1、1單調(diào)性的定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)? 如果對(duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的 ，當(dāng)x1x2時(shí)，都有 ，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù),任意兩個(gè)自變量的,值x1，x2,f(x1)f(x2),如果對(duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的 ，當(dāng)x1x2時(shí)，都有 ，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù) 如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上是 ，那么就說(shuō)函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的) ，區(qū)間D叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間,任意兩個(gè)自變量的值,x1，x2,f(x1)f(x2),增函數(shù)或減函數(shù),單調(diào)性,2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 (1)比較大??；(2)求函數(shù)的值域或最值； (3)解、證不等式； (4)作函數(shù)的圖象 3證

2、明函數(shù)單調(diào)性的方法 (1)定義法(基本方法)：其一般步驟是：取值：設(shè)x1、x2為所給區(qū)間內(nèi)D的任意兩個(gè)值，且x1x2；作差(正值可作商)：f(x1)f(x2)；變形；定號(hào)；結(jié)論 (2)導(dǎo)數(shù)法：求導(dǎo)f(x)；判斷f(x)在區(qū)間上的符號(hào)；結(jié)論：f(x)0f(x)在上為 ，f(x)0f(x)在上為 ,增函數(shù),減函數(shù),4判斷函數(shù)單調(diào)性的方法 (1)定義法； (2)求導(dǎo)法； (3)利用已知函數(shù)的單調(diào)性； (4)利用圖象,5復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 對(duì)于復(fù)合函數(shù)yfg(x)，若tg(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，且yf(t)在區(qū)間(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是單調(diào)函數(shù)；若tg(x)與yf(t

3、)的單調(diào)性相同(同時(shí)為增或減)，則yfg(x)為；若tg(x)與yf(t)的單調(diào)性相反，則yfg(x)為 簡(jiǎn)稱為：同增異減,增函數(shù),減函數(shù),6函數(shù)的最大(小)值 (1)定義：設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足： 對(duì)于任意的xI，都有f(x)M(f(x)M) 存在x0I，使得f(x0)M.那么，我們稱M是函數(shù)yf(x)的最大值(最小值) (2)求法： 配方法；判別式法；不等式法；換元法；數(shù)形結(jié)合；單調(diào)性法,(3)求最值時(shí)注意的問(wèn)題 求函數(shù)最值的方法，實(shí)質(zhì)與求函數(shù)值域的方法類似，只是答題方式有差異 無(wú)論何種方法求最值，都要考慮“”能否成立,7函數(shù)的值域 (1)函數(shù)的值域的概念 在函數(shù)

4、yf(x)中，與自變量x的值對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域,(2)確定函數(shù)值域的原則 當(dāng)函數(shù)yf(x)用列表法給出時(shí)，函數(shù)的值域是指表格中實(shí)數(shù)y的集合 當(dāng)函數(shù)yf(x)由圖象給出時(shí)，函數(shù)的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y的集合 當(dāng)函數(shù)yf(x)用解析式給出時(shí)，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定 當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，函數(shù)的值域還應(yīng)考慮問(wèn)題的實(shí)際意義,1如果函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，4上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是() A3，) B(，3 C(，5 D3，) 解析f(x)x22(a1)x2的對(duì)稱軸為x1a， f(x)在(，1a上是減函數(shù)，

5、要使f(x)在區(qū)間(，4上是減函數(shù)， 則只需1a4，即a3. 答案B,答案C,3(2010山東文數(shù))函數(shù)f(x)log2(3x1)的值域?yàn)?) A(0，) B0，) C(1，) D1，) 答案A,點(diǎn)評(píng)與警示用定義證明函數(shù)的單調(diào)性就是在定義域內(nèi)取任意兩數(shù)x1，x2(x10.這通常需要將f(x1)f(x2)分解成幾個(gè)可判斷符號(hào)的式子的乘積,已知函數(shù)f(x)x3ax. (1)若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由,解(1)解法一：(定義法)設(shè)x10，即a0， 所以只需a0. 即a0時(shí)

6、，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,解法二：(導(dǎo)數(shù)法)，因?yàn)閒(x)3x2a，若f(x)在R上遞增，則由f(x)0，得3x2a0，即a3x2. 而x(1,1)時(shí)，03x23，所以a3，即當(dāng)a3時(shí)，f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減,點(diǎn)評(píng)與警示(1)討論函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)在其定義域內(nèi)進(jìn)行 (2)利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟要熟悉 (3)利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)單調(diào)性的依據(jù)是：在某個(gè)區(qū)間上，若f(x)0，則f(x)遞增；若f(x)0.則f(x)遞減,已知函數(shù)f(x)x33ax. (1)若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的

7、取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解定義法(導(dǎo)數(shù)法) (1)a0 (2)a1時(shí),分析(1)的求解可用賦值法；對(duì)于(2)，應(yīng)利用單調(diào)性定義來(lái)證明，其中應(yīng)注意f(xy)f(x)f(y)的應(yīng)用；對(duì)于(3)，應(yīng)利用(2)中所得的結(jié)果及f(xy)f(x)f(y)進(jìn)行適當(dāng)配湊將所給不等式化為fg(x)f(a)的形式，再利用f(x)的單調(diào)性脫去符號(hào)“f”求解,點(diǎn)評(píng)與警示本題中的函數(shù)是抽象形式的函數(shù)，涉及了函數(shù)在某點(diǎn)處的值，函數(shù)單調(diào)性的證明、不等式的求解在本題的求解中，一個(gè)典型的方法技能是根據(jù)所給式子f(xy)f(x)f(y)進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值或配湊,4函數(shù)的最值求法 (1)若函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)型的函數(shù)，常用配方法 (2)函數(shù)單調(diào)性的變化是求最值和值域的主要依據(jù)，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出后，再判斷其增減性是求最值和值域的前提，當(dāng)然，函數(shù)圖象是函數(shù)單調(diào)性的最直觀體現(xiàn) (3)基本不