1、高三數(shù)學(xué)函數(shù)的圖象、函數(shù)的綜合應(yīng)用人教實(shí)驗(yàn)B版（文）【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容： 函數(shù)的圖象、函數(shù)的綜合應(yīng)用二. 教學(xué)重點(diǎn) 1. 掌握利用描點(diǎn)法和圖象變換作出函數(shù)圖象的一般方法；掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律；能夠利用函數(shù)的圖象來觀察分析函數(shù)的性質(zhì)。 2. 掌握函數(shù)與其它數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)際問題的綜合，掌握數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造，函數(shù)關(guān)系式的建立。三. 高考要求 1. 掌握基本初等函數(shù)圖象的畫法及性質(zhì)。如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等； 2. 掌握各種圖象變換規(guī)則，如：平移變換、對(duì)稱變換、翻折變換、伸縮變換等； 3. 識(shí)圖與作圖：對(duì)于給定的函數(shù)圖象，能從圖象

2、的左右、上下分布范圍，變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性。甚至是處理涉及函數(shù)圖象與性質(zhì)的一些綜合性問題； 4. 利用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長(zhǎng)的差異；結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義； 5. 收集一些社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。四. 教學(xué)過程（一）基本知識(shí)回顧及應(yīng)用舉例1. 函數(shù)圖象（1）作圖方法：以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖象變換法。作函數(shù)圖象的步驟：確定函數(shù)的定義域；化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性

3、、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢(shì)）；描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象。運(yùn)用描點(diǎn)法作圖象應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處。這就要求對(duì)所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢(shì)等作一個(gè)大概的研究。而這個(gè)研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個(gè)難點(diǎn)。用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換，這也是個(gè)難點(diǎn)。（2）三種圖象變換：平移變換、對(duì)稱變換和伸縮變換等等；平移變換：I、水平平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向左或向右平移個(gè)單位即可得到；1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(x-

4、h)；II、豎直平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向上或向下平移個(gè)單位即可得到；1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)-h。對(duì)稱變換：I、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱即可得到；y=f(x) y=f(-x)II、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱即可得到；y=f(x) y= -f(x)III、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可得到；y=f(x) y= -f(-x)IV、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱得到。y=f(x) x=f(y)V、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱即可得到；y=f(x) y=f(2a-x)翻折變換：I、函數(shù)的圖像

5、可以將函數(shù)的圖像的軸下方部分沿軸翻折到軸上方，去掉原軸下方部分，并保留的軸上方部分即可得到；II、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像右邊沿軸翻折到軸左邊替代原軸左邊部分，并保留在軸右邊部分即可得到 伸縮變換：I、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或壓縮（）為原來的倍得到；y=f(x)y=af(x)II、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或壓縮（）為原來的倍得到。y=f(x)y=f()（3）識(shí)圖：分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性、周期性等等方面。2. 解決實(shí)際問題的解題過程（1）對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象概括：研究實(shí)際問題中量與量之間的關(guān)系，確定變量之間的主、被動(dòng)關(guān)系，并

6、用x、y分別表示問題中的變量；（2）建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式；（3）求解函數(shù)模型：根據(jù)實(shí)際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)正確選擇函數(shù)知識(shí)求得函數(shù)模型的解，并還原為實(shí)際問題的解。這些步驟用框圖表示：3. 解決函數(shù)應(yīng)用問題應(yīng)著重培養(yǎng)下面一些能力：（1）閱讀理解、整理數(shù)據(jù)的能力：通過分析、畫圖、列表、歸類等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等；（2）建立函數(shù)模型的能力：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問題的目標(biāo)表示為這個(gè)變量的函數(shù)，建立函數(shù)的模型的過程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，注意不要忘記考查函數(shù)的定義域；（3）

7、求解函數(shù)模型的能力：主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大（?。┲?，計(jì)算函數(shù)的特殊值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用?！镜湫屠}】例1. （06重慶 理）如圖所示，單位圓中弧AB的長(zhǎng)為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的倍，則函數(shù)y=f(x)的圖象是（ ） 解：顯然當(dāng)時(shí)，陰影部分的面積等于圓的面積減去以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，即點(diǎn)在直線的下方，故應(yīng)在C、D中選擇。而當(dāng)時(shí)，陰影部分的面積等于圓的面積加上以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，即點(diǎn)在直線的上方，故應(yīng)選擇D。點(diǎn)評(píng)：該題屬于實(shí)際應(yīng)用的題目，結(jié)合函數(shù)值變化的趨勢(shì)和一些特殊點(diǎn)函數(shù)值解決問題即可。要明確函數(shù)圖像與函數(shù)自變

8、量、變量值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，特別是函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖象的關(guān)系； 例2. （1996上海，文、理8）在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=（）x的圖象只可能是（ ）解一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出01。拋物線方程是y=a（x+）2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），又由01，可得0.觀察圖象，可選A。解二：求y=ax2+bx與x軸的交點(diǎn)，令ax2+bx=0，解得x=0或x=，而12時(shí)，f(x)0，從而有a0，b0。點(diǎn)評(píng)：通過觀察函數(shù)圖像，變形函數(shù)解析式，得參數(shù)的取值范圍。 例7. 設(shè)，若，且，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 解：保留函數(shù)在x軸上方的圖像，將其在x軸下方的圖像翻折到x軸上方區(qū)即可

9、得到函數(shù)的圖像。通過觀察圖像，可知在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，由，且可知，所以，從而，即，又，所以。選項(xiàng)為A。點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)圖像的翻折變換。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)由簡(jiǎn)到繁的原則，通過研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，進(jìn)而得到的圖像和性質(zhì)。 例8. 函數(shù)互質(zhì)）圖像如圖所示，則（ ） A. 均為奇數(shù) B. 一奇一偶 C. 均為奇數(shù) D. 一奇一偶解：該題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，由于冪函數(shù)在第一象限的圖像趨勢(shì)表明函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)只需保證，即，有；同時(shí)函數(shù)只在第一象限有圖像，則函數(shù)的定義域?yàn)?，此時(shí)定為偶數(shù)，既為偶數(shù)，由于兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則定為奇數(shù)。答案：選項(xiàng)為B。點(diǎn)評(píng)：該題突破了傳統(tǒng)借形言數(shù)思路，屬于“由圖形得解析式”

10、的題目。為此需要分清冪函數(shù)在幾種不同情況下函數(shù)圖像的特點(diǎn)，更甚至在同一種情形下a取不同數(shù)值對(duì)函數(shù)圖像的影響也要了解。 例9. 某地區(qū)1995年底沙漠面積為95萬(wàn)公頃，為了解該地區(qū)沙漠面積的變化情況，進(jìn)行了連續(xù)5年的觀測(cè)，并將每年年底的觀測(cè)結(jié)果記錄如下表。根據(jù)此表所給的信息進(jìn)行預(yù)測(cè)：（1）如果不采取任何措施，那么到2020年底，該地區(qū)的沙漠面積將大約變?yōu)槎嗌偃f(wàn)公頃；（2）如果從2000年底后采取植樹造林等措施，每年改造0.6萬(wàn)公頃沙漠，那么到哪一年年底該地區(qū)沙漠面積減少到90萬(wàn)公頃？觀測(cè)時(shí)間1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底該地區(qū)沙漠比原有面積增加數(shù)（萬(wàn)公頃）0.200

11、00.40000.60010.79991.0001解：（1）由表觀察知，沙漠面積增加數(shù)y與年份數(shù)x之間的關(guān)系圖象近似地為一次函數(shù)y=kx+b的圖象。將x=1，y=0.2與x=2，y=0.4，代入y=kx+b，求得k=0.2，b=0，所以y=0.2x（xN）。因?yàn)樵猩衬娣e為95萬(wàn)公頃，則到2020年底沙漠面積大約為95+0.515=98（萬(wàn)公頃）。（2）設(shè)從1996年算起，第x年年底該地區(qū)沙漠面積能減少到90萬(wàn)公頃，由題意得95+0.2x0.6(x5)=90，解得x=20（年）。故到2020年年底，該地區(qū)沙漠面積減少到90萬(wàn)公頃。點(diǎn)評(píng)：初中我們學(xué)習(xí)過的正比例、反比例和一元一次函數(shù)的定義和基本

12、性質(zhì)，我們要牢固掌握。特別是題目中出現(xiàn)的“成正比例”、“成反比例”等條件要應(yīng)用好。 例10. 一輛中型客車的營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x（xN）的變化關(guān)系如表所示，則客車的運(yùn)輸年數(shù)為（）時(shí)該客車的年平均利潤(rùn)最大。A. 4 B. 5 C. 6 D. 7x年468（萬(wàn)元）7117解：表中已給出了二次函數(shù)模型，由表中數(shù)據(jù)知，二次函數(shù)的圖象上存在三點(diǎn)（4，7），（6，11），（8，7），則解得a=1，b=12，c=-25即而取“=”的條件為即x=5，故選（B）。點(diǎn)評(píng)：一元二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)中最重要的一個(gè)模型，解決此類問題要充分利用二次函數(shù)的結(jié)論和性質(zhì)，解決好實(shí)際問題。 例11. （200

13、0全國(guó)，21）某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖中（1）的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖中（2）的拋物線表示。（1）寫出圖中（1）表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Pf（t）；寫出圖中（2）表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Qg（t）；（2）認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問何時(shí)上市的西紅柿純收益最大?（注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元102kg，時(shí)間單位：天）解：（1）由圖（1）可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為f（t）由圖（2）可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為g（t）（t150）2100，0t300. （2）設(shè)

14、t時(shí)刻的純收益為h（t），則由題意得h（t）f（t）g（t），即h（t）當(dāng)0t200時(shí)，配方整理得h（t）（t50）2100，所以，當(dāng)t50時(shí)，h（t）取得區(qū)間0，200上的最大值100；當(dāng)200t300時(shí)，配方整理得h（t）（t350）2100，所以，當(dāng)t300時(shí)，h（t）取得區(qū)間（200，300上的最大值87.5.綜上，由10087. 5可知，h（t）在區(qū)間0，300上可以取得最大值100，此時(shí)t50，即從二月一日開始的第50天時(shí)，上市的西紅柿純收益最大.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)圖象建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問題.考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力. 例12. 現(xiàn)有某種細(xì)胞100個(gè)，其

15、中有占總數(shù)的細(xì)胞每小時(shí)分裂一次，即由1個(gè)細(xì)胞分裂成2個(gè)細(xì)胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)可以超過個(gè)？（參考數(shù)據(jù)：）。解：現(xiàn)有細(xì)胞100個(gè)，先考慮經(jīng)過1、2、3、4個(gè)小時(shí)后的細(xì)胞總數(shù)，1小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；2小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；3小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；4小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；可見，細(xì)胞總數(shù)與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：，由，得，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，得答：經(jīng)過46小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)可超過個(gè)。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)要熟練應(yīng)用近似計(jì)算的知識(shí)，來對(duì)事件進(jìn)行合理的解析?！灸M試題】（答題時(shí)間：40分鐘）1. 為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（ ）A. 向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

16、再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B. 向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C. 向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度D. 向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度2. 函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都滿足，有3個(gè)實(shí)根，則這3個(gè)實(shí)根之和為（ ） A. 6 B. 9 C. 4 D. 33. 函數(shù)的圖象是（ ）4. 函數(shù)的圖象大致是（ ）5. 在直角梯形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，由沿邊運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為，的面積為，如果函數(shù)的圖象如圖（2）所示，則的面積為（ ）A. 10 B. 16 C. 18 D. 326. 由于電子技術(shù)的飛速發(fā)展，計(jì)算機(jī)的成本不斷降低，若每隔3年計(jì)算機(jī)的價(jià)格降低，則現(xiàn)在價(jià)格為

17、8100元的計(jì)算機(jī)9年后的價(jià)格為（ ） A. 300元 B. 900元 C. 2400元 D. 3600元7. 某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）分別為和，其中為銷售量（單位：輛），若該公司在這兩地共銷售15輛車，則獲得的最大利潤(rùn)為（ ） A. 45.606 B. 45.6 C. 45.56 D. 45.518. 設(shè)，二次函數(shù)的圖象為下列之一，則的值為（ ）A. 1 B. C. D. 9. 關(guān)于的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值是 。 10. 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量（噸）與每噸產(chǎn)品的價(jià)格P（元/噸）之間的關(guān)系為P=24200，且生產(chǎn)噸的成本為R=5000

18、0+200元。問該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)=收入成本）11. 已知平面ABC，垂足D在BC的延長(zhǎng)線上，且BC=CD=DA=1，設(shè)PD=，求的最大值。 12. 定義在R上的函數(shù)滿足：如果對(duì)任意，都有，則稱是R上的凹函數(shù)。已知二次函數(shù)（，且）（1）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)為凹函數(shù)；（2）如果時(shí)，試求的取值范圍。13. 已知二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點(diǎn)且，它在軸上截距為，對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有成立。（1）求二次函數(shù)解析式；（2）若二次函數(shù)圖象與直線：只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值。14. 直線：和雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，直線過點(diǎn)P（）和AB線段的中點(diǎn)M，求在軸上的截距的取值范圍。試題答案 1. A 解析：由圖象平移知識(shí)，可知可由向右平移3個(gè)單位產(chǎn)生，再將向下平移1個(gè)單位即得的圖象。 2. D 解析：由，可知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因而它的