1、.,1,小波變換原理與應(yīng)用,.,2,主要內(nèi)容,小波的基本概念什么是小波 小波的發(fā)展歷史工程到數(shù)學(xué) 小波的基本類型多分辨分析 小波的快速算法Mallat算法 小波包分解算法精細(xì)化處理 小波的工程應(yīng)用時(shí)頻分析與降噪等 小波的結(jié)合應(yīng)用小波網(wǎng)絡(luò)等,.,小波的基本概念什么是小波,在當(dāng)代信息社會(huì)，諸多領(lǐng)域都會(huì)涉及到信號的分析、加工、識(shí)別、傳輸及儲(chǔ)存等問題。長期以來，傅里葉變換一直是處理這方面問題最重要的工具，并且已經(jīng)發(fā)展了一套內(nèi)容非常豐富并在許多實(shí)際問題中行之有效的方法。 但是傅里葉分析的致命弱點(diǎn)是不能做局部分析，只適用于平穩(wěn)信號的分析。而在實(shí)際中，瞬變信號大量存在，人們往往需要的是某一時(shí)問內(nèi)的某一頻段的

2、信息。為克服傅里葉分析的不足，出現(xiàn)了小波分析。,.,4,小波的基本概念什么是小波,小波是什么？ 小波可以簡單的描述為一種函數(shù)，這種函數(shù)在有限時(shí)間范圍內(nèi)變化，并且平均值為0。這種定性的描述意味著小波具有兩種性質(zhì):A、具有有限的持續(xù)時(shí)間和突變的頻率和振幅；B、在有限時(shí)間范圍內(nèi)平均值為0。,.,5,小波的基本概念什么是小波,小波的“容許”條件 用一種數(shù)學(xué)的語言來定義小波，即滿足“容許”條件的一種函數(shù)，“容許”條件非常重要，它限定了小波變換的可逆性。 小波本身是緊支撐的，即只有小的局部非零定義域，在窗口之外函數(shù)為零；本身是振蕩的，具有波的性質(zhì)，并且完全不含有直流趨勢成分，即滿足,.,小波的基本概念什么

3、是小波,原始小波稱為母小波。母小波在時(shí)域、頻域的 有效延伸范圍有限,位置固定。為了分析時(shí)域、頻域的有效延伸范圍與位置不同的信號,小波的時(shí)域、頻域有效延伸范圍與位置應(yīng)能調(diào)節(jié)。采用的辦法是對母小波進(jìn)行伸縮、平移,生成以下函數(shù)族: 其中a稱為伸縮因子，b稱為平移因子。,.,7,小波的基本概念什么是小波,信號的信息表示 時(shí)域表示：信號隨時(shí)間變化的規(guī)律，信息包括均值、方差、峰度以及峭陡等，更精細(xì)的表示就是概率密度分布（工程上常常采用其分布參數(shù)） 頻域表示：信號在各個(gè)頻率上的能量分布，信息為頻率和譜值（頻譜或功率譜），為了精確恢復(fù)原信號，需要加上相位信息（相位譜），典型的工具為FT 時(shí)頻表示：時(shí)間和頻率聯(lián)

4、合表示的一種信號表示方法，信息為瞬時(shí)頻率、瞬時(shí)能量譜 信號處理中，對不同信號要區(qū)別對待，以選擇哪種或者哪幾種信號表示方法,.,8,小波的基本概念什么是小波,平穩(wěn)信號 非平穩(wěn)信號 不滿足平穩(wěn)性條件至少是寬平穩(wěn)條件的信號,.,9,小波的基本概念什么是小波,信號的時(shí)域表示和頻域表示只適用于平穩(wěn)信號，對于非平穩(wěn)信號而言，在時(shí)間域各種時(shí)間統(tǒng)計(jì)量會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化，失去統(tǒng)計(jì)意義；而在頻率域，由于非平穩(wěn)信號頻譜結(jié)構(gòu)隨時(shí)間的變化而變化導(dǎo)致譜值失去意義,.,10,小波的基本概念什么是小波,時(shí)頻表示主要目的在于實(shí)現(xiàn)對非平穩(wěn)信號的分析，同樣的可以應(yīng)用于平穩(wěn)信號的分析,.,11,小波的基本概念什么是小波,為什么選

5、擇小波 小波提供了一種非平穩(wěn)信號的時(shí)間-尺度分析手段，不同于FT方法，與STFT方法比較具有更為明顯的優(yōu)勢,.,12,小波的基本概念什么是小波,.,13,小波的基本概念什么是小波,.,14,小波的發(fā)展歷史工程到數(shù)學(xué),1807: Joseph FourierFT，只有頻率分辨率而沒有時(shí)間分辨率 1909: Alfred Haar發(fā)現(xiàn)了Haar小波 1945: GaborSTFT 1980：MorletMorlet小波，并分別與20世紀(jì)70年代提出了小波變換的概念，20世紀(jì)80年代開發(fā)出了連續(xù)小波變換CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer提

6、出了第一個(gè)正交小波Meyer小波 1988： Stephane MallatMallat快速算法（塔式分解和重構(gòu)算法）,.,15,小波的發(fā)展歷史工程到數(shù)學(xué),1988： Inrid Daubechies作為小波的創(chuàng)始人，揭示了小波變換和濾波器組(filter banks)之間的內(nèi)在關(guān)系，使離散小波分析變成為現(xiàn)實(shí) Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科學(xué)家在把小波理論引入到工程應(yīng)用方面做出了極其重要貢獻(xiàn) 在信號處理領(lǐng)域中，自從Inrid Daubechies完善了小波變換的數(shù)學(xué)理論和Stephane Mallat構(gòu)造了小波分解和重構(gòu)的快速算法后，小波變換在各個(gè)

7、工程領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，典型的如語音信號處理、醫(yī)學(xué)信號處理、圖像信息處理等,.,小波的基本類型多分辨分析,小波變換是將信號分解成一個(gè)叫做小波的基函數(shù)序列,而這些基函數(shù)則使用一個(gè)原型小波采取伸縮和平移(即定尺度和定偏移量)的方法獲得。因此,每一個(gè)小波都可以用兩個(gè)參數(shù)來描述,即尺度和位置。小波變換能夠把任何信號映射到一個(gè)由基本小波伸縮、平移而成的一組小波函數(shù)上去,實(shí)現(xiàn)信號在不同時(shí)刻、不同頻帶的合理分離而不丟失任何原始信息,小波變換方法所具有的這種時(shí)頻靈活性可以在通信及信號處理領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)時(shí)域頻域的無縫隙過渡。,.,17,小波的基本類型多分辨分析,關(guān)于小波有兩種典型的概念：連續(xù)小波變換，離散小波變換

8、 連續(xù)小波變換定義為 可見，連續(xù)小波變換的結(jié)果可以表示為平移因子a和伸縮因子b的函數(shù),.,18,小波的基本類型多分辨分析,傅立葉分解過程,小波分解過程,.,19,小波的基本類型多分辨分析,伸縮因子對小波的作用,.,20,小波的基本類型多分辨分析,平移因子對小波的作用 平移因子使得小波能夠沿信號的時(shí)間軸實(shí)現(xiàn)遍歷分析，伸縮因子通過收縮和伸張小波，使得每次遍歷分析實(shí)現(xiàn)對不同頻率信號的逼近,.,21,小波的基本類型多分辨分析,連續(xù)小波變換實(shí)現(xiàn)過程 首先選擇一個(gè)小波基函數(shù)，固定一個(gè)尺度因子，將它與信號的初始段進(jìn)行比較 ； 通過CWT的計(jì)算公式計(jì)算小波系數(shù)（反映了當(dāng)前尺度下的小波與所對應(yīng)的信號段的相似程度

9、）； 改變平移因子，使小波沿時(shí)間軸位移，重復(fù)上述兩個(gè)步驟完成一次分析； 增加尺度因子，重復(fù)上述三個(gè)步驟進(jìn)行第二次分析； 循環(huán)執(zhí)行上述四個(gè)步驟，直到滿足分析要求為止。,.,22,小波的基本類型多分辨分析,.,23,小波的基本類型多分辨分析,小波逆變換 如果小波函數(shù)滿足“容許”條件，那么連續(xù)小波變換的逆變換是存在的,.,24,小波的基本類型多分辨分析,連續(xù)小波變換的性質(zhì) 疊加性（線性） 時(shí)移不變性 尺度特性 微分特性 內(nèi)積定理 能量守恒特性 冗余性,.,25,小波的基本類型多分辨分析,離散小波變換DWT（ discrete wavelet transform，DWT ）定義 對尺度參數(shù)按冪級數(shù)進(jìn)行

10、離散化處理，對時(shí)間進(jìn)行均勻離散取值 （要求采樣率滿足尼奎斯特采樣定理）,.,26,小波的基本類型多分辨分析,離散小波變換的可逆問題框架理論 DWT的可逆問題蘊(yùn)含的是DWT的表達(dá)能夠完整的表達(dá)待分析信號的全部信息，這就需要數(shù)學(xué)上的框架理論作為支撐了，如果對于所有的待分析信號滿足框架條件，那么DWT就是可逆的,.,27,小波的基本類型多分辨分析,正交小波變換與多分辨分析 多分辨分析也稱為多尺度分析，是建立在函數(shù)空間概念上的理論。它構(gòu)造了一組正交基，使得尺度空間與小波空間相互正交。隨著尺度由大到小的變化，可在各尺度上由粗及精地觀察目標(biāo)。這就是多分辨率分析的思想。在離散小波框架下，小波系數(shù)在時(shí)間-尺度

11、空間域上仍然具有冗余性，在數(shù)值計(jì)算或數(shù)據(jù)壓縮等方面仍然希望這種冗余度盡可能的小。在小波變換發(fā)展過程中，Stromberg、Meyer、Lemarie、Battle和Daubechies等先后成功的構(gòu)造了不同形式的小波基函數(shù)的基礎(chǔ)上，是Meyer和Mallat將小波基函數(shù)的構(gòu)造納入到了一個(gè)統(tǒng)一的框架中，形成了多分辨分析理論。多分辨率分析理論不但將在那時(shí)之前的所有正交小波基的構(gòu)造統(tǒng)一了起來，而且為此后的小波基的構(gòu)造設(shè)定了框架。,.,28,小波的基本類型多分辨分析,正交小波變換與多分辨分析 對于小波基函數(shù)為 ，如果函數(shù)族 構(gòu)成 內(nèi)的正交基，就稱小波為正交小波，在正交小波基礎(chǔ)上進(jìn)行的小波變換稱為正交小

12、波變換，只有滿足正交小波變換才可稱為多分辨分析，正交小波變換是完全沒有冗余的，非常適合做數(shù)據(jù)壓縮。,.,29,小波的基本類型多分辨分析,典型的正交小波Haar小波,.,30,小波的基本類型多分辨分析,典型的正交小波Meyer小波,.,小波的基本類型多分辨分析,選擇小波函數(shù)的“四項(xiàng)原則” 正交； 線性相位； 連續(xù)； 緊支撐,.,32,小波的快速算法Mallat算法,在多分辨分析的討論中，可以看到正交小波變換可以等效為一組鏡像濾波的過程，即信號通過一個(gè)分解高通濾波器和分解低通濾波器，自然的高通濾波器輸出對應(yīng)的信號的高頻分量部分，稱為細(xì)節(jié)分量，低通濾波器輸出對應(yīng)了信號的相對較低的頻率分量部分，稱為近

13、似分量。對應(yīng)的快速算法稱為Mallat算法,.,33,小波的快速算法Mallat算法,濾波分解算法帶來一個(gè)新的問題，就是針對離散的數(shù)據(jù)序列，經(jīng)過濾波分解會(huì)得到多于原數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的數(shù)據(jù)序列。比如，原數(shù)據(jù)序列有1000個(gè)采樣點(diǎn)，經(jīng)過濾波分解后，會(huì)得到1000點(diǎn)的近似分量序列和1000點(diǎn)的細(xì)節(jié)分量序列，這樣就得到了2000個(gè)采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)，在小波變換的Mallat算法實(shí)現(xiàn)中，可以利用降采樣的方法即在輸出的兩點(diǎn)中只取一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，這樣產(chǎn)生兩個(gè)為原信號數(shù)據(jù)長度一半的序列，稱為簡單記為cA和cD，雖然近似分量和細(xì)節(jié)分量的數(shù)據(jù)長度僅為原信號序列的一半，但是卻完整的包含的原信號的信息內(nèi)容。,.,34,小波的快速算法Ma

14、llat算法,Mallat算法的降采樣,.,35,小波的快速算法Mallat算法,小波分解樹,.,36,小波的快速算法Mallat算法,到此我們已經(jīng)知道離散小波變換是怎么樣分析或者怎樣來分解一個(gè)信號，這個(gè)過程通常也稱為分解分析，那么自然想到另外一個(gè)對應(yīng)的問題就是如何將這些分解得到分量能夠整合到一起恢復(fù)原信號并且沒有任何的信息損失，這一過程就稱為小波重構(gòu)或者小波合成，實(shí)質(zhì)上就是逆離散小波變換（Inverse Discrete Wavelet Transform，簡稱：IDWT）。在離散小波變換或小波分解的過程中包含了濾波和降采樣，那么在小波重構(gòu)過程中需要進(jìn)行過采樣和濾波。過采樣是通過在相鄰采樣點(diǎn)

15、之間插入零值的來實(shí)現(xiàn)的，利用過采樣可以使得信號分量的長度增加為原來的兩倍，以達(dá)到和需要重構(gòu)信號一致的采樣數(shù)據(jù)長度。,.,37,小波的快速算法Mallat算法,.,38,小波的快速算法Mallat算法,塔式分解和重構(gòu)示意圖,.,39,小波的快速算法Mallat算法,局部分量的重構(gòu) 在一些工程應(yīng)用中，只需要關(guān)心信號中的某個(gè)分量，此時(shí)對細(xì)節(jié)分量和近似分量的單獨(dú)重構(gòu)成為必要，通過將其他分量系數(shù)置零的方式，利用Mallat算法是非常容易的,.,40,小波包分解算法精細(xì)化處理,小波包分析可以看作是小波分解的一種推廣方法，利用小波包進(jìn)行分析可以得到對信號更為精細(xì)的分析結(jié)果。通過將頻帶進(jìn)行多層次劃分，對多分辨

16、分析沒有細(xì)分的高頻分量部分進(jìn)行進(jìn)一步的分解，并根據(jù)被分析信號特征，通過自適應(yīng)的選擇相應(yīng)頻帶，達(dá)到與信號頻譜的匹配，實(shí)現(xiàn)精細(xì)化處理。小波包原子是一種被時(shí)間、尺度和頻率來表征的函數(shù)波形，對于一個(gè)給定的正交小波函數(shù)，我們能夠在此基礎(chǔ)上生成一組基，這組基一般稱為小波包基。簡單的說，小波包就是一個(gè)函數(shù)族，可以由這組函數(shù)族構(gòu)造出L2(R)的標(biāo)準(zhǔn)正交基庫，從這組標(biāo)準(zhǔn)正交基庫中可以選擇出多組標(biāo)準(zhǔn)正交基，對于多分辨分析小波變換（正交小波變換）只是選擇了其中的一組基，從這個(gè)意義上講小波包就是小波變換的一種推廣。,.,41,小波包分解算法精細(xì)化處理,小波包分解樹,.,小波變換的特點(diǎn),小波分解可以覆蓋整個(gè)頻域（提供了

17、一個(gè)數(shù)學(xué)上完備的描述） 小波變換通過選取合適的濾波器，可以極大的減小或去除所提取得不同特征之間的相關(guān)性 小波變換具有“變焦”特性，在低頻段可用高頻率分辨率和低時(shí)間分辨率（寬分析窗口），在高頻段，可用低頻率分辨率和高時(shí)間分辨率（窄分析窗口） 小波變換實(shí)現(xiàn)上有快速算法（Mallat小波分解算法）,.,43,小波的工程應(yīng)用時(shí)頻分析與降噪,時(shí)間-尺度-小波系數(shù)圖 小波分解可以得到一組小波細(xì)節(jié)分量和近似分量系數(shù)，將時(shí)間-尺度-小波系數(shù)聯(lián)合表示，就得到了信號的時(shí)間-尺度分析結(jié)果，不過這里帶來兩個(gè)問題：第一 小波的尺度是不連續(xù)的，這樣得到的時(shí)間-尺度-小波系數(shù)表示解讀起來比較困難，雖然根據(jù)框架理論可以推測到

18、冗余系數(shù)在時(shí)間-尺度平面上產(chǎn)生的額外的分布信息，但是這畢竟顯得不夠直觀；第二個(gè)問題就是，有時(shí)候想在時(shí)間-尺度時(shí)頻表示和時(shí)間-頻率時(shí)頻表示中進(jìn)行比較分析，那么尺度和頻率之間應(yīng)該存在著一定的關(guān)系，這種關(guān)系是如何確立的,.,44,小波的工程應(yīng)用時(shí)頻分析與降噪,尺度與頻率的關(guān)系 尺度和頻率之間存在一個(gè)倒數(shù)關(guān)系，這個(gè)倒數(shù)關(guān)系式和信號的采樣周期以及選擇的小波基函數(shù)的中心頻率有關(guān)，假設(shè)尺度因子為a，信號的采樣周期為，小波基函數(shù)的中心頻率為fc，那么和尺度因子a對應(yīng)的頻率fa可以用下面的式子來計(jì)算,.,45,小波的工程應(yīng)用時(shí)頻分析與降噪,仿真信號的小波時(shí)頻表示（cmor3-3小波）,.,46,小波的工程應(yīng)用時(shí)頻分析與降噪,小波在工程上應(yīng)用的困難：分解層數(shù)的確定和小波基函數(shù)的合理選擇，仿真信號的時(shí)頻表示（cgau6 ）,.,47,小波的工程應(yīng)用時(shí)頻分析與降噪,小波降噪 小波降噪主要包括：小波模極大值降噪、基于小波系數(shù)尺度間相關(guān)性的去噪法、小波閾值去噪法。其中以小波閾值降噪方法最為經(jīng)典。小波閾值降噪法的基本原理是，經(jīng)小波變換后得到的小波系數(shù)，包含信號本身信息和噪聲信息，一般情況下，隨機(jī)噪聲的小波系數(shù)非常小，這樣可以設(shè)定一個(gè)閾值，對