1、,泰勒 級數(shù),泰勒(Taylor)級數(shù),洛朗 級數(shù),洛朗(Laurent)級數(shù),張紅英,張紅英,1. 問題的引入,4.3 泰勒(Taylor)級數(shù),2. 泰勒級數(shù)展開定理,3. 簡單初等函數(shù)的泰勒展開式,4. 小結(jié),一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的 收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù)。,1. 問題的引入,問題: 任一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)來表達？,如圖:,冪級數(shù)性質(zhì)回顧：,定理（泰勒級數(shù)展開定理）,2. 泰勒(Taylor)級數(shù)展開定理,代入(1),分析：,聯(lián)合(I),(II),(*)式,證明：,注：,(2) 展開式的唯一性,分析：設(shè)f (z)用另外的方法展開為冪級數(shù):,直接法,間接法：由展開式的唯一性，運用級

2、數(shù)的代數(shù) 運算、分析運算和 已知函數(shù)的展開式來展開,函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法：,3. 簡單初等函數(shù)的泰勒展開式,例1,解：,直接法,間接法,例2 把下列函數(shù)展開成 z 的冪級數(shù):,解：,(2)由冪級數(shù)逐項求導性質(zhì)得：,注:通過奇點判斷收斂范圍。,4. 小結(jié)：F(z)在z0點解析,1. 引入,4.4 羅朗(Laurent)級數(shù),2. 雙邊冪級數(shù),3. Laurent級數(shù)展開定理,4. 函數(shù)的Laurent級數(shù)展開式,5 小結(jié),回顧：f (z) 在z0解析,思考：若 f (z) 在z0點不解析，但在圓環(huán)域 : R1z - z0R2 內(nèi)解析，那么，f (z)能 否用級數(shù)表示呢？,1. 引入,

3、f (z)在z0的某一個 圓域z - z0R 內(nèi)展開成 z - z0的冪級數(shù)。,例：,由此推想，若f (z) 在R 1z - z0R2 內(nèi)解析, f (z) 可以展開成含有負冪次項的級數(shù),即,本節(jié)將討論在以z 0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析 的函數(shù)的級數(shù)表示法。它是后面將要研究的解 析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù) 數(shù)和計算留數(shù)的基礎(chǔ)。,2. 雙邊冪級數(shù),-含有負冪項的級數(shù),定義 形如,-雙邊冪級數(shù),負冪項部分,正冪項(包括常數(shù)項)部分,是一冪級數(shù)，設(shè)收斂半徑為R2 ， 收斂域：z - z0=R2 。,收斂域：,注：,(2)在圓環(huán)域的邊界z - z0=R1, z - z0=R2上,3. 洛朗級

4、數(shù)展開定理,定理,(2)在許多實際應用中，經(jīng)常遇到f (z)在奇點 z0的去心鄰域內(nèi)解析，需要把f (z)展成洛朗 （ Laurent ）級數(shù)來展開。,級數(shù)中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為 洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。,(3) 展開式的唯一性,一個在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有 正、負冪項的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是f (z) 的洛朗級數(shù)。,分析：,由唯一性，將函數(shù)展開成Laurent級數(shù)，主要 用間接法。,例1,解,4 函數(shù)的Laurent級數(shù)展開式,例2,解,例3,解,例4,解:,無 奇 點,注意首項,解 (1) 在(最大的)去心鄰域,例5,(2) 在(最大的)去心鄰域,練習：,(1) Laurent級數(shù)與Taylor 級數(shù)的不同點： Taylor級數(shù)先展開求收斂半徑R, 找出收斂域。 Laurent級數(shù)先求 f(z) 的奇點，然后以 z0為中心 奇點為分隔點，找出z0到無窮遠點的所有使 f(z) 解析的環(huán)域，在環(huán)域上展成級數(shù)。,5 小結(jié),(3)根據(jù)區(qū)域判別級數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)級數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f (z)展成 洛朗( Laurent )級數(shù)。,(1)對于無理函數(shù)及其它初等函數(shù)的洛朗展開式，可以利用已知基本初等函數(shù)的泰勒展開式，經(jīng)過代換、逐次求導、逐次積分等計算獲得。,(4) 把f (z)展成洛朗級數(shù)的方法：,(