1、.,1,平行束和扇形束算法的轉(zhuǎn)換,16級(jí) 曹婷婷、敖經(jīng)盛 2017年7月,.,2,平行束圖像重建(FBP) 扇形束圖像重建,.,3,平行束圖像重建,1、圖像重建的基本原理 CT中用探測(cè)器測(cè)量X射線透過(guò)人體后的強(qiáng)度值，即為X射線與人體相互作用后沿某一方向的線積分（投影）。 x射線掃描通過(guò)路徑后 其中P為投影值 基本出發(fā)點(diǎn)是：尋求衰減系數(shù) 分布。,.,4,中心切片定理: 二維圖像的一維投影（線積分）的傅立葉變換，恰好等于圖像本身的二維傅立葉變換的一個(gè)特定截面。,.,5,通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)投影方向，可以得到各個(gè)方向上傅立葉變換的特定截面，從而獲得整個(gè)二維平面的傅立葉變換，最后由傅立葉逆變換得到重建的圖像,.,

2、6,平行束圖像重建,濾波反投影法（FBP) （1）求投影數(shù)據(jù) 的以s為變量的一維傅里葉變換， 得到 （2）對(duì) 乘以斜波濾波器的傳遞函數(shù) ，得到 （3）求 的以 為變量的以為傅里葉反變換，得到,.,7,將直角坐標(biāo)（u，v）轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)（w, ）.,雅各比行列式為,故,則,.,8,具體的推導(dǎo),根據(jù)中心切片定理，可以用P來(lái)代替F:,其中 是斜坡濾波器的傳遞函數(shù),.,9,交換積分次序：,卷積的形式,卷積核,最終的形式：,.,10,扇形束圖像重建,對(duì)于平行束成像，我們用中心切片定理推導(dǎo)出了一些圖像重建的算法。對(duì)于扇形束成像，并沒有相應(yīng)的中心切片定理。 轉(zhuǎn)換的思路： 把所有的扇形束射線放在一起進(jìn)行分組，把

3、互相平行的射線分為一組，這樣就把扇形束的成像問(wèn)題簡(jiǎn)化為平行束的成像問(wèn)題。,.,11,對(duì)與扇形束成像，我們并沒有相應(yīng)的中心切片定理。我們只好想個(gè)別的辦法來(lái)推導(dǎo)扇形束的圖像重建算法。這個(gè)辦法就是把扇形束的成像問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平行光束的成像問(wèn)題，把平行光束圖像重建的算法修正一下然后應(yīng)用于解決扇形束的成像問(wèn)題中。,.,12,.,13,.,14,等角度扇形重建算法,出發(fā)點(diǎn)是平行束的FBP的算法推導(dǎo)，但是要用極坐標(biāo) ，而不是直角坐標(biāo)系（x,y）的表達(dá)式，所以要對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行替換：,.,15,已知平行束重建算法為： 轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)后得：,.,16,利用 將平行束的變量dsd換成扇形束的變量dd， 其中雅克比因子為 ，這

4、樣可得,變成,對(duì)這一部分利用幾何關(guān)系化簡(jiǎn),.,17,.,18,斜坡濾波器卷積核的一個(gè)特殊性質(zhì)：,證明過(guò)程如下：斜坡濾波卷積核的定義是,不加窗時(shí)成立，加窗時(shí) 會(huì)使重建不精確,.,19,.,20,假如我們現(xiàn)在想重建某點(diǎn) 的值，我們先確定一個(gè)，即確定了源的位置，由于重建點(diǎn)的位置也是確定的，故D和均為確定的值。然后用卷積核 對(duì)不同角的信號(hào)進(jìn)行卷積。 當(dāng)這個(gè) 角度的卷積完成后， 我們對(duì)0-180所有角度的做 一個(gè)積分，即背投影過(guò)程。 這就是扇形束的濾波背投影算法。,.,21,短掃描,在平行光束成像中，當(dāng)探測(cè)器繞物體旋轉(zhuǎn)2 (即360), 每一條投影射線都被測(cè)了兩次。冗余的數(shù)據(jù)可由下面這個(gè)表達(dá)式給出 可見

5、, 由兩個(gè)面對(duì)面的探測(cè)器測(cè)得的數(shù)據(jù)都是冗余的。所以，探測(cè)器旋轉(zhuǎn)180 即可提供足夠的數(shù)據(jù)。,.,22,根據(jù)同樣的道理，當(dāng)扇形束探測(cè)器旋轉(zhuǎn)2, 每條投影射線也都被測(cè)到了兩次。冗余的數(shù)據(jù)可由下面這個(gè)表達(dá)式給出 由于數(shù)據(jù)冗余，在扇形束數(shù)據(jù)采集中沒有必要讓探測(cè)器做2 全掃描。掃描角度() 可以小于2, 這種掃描方式叫做短掃描。,.,23,角度 的最小取值范圍取決于數(shù)據(jù)采集時(shí)物體與探測(cè)器之間的幾何關(guān)系。角度的最小取值區(qū)間可能小于 (下圖左)，可能等于 (中)，也可能大于 ( 右)。確定掃描區(qū)間的原則是，我們感興趣的物體中的每一點(diǎn)都要有180的角度覆蓋。 要注意的是，在扇形束短掃描成像中，并不是所有的線積分都被剛好測(cè)到一次。有些線積分被測(cè)到一次，而另一些線積分會(huì)被測(cè)到兩次。即使在掃描角度 的范圍小于 的情形, 還是有一些線積分會(huì)被測(cè)到兩次的。其實(shí)，任何直線，只要它與扇形的焦點(diǎn)軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)，那么沿這條線的線積分就被測(cè)到了兩次(圖3.10)。,.,24,其實(shí)，任何直線，只要它與扇形的焦點(diǎn)軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)，那么沿這條線的線積分就被測(cè)到了兩次。為了獲得足夠的數(shù)據(jù)來(lái)做斷層成像，我們要求過(guò)物體的每一條線的線積分都要至少被測(cè)到一次。對(duì)于冗余的數(shù)據(jù)，在圖像重建時(shí)需要施加適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)來(lái)處理。舉例來(lái)說(shuō)，若一個(gè)線積分被測(cè)到了兩次，對(duì)它們要進(jìn)行加權(quán)，而且它們的