1、2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù) 學（理）（北京卷）本試卷分第卷和第卷兩部分。第卷1至2頁、第卷3至5頁，共150分。考試時長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第卷（選擇題 共40分）一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1） 集合，則= （A） （B） （C） （D） （2）在等比數(shù)列中，公比.若，則m=（A）9 （B）10 （C）11 （D）12（3）一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正（主）視圖與側(cè)（左）視圖分別如右圖所示，則該幾何體的俯視圖為 （4）8名學

2、生和2位第師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為（A） （B） （C） （D） （5）極坐標方程表示的圖形是（A）兩個圓 （B）兩條直線（C）一個圓和一條射線 （D）一條直線和一條射線（6）為非零向量.“”是“函數(shù)為一次函數(shù)”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（7）設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域為D，若指數(shù)函數(shù)的圖像上存在區(qū)域D上的點，則的取值范圍是 （A）(1,3 (B )2,3 (C ) (1,2 (D ) 3, (8)如圖，正方體的棱長為2，動點E、F在棱上，動點P，Q分別在棱AD，CD上，若EF=1，E=，DQ=，D（大于零）

3、，則四面體的體積（）與都有關(guān)（）與有關(guān)，與、無關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)第II卷（共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。（9）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為 。（10）在ABC中，若b = 1，c =，則a = 。（11）從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）。由圖中數(shù)據(jù)可知a 。若要從身高在 120 , 130），130 ，140) , 140 , 150三組內(nèi)的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在140 ，150內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應(yīng)為 。（12）如圖，的弦ED，CB的延長線交

4、于點A。若BDAE，AB4, BC2, AD3,則DE ；CE 。（13）已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為 ；漸近線方程為 。（14）如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿軸滾動.設(shè)頂點的軌跡方程是，則函數(shù)的最小正周期為 ；在其兩個相鄰零點間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積為 。 說明：“正方形PABC沿軸滾動”包括沿軸正方向和沿軸負方向滾動。沿軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心順時針旋轉(zhuǎn)，當頂點B落在軸上時，再以頂點B為中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù). 類似地，正方形PABC可以沿軸負方向滾動。三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

5、（15）（本小題共13分） 已知函數(shù)（）求的值；（）求的最大值和最小值。（16）（本小題共14分） 如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求證：AF平面BDE；（）求證：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。 (17)(本小題共13分)某同學參加3門課程的考試.假設(shè)該同學第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為，()，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立.記為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為0123()求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；()求，的值；()求數(shù)學期望。(18)(本小

6、題共13分)已知函數(shù)()當=2時，求曲線=()在點(1，(1)處的切線方程；()求()的單調(diào)區(qū)間。（19）（本小題共14分）在平面直角坐標系中，點與點A（-1,1）關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.()求動點P的軌跡方程；()設(shè)直線AP和BP分別與直線=3交于點M,N，問：是否存在點P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。（20）（本小題共13分）已知集合對于，定義A與B的差為A與B之間的距離為（）證明：，且;（）證明：三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)() 設(shè)P，P中有m(m2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為. 證明：2020年普通

7、高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學（理）（北京卷）因為所以，當時取最大值6；當時，取最小值（16）（共14分）證明：（）設(shè)AC與BD交于點G.因為EFAG,且EF=1，AG=AC=1 所以四邊形AGEF為平行四邊形 所以AFEG 因為EG平面BDE,AF平面BDE, 所以AF平面BDE（）因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且 所以 如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系 則 所以 所以所以所以（17）（共13分） 解：事件表示“該生第門課程取得優(yōu)秀成績”，由題意知 （）由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“”是對立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是 （）由題

8、意知 整理得 (18)共13分解：（）當時， 由于 所以曲線在點處的切線方程為 即 （） 當時， 所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是 當時，由，得 所以，在區(qū)間和上，在區(qū)間上， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是 當時， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是 當時，由 ，得 所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是（19）（共14分）（）解法一：設(shè)點P的坐標為，點的坐標分別為 則直線的方程式為，直線的方程式為 令得 于是的面積 又直線AB的方程為 點P到直線AB的距離 于是的面積 當時，得 又 所以，解得 因為，所以 故存在點使得與的面積相等，此時點的坐標為 解法二：若存在點使得與的面積相等，設(shè)點P的坐標為 則 因為 故存在點使得與的面積相等，此時點的坐標為（20）（共13分）證明：（）設(shè) 因為