1、總復習一、 有效數(shù)字與誤差界（1）兩數(shù)和、差、積的絕對誤差與相對誤差公式如下：+，+，+（2）函數(shù)值的相對誤差公式對一元函數(shù)，若有絕對誤差，則有絕對誤差 =，從而相對誤差為：=例1 設=1.21，=3.65，=9.81均為有效數(shù)字，試求-，+，+的相對誤差.解：因，均為有效數(shù)字，故，=，=，=從而=0.4098=0.1022+，+=0.1054例2 設計算球體積允許其相對誤差限為1，問測量球半徑的相對誤差限最大為多少？解：記球的半徑為，體積為，則 1.由公式：=，得到=31=0.33.二、 線性方程組的追趕法及迭代的收斂性1. 追趕法對一個三對角矩陣（階）=如果我們要將它分解成一個單位下三角陣

2、與一個上三角矩陣的積，即 =則系數(shù)滿足如下關系：=，=；=；=-；=；=-例3 用追趕法求解線性方程組，并寫出矩陣L和U.解：設，=，=，=因=2，=-1，由追趕法得 =-1，=2，=，=-=2-=，=-=2-=即 =，=由=由=2. 關于迭代的收斂性問題對迭代格式 則（1）上述迭代格式產(chǎn)生的向量序列收斂于方程組的精確解的充要條件是迭代矩陣的譜半徑利用性質，可以得到收斂的一個充分條件是：（2） 若有，則由上述迭代格式產(chǎn)生的向量序列收斂于方程組的精確解且有誤差估計式：及記，上式可以寫成 或者從中可以求出滿足一定精度所需的迭代次數(shù).例4 設表示線性方程組精確解，現(xiàn)用迭代格式進行求解，其中，記誤差向

3、量，如果要求計算精度達到，試估計大約需要進行多少次迭代.解：要使，因及 將近似地用譜半徑代替則如果，那么.由得到 算得70.即至少需要70次迭代才能滿足要求.例5 設有線性方程組試證明：在迭代求解時，用迭代發(fā)散，而用迭代收斂。解： 因 =，=，=，=所以，迭代矩陣為=迭代矩陣為=由，得到特征值為：，由，得到特征值為：，所以，迭代發(fā)散，迭代收斂。 注意：在具體計算時，為了方便可以用計算迭代的特征值，用計算迭代的特征值。 本例中，即 即三、 分段插值（三次樣條插值）1.插值多項式例6 設給定數(shù)據(jù)x11.502f(x)1.502.501.005.50(1) 作出函數(shù)f(x)的均差表；(2) 寫出牛頓

4、3次插值多項式.解：（1） 011.521.00 =0.50 =1.00 =1.501.50 =2.00 =4.002.50 =6.005.50（2）=1+ =1+2.三次樣條插值例7 對于給定的插值條件 0 1 2 3 0 1 1 0求出滿足邊界條件，的三次樣條插值函數(shù).解：記，；，計算二階差商： 0 0 1 1 1 0 2 1 -1 3 0 注意到：=，所以 =（=）=（=）=6=，=6=.所以，關于，的方程組為：=下面用三對角方程的追趕法求解。四、 代數(shù)精度例8 求積公式 +已知其余項的表達式為=，.試確定系數(shù)，使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并給出該求積公式的余項和代數(shù)精度的次數(shù).

5、解： 當=1時，=1 +=1當=時，= +=當=時，= =代入求得：=，=，=，從而 +，且求積公式的代數(shù)精度至少為2，能否更高有待驗證.為此取當=時，=，而+=說明當=時不能使求積公式準確成立，因而該公式只有2次代數(shù)精度.下面考慮余項，設 =+將=代入，得到 =+3！ =，即余項為=，.五、 數(shù)值微分例9 下表給出了函數(shù)在各點的值： 0.880 0.7707389 0.900 0.7833269 0.922 0.7968117 0.885 0.7739150 0.905 0.7864252 0.925 0.7986208 0.889 0.7764419 0.910 0.7895037 0.9

6、40 0.8075581 0.890 0.7770717 0.911 0.7901171 0.950 0.8134155 0.895 0.7802091 0.920 0.7956016 假設=0.62160997，試（1） 分別就步長=0.01，0.02利用三點公式及計算，并對計算截斷誤差，結果列于表中.（2） 利用公式=（=0.0000005）選擇最優(yōu)步長，計算，并比較結果.（3） 利用中心差商公式就步長=0.02運用外推法外推二次計算，比較結果.解：（1）步長=0.01，0.02時的計算結果列于下表： （2）當=0.0000005時，由=，可以算得最優(yōu)步長為 =0.011 利用上面兩個公式計算的結果見表格.（1）（2）=0.01=0.02=0.0110.6251250.62214 0.6215996 0.6215675 0.621546 計算表明：中心差商公式的精度明顯三點公式；最優(yōu)步長的選擇與精度有關，對中心差商公式要得到較好的計算步長，必須進一步提高計算精度.如取=0.00000005=0.5，則可算得最優(yōu)步長為=0.011，且可算得=0.621607，誤差為：（3）記=，由上面算得=0.6215675，=0.6215996，=0.6215675，=0.6215996，=0.6216103，誤差：=.計算表明外推一次精度明顯提高使結果具有6位有效數(shù)字.六