1、,22.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,1,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的根的情況怎樣確定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,2,4、求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè) 根分別為 2和3;-4和7;3和-8;-5和-2,x2-5x+6=0,x2-3x-28=0,(x-3)(x+8)=0,x2+5x-24=0,(x+5)(x+2)=0,(x+4)(x-7)=0,(x-2)(x-3)=0,x2+7x+10=0,問題1：從求這些方程的過程中你發(fā)現(xiàn)根 與各項(xiàng)系數(shù)之間有什么關(guān)系？,3,新課講解,如果方程x2+px+q=0有兩個(gè)根是x1,x2 那么有x1+ x2=-p, x1

2、 x2=q,猜想：2x2-5x+3=0,這個(gè)方程的兩根之和，兩根之積是與各項(xiàng)系數(shù)之間有什么關(guān)系？,問題2；對(duì)于一元二次方程的一般式是否也具備這個(gè)特征？,所以得到,x1+x2=,x1 x2=,4,填寫下表：,猜想：,如果一元二次方程 的兩個(gè)根 分別是 、 ，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？,5,已知：如果一元二次方程 的兩個(gè)根分別是 、 。,求證：,6,推導(dǎo):,7,8,如果一元二次方程 的兩個(gè)根分別是 、 ，那么：,這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也叫韋達(dá)定理。,9,一元二次方程的 根與系數(shù)的關(guān)系,16世紀(jì)法國最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn) 代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，因此,人們把這個(gè)關(guān)系稱為韋達(dá)定理

3、。數(shù)學(xué)原本只是韋達(dá)的業(yè)余愛好，但就是這個(gè)業(yè)余愛好，使他取得了偉大的成就。韋達(dá)是第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用字母表示數(shù)的人，并且對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行了很多改進(jìn)。是他確定了符號(hào)代數(shù)的原理與方法，使當(dāng)時(shí)的代數(shù)學(xué)系統(tǒng)化并且把代數(shù)學(xué)作為解析的方法使用。因此，他獲得了“代數(shù)學(xué)之父”之稱。,10,1.,3.,2.,4.,5.,口答下列方程的兩根之和與兩根之積。,11,練習(xí)：下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少？,返回,12,的值。,解：,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系:,13,例2、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程 兩個(gè)根的；（1）平方和；（2）倒數(shù)和,解：設(shè)方程的兩個(gè)根是x1 x2，那么,返回,14,例1. 不解方程，求

4、方程 的 兩根的平方和、倒數(shù)和。（解法如上）,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解題類型,15,用根與系數(shù)的關(guān)系，不解方程，幾種常見的求值,16,求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時(shí), 一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和, 兩根之積的形式,再整體代入.,17,例如：已知方程 x22x1的兩根為x1,x2， 不解方程，求下列各式的值。 （1）（x1x2）2 （2）x13x2x1x23 （3）,18,1、如果-1是方程2X2X+m=0的一個(gè)根，則另 一個(gè)根是_，m =_。 2、設(shè) X1、X2是方程X24X+1=0的兩個(gè)根，則 X1+X2 = _ ,X1X2 = _， X12+X22 = ( X1+X2)2 - _ =

5、_ ( X1-X2)2 = ( _ )2 - 4X1X2 = _ 3、判斷正誤： 以2和-3為根的方程是X2X-6=0 （ ） 4、已知兩個(gè)數(shù)的和是1，積是-2，則這兩個(gè)數(shù)是 _ 。,X1+X2,2X1X2,-3,4,1,14,12,2和-1,基礎(chǔ)練習(xí),19,例2： 已知方程 的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值.,解：設(shè)方程 的兩個(gè)根 分別是 、 ，其中 。 所以： 即： 由于 得：k=-7 答：方程的另一個(gè)根是 ，k=-7,20,例3：已知方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 是 且 求k的值。,解：由根與系數(shù)的關(guān)系得 X1+X2=-k， X1X2=k+2 又 X12+ X2 2 = 4 即(X1+ X2)

6、2 -2X1X2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0, = K2-4k-8 當(dāng)k=4時(shí)， 0 當(dāng)k=-2時(shí)，0 k=-2,解得：k=4 或k=2,21,例4：方程 有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，求m的取值范圍。,解:由已知,=,即,m0 m-10,0m1,22,總結(jié)規(guī)律：,兩根均為負(fù)的條件： X1+X2 且X1X2 。,兩根均為正的條件： X1+X2 且X1X2 。,兩根一正一負(fù)的條件： X1+X2 且X1X2 。 當(dāng)然，以上還必須滿足一元二次方程有根的條件：b2-4ac0 。 即：,23,練習(xí)：方程x2(m1)x2m10求m滿足什么條件時(shí),方程的兩根互為相反數(shù)？方程的兩根互為倒數(shù)？方程

7、的一根為零？ 解:(m1)24(2m1)m26m5 兩根互為相反數(shù) 兩根之和m10,m1,且0 m1時(shí),方程的兩根互為相反數(shù).,24,兩根互為倒數(shù) m26m5, 兩根之積2m11 m1且0, m1時(shí),方程的兩根互為倒數(shù). 方程一根為0, 兩根之積2m10 且0, 時(shí),方程有一根為零.,25,引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若兩根互為相反數(shù),則b0; （2）若兩根互為倒數(shù),則ac; （3）若一根為0,則c0 ; （4）若一根為1,則abc0 ; （5）若一根為1,則abc0; （6）若a、c異號(hào),方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.,26,2.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí)， 首先要把已知方程化成一般形式.,3.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí)， 要特別注意，方程有實(shí)根的條件，即在初 中代數(shù)里，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，才 能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系.,1.一元二次方程根