1、第5章 直接積分法最重要的分析方法（時程分析）,浙江大學 謝旭,5.1 概述,數(shù)值積分法是根據(jù)已知的位移、速度、加速度和荷載條件，計算下一時刻振動響應的方法。,顯式積分、隱式積分,顯式積分是在第i步計算中狀態(tài)ti滿足運動方程式的計算方法。 用顯式積分法計算結構響應時，為了提高計算精度，時間間隔t必須十分小，否則，隨著計算步數(shù)的增加，誤差不斷積累、出現(xiàn)發(fā)散的現(xiàn)象。 隱式積分是滿足ti+t時刻運動方程式的計算方法。這種算法由于函數(shù)f包含未知的結構響應，因此，需要通過反復迭代的方法計算ti+t時刻的響應，它是一個非線性計算的過程。,常用的隱式積分法,隱式積分歸結為求解非線性方程組。但是從計算效率考慮

2、，在結構動力響應分析中一般對它的計算過程加以修正提高計算收斂性和效率，各種改進算法中Newmark 法和Wilson 法是結構振動響應分析中最常用的兩種方法。,5.2 Newmark 法,Newmark 法是一種加速度法，它是根據(jù)時間增量內假定的加速度變化規(guī)律計算結構動力響應的方法。由于時間增量內加速度變化規(guī)律的假定形式是任意的，因此Newmark 法有多種形式的計算公式。為了方便理解起見，以下通過幾種特殊情況的加速度算法來介紹Newmark 法。,線性加速度法 假定時刻ti到ti+1 (=ti+t)之間加速度線性變化,對上式積分得到速度和位移響應：,在時刻ti+1結構振動響應應滿足運動方程：

3、 代入方程，得到ti+1時刻的加速度： 進一步計算ti+1時刻的速度、位移。,Newmark 法有很多的表示形式，也可以表示成直接計算位移的形式。與直接計算加速度響應的計算方法相比，直接計算位移響應的計算方法更加常用。關于直接計算位移的方法后面再介紹。,2. 平均加速度法 假定加速度在ti- ti+1區(qū)間內為平均值： 速度、位移為：,在時刻ti+1結構振動響應應滿足運動方程： 得到ti+1時刻的加速度為： 進一步計算ti+1時刻的速度、位移。,3. Newmark 法統(tǒng)一的表達式,線性加速度結果,平均加速度結果,統(tǒng)一表達式,=1/6 為線性加速度 =1/4 為平均加速度,用增量形式表示,振動方

4、程,位移、速度和加速度增量,這里,根據(jù)上式，得到速度和加速度的增量,代入運動方程,Newmark 法的收斂性,可以證明， Newmark 法當1/4時，計算是無條件收斂的。 Newmark 法是工程計算中最常用的方法，,Newmark 法計算過程,5.3 wilson法,同Newmark 法一樣，wilson法也是結構振動分析的常用計算方法之一。 wilson法的基本假定是在時間間隔 t（1.0）內加速度響應線形變化 。,因此，在間隔內任意時刻的加速度根據(jù)線性內插可以表示為：,對上式積分，得到速度和位移的計算式,代入結構運力方程式,得到計算,時刻位移的方程組,得到位移后進一步得到t+加速度，然

5、后內插得到t+t加速度，進一步計算位移和速度。,當1.37時Wilson法為無條件穩(wěn)定的計算方法,wilson法的計算過程,1. 計算常數(shù),2. 等效剛度計算,3. 對每一時間步計算等效荷載增量 4. 解方程計算位移,5.計算時刻t+t的響應,用增量形式表示的Wilson法（推導省略）,計算公式,增量方程,得到 時刻的響應， 再轉變成t+t的響應：,Wilson法計算框圖,與Newmark 法相似，不再重復。,直接積分法的補充說明,一種算法很難同時兼顧穩(wěn)定性和精度，穩(wěn)定與精度往往具有相反的傾向，穩(wěn)定性好的計算方法精度相對比較差一些。一般而言，顯式積分的穩(wěn)定性差一些，而且時間間隔的取值對計算穩(wěn)定性的影響很大。 穩(wěn)定性好的計算方法并不意味可以用任意大的時間步長進行積分計算，無條件穩(wěn)定的計算方法（比如Wilson法）雖然不會發(fā)生數(shù)學上的發(fā)散現(xiàn)象，但是容易出現(xiàn)早期結果偏大、后期出現(xiàn)異常振動的計算結果