為（ 3km ， 13k2 m ）, 213k m =（ 1 ） 3km ,(x) k 13k213k2 線段 AB 的垂直平分線方程為 y 將 D（0，1）坐標(biāo)代入，化簡得4m=3k21, m 213k2 0, 故 m、k 滿足消去 k2得m24m0, 解得 m4. 2 4m 3k 1, 又4m=3k211, 18(1)解由 已 知 得f 11 m , 故 m(,0)(4,+) 44 （分） 11 (n) f (n1) f (1) f (n1) ( )2 f (n2) L 33 11 (

15、 )n1 f (1) ( )n (4分 ) 33 (2) 證 明由 (1) 可 知 1 a n n( )n,設(shè)Tn 3 a k1 n k 則Tn 111 12( )2L n( )n. 333 11 2 1 3 1 n1 1 T n 1( ) 2( ) L n1 n( ) 3333 3 211111 T n ( )2( )3+( )nn( )n1 333333 n 兩式相減得 1 1 n 1 n11( )n( ),Tn 2 33 a k k1 n31 1 n1 n1 n 3 ( )( ) （9 分） 44 3234 （3）解 n11n(n1) , 由（1）可知bn n. S n b k (12L

16、 n) 336 k1 則 1611 =6( ), S n n(n1)nn1 故有 1111111 6(1L ) =6(1) 6 （分） 223nn1n1 k1 S k n 19 （1）2n 4 2 (n 2 1)d,d 2, f (an) 2 (n 11)2 2n 2,an a2n2 a4(1 a2n)a4 . （2）limS n lim 22 nn 1 a1 a （3）bn a n f (a n ) (2n 2)a2n2 (2n 2)22n2 (n 1)22n3. b n1 n 2 4 1 b n n 1 b n1 b n . 1b n 為遞增數(shù)列bn中最小項為b 1 225 26, f(t

17、) 2t,26 2t,t 6. 1 |OF | FQ |sin() 2 6 4 6 20（1）tan,6 m 4 6 1 tan 4. 2 m |OF | FQ | cos m 4 arctan4. x2y2 （2）設(shè)所求的雙曲線方程為 2 2 1(a 0,b 0),Q(x 1 , y 1 ),則FQ (x 1 c, y 1 ) ab S OFQ 14 6 |OF | y 1 | 2 6, y 1 2c 又由 OF FQ (c,0)(x 1 c, y 1 ) 66963c2 222(x 1 c)c (1)c ,x 1 c,|OQ |x 1 y 1 12. 448c2 當(dāng)且僅當(dāng) c=4 時，|O

18、Q|最小，此時 Q 的坐標(biāo)為( 6, 6)或( 6, 6) 6 6 2 2 1 ab a2 b216 2 a 4 2 b 12 x2y2 1.所求方程為 412 （3）設(shè)A(x1, y1),B(x2, y2) l 1 的方程為y 3x,l2的方程為y 3x 則有y1 3x 1 y 2 3x 2 2| AB | 5| FF 1 |2 (x 1 x 2 )2(y 1 y 2 )2 52c 40 (x 1 x 2 )2(y 1 y 2 )2 20 設(shè)M(x, y)由得 y 1 y 2 3(x 1 x 2 ) y 1 y 2 3(x 1 x 2 )2y 3(x 1 x 2 ), y 1 y 2 2 3

19、xx 1 x 2 2y 3 ， y2x2 y 1 y 2 2 3x 代入得( ) (2 3x) 400 1.M 100 300 3 3 2y 22 的軌跡為 焦點在 y 軸上的橢圓. 21、解： （1） f (x)為偶函數(shù) f (x) f (x)b 0f (x) 3x21 g(x)為奇函數(shù)g(x) g(x)c 0g(x) 5x f (a n1 a n ) g(a n1 a n a n ) 3(a n1 a n )215(a n1 a n a n ) 1 223a n1 a n1 a n 2a n 0(a n1 a n )(3a n1 2a n ) 0 22 a n1 2 a n 3 an是以a

20、n1為首項，公比為 （2）lim 22 n1 的等比數(shù)列. a n ( ) 33 n sn 1 2 1 3 3 22、解析： （1）如圖，以AB 所在直線為 x 軸，AB 中垂線為 y 軸建立直角坐標(biāo)系，A（-1，0） ，B（1， 0） x2y2 設(shè)橢圓方程為： 2 2 1 ab b2 令x C y0 c C 1 a 2 2 b 3 b 3 a2 x2y2 1 橢圓 C 的方程是： 43 （2）EC 11 AB E(0，) ，lAB 時不符， 22 設(shè) l：ykxm（k0 ） 由 y kxm 2 (34k2)x28kmx4m212 0 x y2 1 3 4 0 64k2m24(34k2)(4m

21、212) 0 4k23 m2 M、N 存在 設(shè) M（ x 1 ， y 1 ） ，N（x2， y 2 ） ，MN 的中點 F（x0， y 0 ） x 0 x 1 x 2 4km 23 4k2 ， y 0 kx 0 m 3m 34k2 | ME | NE | MN EF y 0 3m11 2 2 1 34k22 1 m 34k 4km x 0 kk2 234k 34k2 2) 4k 3 ( 2 2 4k 23 4 0 k 21 1 k 1且k 0 l 與 AB 的夾角的范圍是(0， 1 4 (6) x11141 23、 （1）f (x) f (1 x) 1x x . xx24 24 24 24 2

22、4 (2)由(1)知f (0) f (1) 1 , f (1) f (0) . 2 11n 112n 21 , f ( ) f () , f ( ) f () 2nn2nn2 將上述n 1個式子相加得2a n n 1n 1 ,a n . 24 11 n 3n(n 3) S n 23 4 (n 1) n . 4428 (10) (12) 24、 （1）當(dāng) X0 時, （2）函數(shù) f (x) 7x （3 分） 2x x 1 （證明略）（9 分） y = f (x) (X0)在 1, 是增函數(shù)； （3）因為函數(shù) 又因為x 2 y = f (x) (X0)在 1, 是增函數(shù)，由 x 2得 f (x)

23、f (2) 2 ； 7x 0，所以 2 f (x) 0 ； 2x x 1 x 1 0,7x 0，所以 因為x1,x2 0，所以 2 f (x 1 ) 0 ，且 2 f (x2) 0，即0 f (x2) 2， f (x 1 ) f (x 2 )|2. （14 分）所以，-2f(x 1) f(x2) 2 即| 25、解：由題意易得 M(-1,0) 設(shè)過點 M 的直線方程為y k(x 1)(k 0)代入 y2 4x 得 k2x2 (2k2 4)x k2 0（） 再設(shè)（ ，） ，（，） 則 4 2k2 x2= k2 ， x2= yy2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x2)+2k= 4 k 2k2

24、2 , ）的中點坐標(biāo)為（ 2kk 212 k2 (x ) ，令y 0得那么線段的垂直平分線方程為 y kkk2 k2 2k2 22 x x 1 ，即 0 k2k2k2 又方程（）中(2k 2 4)2 4k4 0,0 k21, 3 AB 2 2 2 2,x 0 3 2k 若ABD 是正三角形，則需點 D 到 AB 的距離等于 16(1 k2)(1 k2) AB (1 k )(x 1 x 2 ) (1 k ) (x 1 x 2 ) 4x 1 x 2 k4 2 222 點到 AB 的距離 d= k2 2 k k 2k 1 k2 2k2 2 k 1 k2 2 1 k2 k 4(k21)3 16(1 k

25、4)3 2 據(jù)d AB 得： 4k2k44 2 4k 4 k23 0,(k21)(4k23) 0，k2 3 2 ，滿足0 k 1 4 ABD 可以為正，此時x0 11 3 26、解：設(shè) E（x，y） ，D（x0，y0） ABCD 是平行四邊形， AB AD 2AE ， （4，0）+（x0+2，y0）=2（x+2，y）（x0+6，y0）=(2x+4，2y) x 0 6 2x 4 x 0 2x 2 y 2yy 2y 0 0 又 AD 2,(x 0 2)2 y 0 4,(2x 2 2)2(2y)2 4 2 2 即：x y 21 2 ABCD 對角線交點 E 的軌跡方程為x 設(shè)過 A 的直線方程為 y

26、21 y k(x 2) 以 A、B 為焦點的橢圓的焦距 2C=4，則 C=2 x2y2x2y2 1（*） 設(shè)橢圓方程為 2 2 1 ，即 2 2abaa 4 將y k(x 2)代入（*）得 x2k2(x 2)2 1 a2a2 4 即 (a2 a2k2 4)x2 4a2k2x 4a2k2 a4 4a2 0 設(shè) M（x1，y1） ，N（x2，y2）則 4a2k24a2k2 a4 4a2 x 1 x 2 ,x 1 x 2 4 a2 a2k2a2 a2k2 4 MN 中點到 Y 軸的距離為 4 ，且 MN 過點 A，而點 A 在 Y 軸的左側(cè)，MN 中點也在 Y 軸的左側(cè)。 3 2a2k2488 a2

27、 222,a k 2a 8 ，x1 x 2 ,x 1 x 2 22233a a k 43 84 x 2 )2 (x 1 x 2 )2 4x 1 x 2 ( )2(8 a2) 33 88 MN 2 1 k2x 1 x 2 2 33 64324 2 128 22222 (1 k )(即 12a 12a k32k160a ) 9339 (x1 9a264 12a 12(2a 8) 32k 160 k 8 2222 9a264 2a28 ， 9a480a2 64 0 a 8 2 (a28)(9a28) 0 ，a c 2，a2 8 b2 a2c2 8 4 4 x2y2 1 所求橢圓方程為 84 由可知點 E 的軌跡是圓x 2 y21 y 0 y 1 設(shè)(x0, y0)是圓上的任一點，則過(x0, y0)點的切線方程是x0 x