1、1,第七章 數(shù)學(xué)物理方程及其定解問(wèn)題,數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出 定解條件 數(shù)學(xué)物理方程的分類 達(dá)朗貝爾公式 定解問(wèn)題,2,3.數(shù)學(xué)物理方程的分類,若 ,如果方程可以表為:,1.基本概念,a. 二階偏微分方程:,即方程中偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)是2次的,則稱為二階偏微分方程,b. 二階線性偏微分方程:,若其中的系數(shù)只是自變量的函數(shù)，即只是 的函數(shù)，則稱為是線性的方程,3,c. 齊次二階線性偏微分方程:,若則稱方程是齊次的,2.疊加原理,當(dāng)泛定方程和定解條件都是線性的，可以把定解問(wèn)題的解看作 幾個(gè)部分的解的線性疊加.,4,7.4 達(dá)朗貝爾公式 定解問(wèn)題,無(wú)限長(zhǎng)的自由振動(dòng) 端點(diǎn)的反射 半無(wú)限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng) 半無(wú)限長(zhǎng)桿

2、的自由振動(dòng) 3.定解問(wèn)題的整體性(除上述兩種類型外的數(shù)學(xué)物理方程) 4.定解問(wèn)題的適定性,滿足達(dá)朗貝爾公式,延拓,利用達(dá)朗貝爾公式,5,一. 無(wú)界弦的自由振動(dòng) 1. 無(wú)界弦的自由振動(dòng) (1)無(wú)界弦的含義：無(wú)界弦不是指無(wú)限長(zhǎng)的弦，是指所關(guān) 心的那一段弦遠(yuǎn)離兩端，在所討論的時(shí)間內(nèi)，弦兩端的影響來(lái)不及傳到這段弦上，因而認(rèn)為弦的兩端在無(wú)限遠(yuǎn)，就不必給弦的兩端提出邊界條件。 定解問(wèn)題 初值問(wèn)題 (2)自由振動(dòng)：弦不受強(qiáng)迫力的作用，振動(dòng)是自由的,方程是齊次的,6,定解問(wèn)題：,2. 求無(wú)界弦的自由振動(dòng)方程 求偏微分方程的通解 分析范定方程的形式, 為表示的簡(jiǎn)化對(duì)稱做變量代換:,得方程的通解,通解的物理意義:

3、 正行波, 反行波,7,利用定解條件來(lái)確定函數(shù),由初始條件得,解得,達(dá)朗貝爾公式,8,例一.求解初值問(wèn)題,9,討論：達(dá)朗貝爾解的物理意義 I.只有初始位移時(shí):,代表以速度a沿x軸正向傳播的波 代表以速度a沿x軸負(fù)向傳播的波,II.只有初始速度時(shí)：,令 ,則,結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿x軸正、反向傳播的兩列波的疊加。,10,練習(xí): 初位移,11,二. 端點(diǎn)的反射 1. 半無(wú)界弦的自由振動(dòng),半無(wú)界的弦只有一個(gè)端點(diǎn),設(shè)端點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),定解問(wèn)題:,分析: 端點(diǎn)固定。不能直接應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式，擴(kuò)大定義， 考慮端點(diǎn)固定，作奇延拓,12,由達(dá)朗貝爾公式得到解，其中x0的部分即所討論問(wèn)題的解。,13,在初速為0的情況下， 如右圖所示,右半邊實(shí)線:左右兩方向移動(dòng) 的波,左半邊細(xì)線:其奇延拓,端點(diǎn)的影響表現(xiàn)為反射波 反射波的相位跟入射波相反,形成半波損失,14,2. 半無(wú)限長(zhǎng)桿的自由振動(dòng) 桿的端點(diǎn)自由,定解問(wèn)題:,分析: 端點(diǎn)自由。不能直接應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式，擴(kuò)大定義， 考慮端點(diǎn)自由，作偶延拓,15,由達(dá)朗貝爾公式得到解，其中x0的部分即所討論問(wèn)題的解。,16,三. 一般情況下的數(shù)學(xué)物理方程 一般情況下，無(wú)法像對(duì)無(wú)限長(zhǎng)弦那樣，先求通解，然后用定解條件求特解。,定解問(wèn)題的整體性 物理問(wèn)題 數(shù)學(xué)問(wèn)題,定解問(wèn)題是一個(gè)整體,四 . 定解問(wèn)題的適定性 如定解問(wèn)題滿足 (1) 有解