1、,4.1 不定積分的概念與性質(zhì) 4.2 不定積分的換元積分法 4.3 不定積分的分部積分法 4.4 積分表的用法,第4章 不定積分,結(jié)束,又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x的原函數(shù).,定義 設(shè)f (x) 在某區(qū)間上有定義，如果對(duì)該區(qū)間的任意點(diǎn)x都有 F(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx 則稱(chēng)F(x)為 f (x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).,4.1.1 原函數(shù)的概念,例如: ， 是函數(shù) 在 上的原函數(shù). ,sin x是cos x在 上的原函數(shù).,4.1 不定積分的概念與性質(zhì),(2)如果f(x)在某區(qū)間上存在原函數(shù)，那么原函數(shù)不是

2、唯一的,且有無(wú)窮多個(gè),注:(1)如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存在具體理由將在下一章給出,例如 而,在 上 是 的原函數(shù),也是它的原函數(shù),即 加任意常數(shù)都是 的原函數(shù).,(3) 若函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I 上存在原函數(shù)，則其任意兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng).,此結(jié)論由Lagrange定理推論可證,定義2 如果函數(shù)F(x)是f (x)在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù)，那么f (x)的全體原函數(shù)F(x) C(C為任意常數(shù))稱(chēng)為f (x)在區(qū)間 I 上的不定積分. 記作,其中記號(hào) 稱(chēng)為積分號(hào)，f (x)稱(chēng)為被積函數(shù)，f (x)dx稱(chēng)為被積表達(dá)式，x稱(chēng)為積分變量，C為積分常數(shù).,即,2.不定積分的概

3、念,例2 求,解,例1 求,解,例3 求,解,3 不定積分與微分的關(guān)系,微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算.,特別地，有,4.1.2不定積分的基本積分公式,例4 計(jì)算下列積分,解,例5 計(jì)算下列積分,解 (1),(2),4.1.3 不定積分的性質(zhì),性質(zhì)1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分 號(hào)的前面.,性質(zhì)2可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，即,性質(zhì)2 兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的不定積分等于各函數(shù) 不定積分的和(或差)，即,例6 求,解,注 逐項(xiàng)積分后，每個(gè)積分結(jié)果中均含有一個(gè)任意 常數(shù)由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此只 要寫(xiě)出一個(gè)任意常數(shù)即可,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,解,例10 求,解

4、,解,例11 求,例12 求,解,有些積分在基本積分公式中沒(méi)有相應(yīng)的類(lèi)型，但 經(jīng)過(guò)對(duì)被積函數(shù)的適當(dāng)變形，化為基本公式所列函數(shù) 的積分后，便可逐項(xiàng)積分求得結(jié)果如例912。,函數(shù)f (x)的原函數(shù)圖形稱(chēng)為f (x)的積分曲線(xiàn),不定積分表示的不是一個(gè)原函數(shù),而是無(wú)窮多個(gè)(全部)原函數(shù),通常說(shuō)成一族函數(shù),反映在幾何上則是一族曲線(xiàn),這族曲線(xiàn)稱(chēng)為f (x)的積分曲線(xiàn)族.,4.1.4.不定積分的幾何意義,在相同的橫坐標(biāo)處,所有積分曲線(xiàn)的斜率均為k,因此,在每一條積分曲線(xiàn)上,以x為橫坐標(biāo)的點(diǎn)處的切線(xiàn)彼此平行（如圖）.f (x)為積分曲線(xiàn)在(x, f (x)處的切線(xiàn)斜率.,解 設(shè)所求的曲線(xiàn)方程為 ,依題意可知,

5、因此所求曲線(xiàn)的方程為,4.2.1 第一類(lèi)換元法,例1,原因在于被積函數(shù)cos 2x與公式 中的被積函數(shù)不一樣.如果令u=2x，則cos2x=cos u，d u=2dx，從而,所以有,4.2 換元積分法,綜合上述分析，此題的正確解法如下：,解,定理1,根據(jù)不定積分的定義，則有,公式(1)稱(chēng)為不定積分的第一換元積分公式，應(yīng)用第一換元積分公式計(jì)算不定積分的方法稱(chēng)第一換元積分法.也稱(chēng)“湊微分”法,應(yīng)用定理1求不定積分的步驟為,例2 求,解,解,例3 求,例4 求,解,例5 求,類(lèi)似地，有,解,(2),(3),(4),(5),此外還可以得到一組積分公式：,4.2.2 第二類(lèi)換元積分法,例6 求,解 作變

6、量代換,令 ,可將無(wú)理函數(shù)化為 有理函數(shù)的積分,所以有,一般的說(shuō)，若積分 不易計(jì)算可以作適當(dāng)?shù)?變量代換 ，把原積分化為 的形 式而可能使其容易積分.當(dāng)然在求出原函數(shù)后， 還要 將 代回.還原成x的函數(shù)，這就是第二換元 積分法計(jì)算不定積分的基本思想.,設(shè) 是單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)， 且,定理2,那么,應(yīng)用第二類(lèi)換元法求不定積分的步驟為,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,解,例10 求,解,例8例10中的解題方法稱(chēng)為三角代換法或三角換元法.,一般的說(shuō)，應(yīng)用三角換元法作積分時(shí)適用于如下情形：,補(bǔ)充的積分公式：,由函數(shù)乘積的微分公式,移項(xiàng)得,對(duì)上式兩端同時(shí)積分，得,公式(1)或公式(2)稱(chēng)為分部積分公式 .,或,4.3 分部積分法,注意：,使用分部積分公式的目的是在于化難為易，解題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)倪x擇u和v.,選u的法則是: 指多弦多只選多 反多對(duì)多不選多 指弦同在可任選 一旦選中要固定,即一般情況下，u與dv按以下規(guī)律選擇,例1 求,解,例2 求,解,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,在計(jì)算積分時(shí),有時(shí)需要同時(shí)使用換元積分法與分部積分法.,把常用的積分公式匯集成表，這種表叫做積分表.積分表是按照被積函數(shù)的類(lèi)型來(lái)排列的.求積分時(shí)，可根據(jù)被積函數(shù)的類(lèi)型直接地或經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變形后，在表內(nèi)查得所