1、6.1 概述 研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的學(xué)科稱為概率論，而由隨機(jī)現(xiàn)象的一部分試驗(yàn)資料去研究全體現(xiàn)象的數(shù)量特征和規(guī)律的學(xué)科稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)。 由于水文現(xiàn)象具有一定的隨機(jī)性，用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法來(lái)分析研究這些現(xiàn)象稱為水文統(tǒng)計(jì)學(xué)。,第六章 水文統(tǒng)計(jì),6.2 概率的基本概念,一、事件,事件是指隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。,必然事件：如果可以斷定某一事件在試驗(yàn)中必然發(fā)生，稱此事件必然事件。,不可能事件：可以斷定試驗(yàn)中不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件。,隨機(jī)事件：某種事件在試驗(yàn)結(jié)果中可以發(fā)生也可以不發(fā) 生，這樣的事件就稱為隨機(jī)事件。,二、概率 隨機(jī)事件在試驗(yàn)結(jié)果中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，但其出現(xiàn)（或不出現(xiàn)）可能性的大小則有所不同。為了

2、比較這種可能性的大小，必須賦于一種數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)就是事件的概率。,6.2 概率的基本概念,三、頻率 水文事件不屬古典概率事件，只能通過試驗(yàn)來(lái)估算概率。設(shè)事件在次試驗(yàn)中出現(xiàn)了次，則稱 為事件A 的頻率。,6.2 概率的基本概念,擲幣試驗(yàn)出現(xiàn)正面的頻率表,在試驗(yàn)次數(shù)足夠大的情況下，事件的頻率和概率是十分接近的。,6.2 概率的基本概念,（）（）（）（） 式中，（）事件與之和的概率； （）事件的概率； （）事件的概率。 （）事件和共同發(fā)生的概率。,四概率加法定理和乘法定理,概率加法定理,6.2 概率的基本概念,2、概率乘法定理 （）（）（） （）（） 式中，（）事件在事件已發(fā)生情況下的概率，

3、簡(jiǎn)稱為的條件概率。 （）事件在事件已發(fā)生情況下 的概率，簡(jiǎn)稱為的條件概率。 對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立事件： （）（）（）,6.2 概率的基本概念,A,B,互斥,A,B,A,B,A,B,獨(dú)立,例：某地區(qū)位于河流甲與乙的匯合點(diǎn)。當(dāng)任一河流泛濫時(shí)，該地區(qū)即被淹沒，設(shè)在某時(shí)期內(nèi)河流甲泛濫的概率為0.1，河流乙泛濫的概率為0.2；又知當(dāng)河流甲泛濫時(shí)，河流乙泛濫的概率為0.3。求在該時(shí)期內(nèi)這個(gè)地區(qū)被淹沒的概率。又當(dāng)河流乙泛濫時(shí)河流甲泛濫的概率？,例：某地區(qū)位于河流甲與乙的匯合點(diǎn)。當(dāng)任一河流泛濫時(shí)，該地區(qū)即被淹沒，設(shè)在某時(shí)期內(nèi)河流甲泛的概率為0.1，河流乙泛濫的概率為0.2；又知當(dāng)河流甲泛濫時(shí)，河流乙泛濫的概率為0.3

4、。求在該時(shí)期內(nèi)這個(gè)地區(qū)被淹沒的概率。又當(dāng)河流乙泛濫時(shí)河流甲泛濫的概率？,解：記河流甲泛濫為事件，河流乙泛濫為事件。這個(gè)地區(qū)被淹沒的概率為：,（AB）（A）（B）（AB）,（A）（B）（BA）（A）,0.10.20.30.1,0.27,由于 （AB）（B）（BA）（A）,故當(dāng)河流乙泛濫時(shí)，河流甲泛濫的概率為,0.30.1 / 0.2,0.15,（AB）（BA）（A）/ （B）,6.3 隨機(jī)變量及其概率分布,一、隨機(jī)變量 隨機(jī)變量是表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)量表示，隨機(jī)變量可分為兩大類型：離散型隨機(jī)變量，連續(xù)型隨機(jī)變量。 水文隨機(jī)變量一般指水文特征值，屬于連續(xù)型隨機(jī)變量。,二、隨機(jī)變量的概率分布 隨機(jī)變

5、量的取值與其概率有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱為隨機(jī)變量的概率分布，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)上記為F（x）P（X x），稱為隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)。 水文統(tǒng)計(jì)中通常研究隨機(jī)變量的取值大于某一個(gè)值的概率，F(xiàn)（x）P（Xx）在水文統(tǒng)計(jì)學(xué)上也稱此為隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)（或概率分布曲線）。,某雨量站的年雨量分布曲線,0.6,0.4,0.2,1100,1000,900,800,700,x,0.8,1.0,P（X x）,若x800mm，由分布曲線知P（X800）0.6，表明年雨量超過800mm的概率等于60。 年雨量在800mm900mm間的概率是多少呢？ 這就要討論的隨機(jī)變量落在某區(qū)間（x，x x）內(nèi)的概率，可用下式表示：

6、P（xxXx）F（x）F（xx） 從圖31得: F（800）0.60 ； F（900）0.21 故： P（900x800）0.600.210.39 年雨量落在800mm至900mm之間的可能性是39。,函數(shù)f（x）-F（x）為概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為密度函數(shù)或密度曲線。,f(x),x,f(x)dx,dx,概率密度函數(shù),f(x),x,密度函數(shù),F(xp)=P(Xxp),xp,f(x),x,xp,概率分布函數(shù)與密度函數(shù)關(guān)系,F(xp)=P(Xxp),F(x),F(xp),x,三、隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù) 概率分布曲線完整地刻劃了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。但在一些實(shí)際問題中，有時(shí)只要知道概率分布某些特征數(shù)值。這種以

7、簡(jiǎn)便的形式顯示出隨機(jī)變量分布規(guī)律的某些特征數(shù)字稱為隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。,統(tǒng)計(jì)參數(shù)有總體統(tǒng)計(jì)參數(shù)與樣本統(tǒng)計(jì)參數(shù)之分。水文計(jì)算中常用的樣本統(tǒng)計(jì)參數(shù)有均值、均方差、變差系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)。,1.均值 均值表示系列中變量的平均情況。設(shè)某水文變量的觀測(cè)系列（樣本）為 x1,x2，,xn ， 則其均值為:,令 , 稱模比系數(shù)，則 :,2.均方差 均方差是反映系列中各變量集中或離散的程度。研究系列集中或離散程度，常采用方差 或均方差 ，計(jì)算公式為,均方差對(duì)頻率曲線的影響,1,2,3離勢(shì)系數(shù)（離差系數(shù)，變差系數(shù)） 例如:甲地區(qū)的年雨量分布， 1200mm，均方差1360mm；乙地區(qū)的年雨量分布， 800mm，均方

8、差2320mm。盡管12，但是 ，應(yīng)從相對(duì)觀點(diǎn)來(lái)比較這兩個(gè)分布的離散程度。 采用一個(gè)無(wú)因次的數(shù)字來(lái)衡量分布的相對(duì)離散程度，稱為離勢(shì)系數(shù),4偏態(tài)系數(shù)（偏差系數(shù)） 反映分布是否對(duì)稱的特征CS參數(shù)，記為,用來(lái)表征分布不對(duì)稱的情況。當(dāng)密度曲線對(duì)EX對(duì)稱，CS0；若不對(duì)稱，當(dāng)正離差的立方占優(yōu)時(shí)，CS 0，稱為正偏；當(dāng)負(fù)離差的立方占優(yōu)勢(shì)時(shí)，CS 0，稱為負(fù)偏。,Cs 0,Cs0,Cs 0,Cs 對(duì)密度曲線的影響,水文分析計(jì)算中使用的概率分布曲線俗稱水文頻率曲線，習(xí)慣上把由實(shí)測(cè)資料（樣本）繪制的頻率曲線稱為經(jīng)驗(yàn)頻率曲線 ，而把由數(shù)學(xué)方程式所表示的頻率曲線稱為理論頻率曲線 。,所謂水文頻率分布線型是指所采用的

9、理論頻率曲線( 頻率函數(shù) )的型式，目前不論哪種線型都缺乏物理依據(jù)，它的選擇主要取決于與大多數(shù)水文資料的經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)的擬合情況（皮爾遜III型分布）。,6.4.1 分布線型 6.4.1.1 正態(tài)分布 概率密度函數(shù)形式：,式中， 平均數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)差 正態(tài)分布在誤差估算時(shí)將會(huì)應(yīng)用。,6.4 水文頻率計(jì)算,正態(tài)分布密度曲線,f(x),68.3%,6.4.1.2 皮爾遜型分布 皮爾遜III型曲線為一端有限一端無(wú)限的不對(duì)稱單峰曲線，概率密度函數(shù),式中，a0參數(shù)，且有：,如果已知設(shè)計(jì)值xP，推求,xp 取決于p、和O四個(gè)數(shù)，并且當(dāng)、O 三個(gè)參數(shù)為已知時(shí)，則xp只取決于p了。、O與分布曲線的EX，CV和CS有關(guān)

10、，因此只要確定EX、CV和CS，xp僅與p有關(guān)，可以由p唯一地來(lái)計(jì)算xp。,P3型分布的積分無(wú)解析解，實(shí)用中制表查用。,取標(biāo)準(zhǔn)化變量（離均系數(shù)）,將之代入式（322）得,被積函數(shù)只含一個(gè)參數(shù)CS。只要給定CS就可以算出P和P的對(duì)應(yīng)值，最終制定出PCsp 的對(duì)應(yīng)數(shù)值表（表32）。,由給定的CS及p從表32查出P，通過xP （P CV1）EX 即可決定出xP。因此，已知EX，CV，CS就可求出與各種p值相應(yīng)的xP值，也就可以繪制分布曲線或頻率曲線。 例如，已知某地年平均雨量EX1000mm、CV0.5、CS1.0，求p1%的設(shè)計(jì)年雨量。,由CS=1.0，p1% 查得 P=3.02，,X1%=（P

11、Cv1）EX,（3.020.51）1000, 2510（mm）,CS,p,在頻率計(jì)算時(shí)，由已知的Cs值，查值表得出不同的P的，然后利用已知的EX、Cv，通過公式即可求出與各種P相應(yīng)的x，從而可繪制出皮爾遜型頻率曲線。,把頻率曲線畫在普通方格紙上，頻率曲線的兩端特別陡峭，又因圖幅的限制，對(duì)于特小頻率或特大頻率，尤其是特大頻率的點(diǎn)子很難點(diǎn)在圖上。頻率格紙，就能較好地解決這個(gè)問題，所以在頻率計(jì)算時(shí)，一般都是把頻率曲線點(diǎn)繪在頻率格紙上。,頻率格紙,頻率格紙,(0.01,3.720) , (50,0.000),6.4.2 頻率曲線參數(shù)估算,在概率分布函數(shù)中包含有 ，CV，CS三個(gè)參數(shù)。為了唯一確定概率分

12、布函數(shù)，就得估算這些參數(shù)。 一、樣本估計(jì)總體 隨機(jī)變量所取數(shù)值的全體稱為總體，從總體中任意抽取的一部分稱為樣本，樣本中所包括的項(xiàng)數(shù)稱為樣本容量。水文變量的總體是指自古迄今以至未來(lái)長(zhǎng)遠(yuǎn)歲月所有的水文系列，是不知道的，需要靠觀測(cè)到的樣本去估計(jì)總體參數(shù)。現(xiàn)有的水文觀測(cè)的系列可以當(dāng)作總體的一個(gè)隨機(jī)樣本來(lái)處理。,隨著樣本容量的增即隨著觀測(cè)次數(shù)的增加，頻率w就非常接近于概率p，經(jīng)驗(yàn)分布曲線就非常接近于總體分布曲線。在某種程度上由樣本的經(jīng)驗(yàn)分布來(lái)推測(cè)總體分布，總體的參數(shù)就可以通過抽出的樣本（觀測(cè)的系列）,來(lái)加以估算。,（ 1）樣本的均值X，即 （2）樣本標(biāo)準(zhǔn)差S ，即 （3）樣本離勢(shì)系數(shù)CV ，即,矩法公式

13、,（4）樣本偏態(tài)系數(shù)CS ，即 只要掌握了樣本，借助上列公式估計(jì)出參數(shù)；就可推出概率分布曲線，這種方法叫做矩法。,原矩法公式得出的S，CV ，和CS 并不是無(wú)偏估計(jì)量，目前水文上采用的是經(jīng)修正后的矩法公式:,用一個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)參數(shù)來(lái)代替總體的統(tǒng)計(jì)參數(shù)是存在一定誤差的，這種誤差是由于從總體中隨機(jī)抽取的樣本與總體有差異而引起的，與計(jì)算誤差不同，稱為抽樣誤差。,抽樣誤差,一、經(jīng)驗(yàn)頻率,根據(jù)實(shí)測(cè)水文資料，按從大到小的順序排列，然后用經(jīng)驗(yàn)頻率公式計(jì)算系列中各項(xiàng)的頻率，稱為經(jīng)驗(yàn)頻率。以水文變量x為縱坐標(biāo)，以經(jīng)驗(yàn)頻率P為橫坐標(biāo)，點(diǎn)繪經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)，根據(jù)點(diǎn)群趨勢(shì)繪出一條平滑的曲線，稱為經(jīng)驗(yàn)頻率曲線。,6.4.2.

14、2 適線法,經(jīng)驗(yàn)頻率的計(jì)算,目前我國(guó)水文計(jì)算廣泛采用的是數(shù)學(xué)期望公式:,式中 p- 等于和大于xm的經(jīng)驗(yàn)頻率； m- xm的序號(hào)，即等于或大于xm的項(xiàng)數(shù)； n-系列的總項(xiàng)數(shù)。,某地年降雨量經(jīng)驗(yàn)分布曲線,0 20 40 60 80 100 p（%）,x,1200,1000,800,二、經(jīng)驗(yàn)頻率曲線,p（Xxi）i / n+1,經(jīng)驗(yàn)頻率曲線存在的問題,經(jīng)驗(yàn)頻率曲線計(jì)算工作量小，繪制簡(jiǎn)單，查用方便，但受實(shí)測(cè)資料所限 , 往往難以滿足設(shè)計(jì)上的需要。為此，提出用理論頻率曲線來(lái)配合經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)，這就是水文頻率計(jì)算適線法。,頻率這個(gè)詞比較抽象，為便于理解，有時(shí)采用重現(xiàn)期這個(gè)詞。所謂重現(xiàn)期是指某隨機(jī)變量的取值在長(zhǎng)

15、時(shí)期內(nèi)平均多少年出現(xiàn)一次，又稱多少年一遇。 在工程水文中，重現(xiàn)期用字母 T 表示，一般以年為單位。,頻率與重現(xiàn)期的關(guān)系,(6) 今后10年內(nèi)不發(fā)生超標(biāo)準(zhǔn)洪水的概率,(7) 今后10年內(nèi)發(fā)生超標(biāo)準(zhǔn)洪水的概率,(8) 今后10年內(nèi)堤防受破壞的概率,三、目估適線法,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)頻率分布點(diǎn)據(jù)，找出與之配合最佳的頻率曲線，其相應(yīng)的分布參數(shù)，作為總體分布參數(shù)的估計(jì)值。,（1）點(diǎn)繪經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù) 縱坐標(biāo)為變量值，橫坐標(biāo)為經(jīng)驗(yàn)頻率，采用期望值公式估計(jì)。,（2）初定一組參數(shù) 用矩法公式的估算EX和CV，并假定CS與CV的比值K估算CS 。,（3）根據(jù)初定的EX、CV和CS，計(jì)算頻率曲線，并繪在點(diǎn)有經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的圖上。若與經(jīng)驗(yàn)

16、點(diǎn)據(jù)配合不理想，則修改參數(shù)再次配線，主要調(diào)整CV以及CS 。,（4）選擇一條與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)配合最佳曲線作為采用曲線。該曲線的參數(shù)看作總體參數(shù)的估計(jì)值。,計(jì)算步驟：,為了避免修改參數(shù)的盲目性，需要了解參數(shù)對(duì)頻率曲線的影響。 由頻率曲線圖可明顯看出，CV值愈大，曲線愈陡；當(dāng)CS增大時(shí)，曲線上段變陡而下段趨于平緩。 配線法采用了概率格紙，以正態(tài)分布曲線成直線來(lái)劃分概率坐標(biāo)的。當(dāng)CS0，頻率曲線在概率紙上為一直線。其特點(diǎn)是橫坐標(biāo)的兩端分格較稀而中間較密，縱坐標(biāo)為均勻分格或?qū)?shù)分格。這樣，曲線兩端的坡度變緩，使用起來(lái)比較方便。,某站年降水量頻率計(jì)算表,某站共有實(shí)測(cè)降水量資料24年，求頻率為10%和90%的年

17、降水量。,（1）將原始資按大小次序排列，列入表（4）欄。,（2）按期望值公式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)頻率，列入表（5）欄。并將X與P對(duì)應(yīng)點(diǎn)繪于概率格紙上。,（3）用矩法計(jì)算系列的多年平均降水量和離差系數(shù)。,（4）選定CV0.30，并假定CS2CV0.60查表3-2得P，求得 xP （PCV1），如表（3）欄。根據(jù)表中（1）、（3）兩欄的對(duì)應(yīng)數(shù)值點(diǎn)繪曲線，發(fā)現(xiàn)曲線頭部和尾部都偏于經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)之下。,（5）改變參數(shù)，重新配線。因?yàn)榍€頭尾部偏低，故需增大CS，CV0.30不變，CS3CV0.90，查算出各xP值，列入表（4）、（5）欄，點(diǎn)繪后曲線的頭部和尾部反而有些偏離，配線仍不理想。,（6）再次改變參數(shù)，第三次

18、配線。把CS稍微調(diào)小一些。選定CV0.30，CS2.5 CV0.75，查表計(jì)算出各xP值，列入表（6）、（7）欄中。繪制頻率曲線，該線與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)配合較好，取為最后采用的頻率曲線。,（7）求得p10%的年降水量為933mm，p90%的年降水量為433mm。,頻率曲線選配計(jì)算表,適線法得到的成果仍具有抽樣誤差，而這種誤差目前還難以精確估算，因此對(duì)于工程上最終采用的頻率曲線及相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)，不僅要從水文統(tǒng)計(jì)方面分析，而且還要密切結(jié)合水文現(xiàn)象的物理成因及地區(qū)規(guī)律進(jìn)行綜合分析。,一、相關(guān)關(guān)系的概念 1相關(guān)的意義與應(yīng)用 按數(shù)理統(tǒng)計(jì)法建立上述兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量之間的聯(lián)系，稱之為相關(guān)關(guān)系。把對(duì)這種關(guān)系的分析和建立稱為相關(guān)分析。 水文上用相關(guān)分析可以延長(zhǎng)和插補(bǔ)短系列,使水文資料滿足代表性要求。,相關(guān)分析,3相關(guān)分析的內(nèi)容 （1）判定變量間是否存在相關(guān)關(guān)系，若存在，計(jì)算其相關(guān)系數(shù)，以判斷相關(guān)的密切程度； （2）確定變量間的數(shù)量關(guān)系回歸方程或相關(guān)線； （3）根據(jù)自變量的值，預(yù)報(bào)或延長(zhǎng)、插補(bǔ)倚變量的值，并對(duì)該估值進(jìn)行誤差分析。,二、直線相關(guān),1相關(guān)圖解法 設(shè)xi 和yi 代表兩系列的觀測(cè)值，共有n 對(duì)，把對(duì)應(yīng)值點(diǎn)繪于方格紙上，如果相關(guān)點(diǎn)的平均趨勢(shì)近似直線，即可通過點(diǎn)群中間及（ ， ）點(diǎn)繪出相關(guān)直線,說明變量x與y為線性相關(guān), 滿足方程： y a bx,某 流 域