1、關(guān)于函數(shù)的對稱性和周期性郵編：224400 江蘇省阜寧中學(xué) 張敬祝函數(shù)的對稱性、周期性是函數(shù)的兩個基本性質(zhì)。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，研究一個函數(shù)，首看定義域、值域，然后就要研究對稱性（中心對稱、軸對稱）、周期性，并且在高考中也經(jīng)?？疾旌瘮?shù)的對稱性、周期性以及它們之間的聯(lián)系，2020年，廣東、福建兩省的高考題均出現(xiàn)大題和小題。下面我們就一些常見的性質(zhì)進行研究。一、函數(shù)的對稱性1、函數(shù)滿足時，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。證明：在函數(shù)上任取一點（x1，y1），則，點（x1，y1）關(guān)于直線的對稱點（，y1），當時，故點（，y1）也在函數(shù)圖象上。由于點（x1，y1）是圖象上任意一點，因此，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。（注

2、：特別地，a=b=0時，該函數(shù)為偶函數(shù)。）2、函數(shù)滿足時，函數(shù)的圖象關(guān)于點（，）對稱。證明：在函數(shù)上任取一點（x1，y1），則，點（x1，y1）關(guān)于點 （，）的對稱點（，cy1），當時， ，即點（，cy1）在函數(shù)的圖象上。由于點（x1，y1）為函數(shù)圖象上的任意一點可知，函數(shù)的圖象關(guān)于點（，）對稱。（注：當a=b=c=0時，函數(shù)為奇函數(shù)。）3、函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱。證明：在函數(shù)上任取一點（x1，y1），則，點（x1，y1）關(guān)于直線對稱點（，y1）。由于，故點（，y1）在函數(shù)上。由點（x1，y1）是函數(shù)圖象上任一點，因此與關(guān)于直線對稱。二、周期性1、一般地，對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)

3、T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。2、對于非零常數(shù)A，若函數(shù)滿足，則函數(shù)必有一個周期為2A。證明：函數(shù)的一個周期為2A。3、對于非零常數(shù)A，函數(shù)滿足，則函數(shù)的一個周期為2A。證明：略。4、對于非零常數(shù)A，函數(shù)滿足，則函數(shù)的一個周期為2A。證明：略。三、對稱性和周期性之間的聯(lián)系1、函數(shù)有兩根對稱軸x=a，x=b時，那么該函數(shù)必是周期函數(shù)，且對稱軸之間距離的兩倍必是函數(shù)的一個周期。已知：函數(shù)滿足，（ab），求證：函數(shù)是周期函數(shù)。證明：得得函數(shù)是周期函數(shù)，且是一個周期。2、函數(shù)滿足和（ab）時，函數(shù)是周期函數(shù)。（函數(shù)圖象有兩個對稱中心（a

4、，）、（b，）時，函數(shù)是周期函數(shù)，且對稱中心距離的兩倍，是函數(shù)的一個周期。）證明：由 得 得 函數(shù)是以2b2a為周期的函數(shù)。3、函數(shù)有一個對稱中心（a，c）和一個對稱軸）（ab）時，該函數(shù)也是周期函數(shù)，且一個周期是。證明：略。四、知識運用2020高考中，福建、廣東兩省的試卷都出現(xiàn)了對這方面的知識的考查，并且福建卷的12題是一個錯題?，F(xiàn)一并錄陳如下，供大家參考。1、（2020福建理）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且，則方程在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是（ ）A2B3C4D5解：是R上的奇函數(shù)，則，由得， x=1，2，3，4，5時，這是答案中的五個解。但是 又 知 而 知 也成立，可知：在（0，6）內(nèi)的解的個數(shù)的最小值為7。2、（2020廣東 19）設(shè)函數(shù)在（，）上滿足，且在閉區(qū)間0，7上，只有。試判斷函數(shù)的奇偶性；試求方程在閉區(qū)間2020，2020上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論。解：由，得函數(shù)的對稱軸為，。由前面的知識可知函數(shù)的一個周期為T=10。因為函數(shù)在0，7上只有可知 ，又 而 且，則，因此，函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。由，可得故函數(shù)在0，10和1