1、26.426.4 解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 【知識與能力】 1.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有關(guān)概念,知道坡度與坡角之間的關(guān)系. 2.經(jīng)歷用三角函數(shù)解決問題的過程,能夠把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,進(jìn)一步體會三角函數(shù) 在解決問題過程中的作用. 3.能夠借助計算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計算,并能對結(jié)果的意義進(jìn)行說明. 4.通過在具體情境中,從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,并綜合運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的 實際問題. 【過程與方法】 1.通過畫示意圖,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力,提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識 解決實際問題的能力. 2.經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學(xué)模型

2、的過程,增強(qiáng)應(yīng)用意識,提高解決問題的能力,體會數(shù)形結(jié) 合思想的應(yīng)用. 3.培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,提高學(xué)生思維能力的靈活性. 【情感態(tài)度價值觀】 1.通過學(xué)生經(jīng)歷根據(jù)實際問題畫示意圖的過程,培養(yǎng)學(xué)生的動手能力,激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好 奇心和求知欲. 2.通過將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,培養(yǎng)建模思想,提高分析問題、解決問題的能力. 3.調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動性,培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真思考等學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成事實求是的科 學(xué)態(tài)度. 教學(xué)重難點教學(xué)重難點 【教學(xué)重點】 1.用三角函數(shù)有關(guān)知識解決仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等實際問題. 2.能根據(jù)題意畫出示意圖,將實際問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形元

3、素之間的關(guān)系. 【教學(xué)難點】 正確理解題意,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的過程. 課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程教學(xué)過程 一、新課導(dǎo)入： 導(dǎo)入一: 復(fù)習(xí)提問: 1.如圖所示,在 RtABC中,C=90. (1)三邊a,b,c有什么關(guān)系? (2)兩銳角A,B有怎樣的關(guān)系? (3)邊與角之間有怎樣的關(guān)系? 2.解直角三角形應(yīng)具備怎樣的條件? 3.什么是仰角、俯角、方位角? 【師生活動】學(xué)生回答問題,教師點評歸納. 導(dǎo)入二: 如圖所示,小明在距旗桿 4.5 m 的點D處,仰視旗桿頂端A,仰角(AOC)為 50;俯視旗 桿底部B,俯角(BOC)為 18.求旗桿的高.(結(jié)果精確到 0.1 m) 【思

4、考】 (1)要求旗桿的高,實際是要求圖中哪條線段的長度?圖中有哪些已知條件? (2)在 RtAOC中,如何求線段AC的長度? (3)在 RtBOC中,如何求線段BC的長度? 【師生活動】學(xué)生思考后獨立完成,小組內(nèi)交流答案,互相檢查錯誤,教師在巡視中幫 助有困難的學(xué)生,對學(xué)生的解答進(jìn)行點評,然后導(dǎo)出新課. 設(shè)計意圖通過復(fù)習(xí)解直角三角形的有關(guān)知識,為學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容做好鋪墊,以舊 引新,幫助學(xué)生建立新舊知識間的聯(lián)系,以解決生活實際問題引出新課,激發(fā)學(xué)生的好奇心和 求知欲,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)應(yīng)用的意義. 二、新知構(gòu)建： 過渡語新課導(dǎo)入中用解直角三角形的知識解決了實際生活問題,在生活實際中還有 許多問題可

5、以用解直角三角形的知識解決,讓我們一起去探究吧! 例題講解 【課件展示】 (教材 117 頁例 1)如圖所示,一艘漁船以 30 海里/時的速度由西向東航行.在A 處看見小島C在船北偏東 60的方向上.40 min 后,漁船行駛到B處,此時小島C在船北偏東 30的方向上.已知以小島C為中心,10海里為半徑的范圍內(nèi)是多暗礁的危險區(qū).如果這艘漁 船繼續(xù)向東航行,有沒有進(jìn)入危險區(qū)的可能? 思路一 教師引導(dǎo)分析: (1)如何判斷有沒有進(jìn)入危險區(qū)的可能? (點C到直線AB的距離與 10 海里比較大小) (2)要求點C到直線AB的距離,需要作什么輔助線? (過點C作CDAB,交AB的延長線于點D) (3)要

6、求CD的長,CD在哪個直角三角形中? (RtBCD和 RtACD中) (4)RtBCD和 RtACD中,有什么已知條件? (RtBCD中,CBD=60;RtACD中,CAD=30) (5)解決幾何計算問題時,常用什么數(shù)學(xué)思想方法? (方程思想) (6)設(shè)CD=x,則直角三角形中的邊長能否用x表示? (7)題目中的等量關(guān)系是什么?你能列方程求解嗎? (8)根據(jù)以上分析,你能寫出解答過程嗎? 【師生活動】學(xué)生在教師提出的問題的引導(dǎo)下,思考回答,師生共同分析解題思路,學(xué) 生獨立完成解答過程,教師在巡視過程中及時輔導(dǎo),鼓勵學(xué)生從不同的角度思考問題,最后展 示學(xué)生的解答過程,教師規(guī)范書寫過程,強(qiáng)調(diào)方程思

7、想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用. 【課件展示】 解:如圖所示,過點C作CDAB,交AB的延長線于點D,則CBD=60 在 RtBCD中,tanCBD=tan 60=. 若設(shè)CD=x,則BD=x. 在 RtACD中,CAD=30 所以 tanCAD=tan 30=, 即AD= x. 因為AD-BD=AB,AB=30 =20, 所以x- x=20,解得x=10. 因為 1010,所以這艘漁船繼續(xù)向東航行,不會進(jìn)入危險區(qū). 思路二 【教師活動】教師引導(dǎo)學(xué)生要判斷會不會進(jìn)入危險區(qū),需要作輔助線,構(gòu)造直角三角 形. 【學(xué)生活動】根據(jù)題意畫出圖形,思考解題思路和方法. 【教師活動】引導(dǎo)學(xué)生用方程思想解決幾何中的求線段的

8、長度問題. 【學(xué)生活動】 獨立思考后,小組合作交流解題思路,完成解題過程,小組代表展示過程. 【教師活動】教師在巡視過程中,幫助有困難的學(xué)生,對學(xué)生的展示進(jìn)行點評,并規(guī)范 解題過程,強(qiáng)調(diào)解決實際問題的關(guān)鍵. 【課件展示】 同思路一. 設(shè)計意圖通過教師引導(dǎo)或自主學(xué)習(xí)方式解決有關(guān)方位角的實際問題,讓學(xué)生進(jìn)一步 體會數(shù)形結(jié)合思想、建模思想和方程思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,提高學(xué)生分析問題、解決問題的 能力,體會將實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題的一般思路和方法. 認(rèn)識有關(guān)概念 【課件展示】 如圖所示,通常把坡面的垂直高度h和水平寬度l的比 叫做坡面的坡度 (或坡比),坡面與水平面的夾角 叫做坡角. 【思考】

9、坡度i與坡角 之間具有什么關(guān)系? 【師生活動】學(xué)生小組合作交流,歸納結(jié)論,教師點評. 【課件展示】 (教材 118 頁例 2)如圖所示,鐵路路基的橫斷面為四邊形ABCD,其中,BCAD, A=D,根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)計算路基下底的寬和坡角(結(jié)果精確到 1). 教師引導(dǎo)分析: (1)進(jìn)行和坡度有關(guān)的計算,常作輔助線構(gòu)造直角三角形,根據(jù)解直角三角形的知識求坡 角. (2)根據(jù)坡度概念及梯形的高,可以求出AE,DF的長. (3)由矩形的性質(zhì)可得EF與BC的數(shù)量關(guān)系,求出EF的長,從而求出底AD的長. (4)在 RtABE中,由坡角和坡度之間的關(guān)系可求出坡角. 【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生分析,然后學(xué)生獨立

10、完成解答過程,小組內(nèi)交流答案,小組 代表板書過程,教師進(jìn)行點評. 【課件展示】 解:如圖所示,作BEAD,CFAD,垂足分別為E,F. 在四邊形BEFC中, BCAD,AEB=DFC=90 四邊形BEFC為矩形. BC=EF,BE=CF. 在 RtABE和 RtDCF中, A=D,AEB=DFC,BE=CF, RtABERtDCF. AE=DF. 在 RtABE中, tan =,BE=4, 3839,AE=5. AD=AE+EF+FD=BC+2AE=10+25=20. 即路基下底的寬為 20 m,坡角約為 3839. 追問: 你能總結(jié)利用解直角三角形的有關(guān)知識解決實際問題的一般過程嗎? 【師生

11、活動】 學(xué)生思考后小組合作交流,共同歸納解題過程,教師對學(xué)生的回答給予鼓 勵,師生共同歸納解題思路和方法. 歸納: (1)將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(畫出示意圖,將其轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題); (2)根據(jù)問題中的條件,適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)解直角三角形; (3)得到數(shù)學(xué)問題的答案; (4)得到實際問題的答案. 設(shè)計意圖學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,通過獨立思考和小組合作交流,利用解直角三角形 的知識解決有關(guān)坡度問題,進(jìn)一步讓學(xué)生體會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的建模過程.坡度 問題計算過程很繁瑣,通過嚴(yán)格要求學(xué)生,選擇最簡練、 準(zhǔn)確的方法計算,培養(yǎng)學(xué)生運算能力, 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及解題能力. 做一做 【課件

12、展示】如圖所示,某水庫大壩的橫斷面是四邊形ABCD,DCAB,壩頂寬CD=3 m, 斜坡AD=16 m,壩高為 8 m,斜坡BC的坡度為.求斜坡AD的坡角 和壩底的寬AB(結(jié)果精確 到 0.01 m). 【師生活動】 學(xué)生獨立完成后,小組內(nèi)交流答案,教師在巡視過程中幫助有困難的學(xué)生, 對學(xué)生的展示進(jìn)行點評,同時規(guī)范學(xué)生的書寫過程. 設(shè)計意圖通過做一做,使學(xué)生進(jìn)一步體會運用解直角三角形知識解決坡度問題的過 程,培養(yǎng)學(xué)生建模思想及將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力,提高學(xué)生分析問題、 解決問題的 能力. 知識拓展 1.解決實際問題時,可利用正南、正北、正西、正東方向線構(gòu)造直角三角形求解. 2.坡度也叫坡比,即i= ,一般寫成 1m的形式(比的前項是 1,