1、高一數(shù)學(xué)講義 10.1 不等式課題1：不等式基礎(chǔ)知識一、不等式的性質(zhì)：1、同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；2、 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）；3、左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若，則或；4、若，則；若，則。如（1）對于實數(shù)中，給出下列命題：； ； ； ； ，則。其中正確的命題是_；（2）已知，則的取值范圍是_；（3）已知，且則的取值范圍是_二、不等式大小比較的常用方法：1作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；2作商（常用于分

2、數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函數(shù)的單調(diào)性；7尋找中間量或放縮法 ；8圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如：設(shè)，試比較的大??；3、 利用重要不等式求函數(shù)最值時， 17字方針：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”。 如（1）下列命題中正確的是A、的最小值是2 B、的最小值是2C、的最大值是 D、的最小值是 （2）若，則的最小值是_；（3）正數(shù)滿足，則的最小值為_；4.常用不等式有：（1）(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選用) ；（2）a、b、cR，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）；（3）若，則（糖水的濃度問題）。如如果正數(shù)、滿足，則的取值范圍是_5

3、 證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是： 作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。).常用的放縮技巧有：如（1）已知，求證： ；(2) 已知，求證：；（3） 已知，且，求證：；(4) 若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：；(5) 若，求證：；(6) 已知，求證：； (7) 求證：。六簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫

4、出不等式的解集。如（1）解不等式；（2）不等式的解集是_；（3）設(shè)函數(shù)、的定義域都是R，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為_；（4）要使?jié)M足關(guān)于的不等式（解集非空）的每一個的值至少滿足不等式中的一個，則實數(shù)的取值范圍是_.7 分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并 分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。 解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。如（1）解不等式；（2）關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_.八絕對值不等式的解法：1分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：如解不等式；2.利用絕對值

5、的定義；3.數(shù)形結(jié)合；如解不等式4.兩邊平方：如若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_。九含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集. 如解不等式十一含絕對值不等式的性質(zhì)：同號或有；異號或有.如設(shè)，實數(shù)滿足，求證：12 不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式 （常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）1).恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價

6、于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上如（1）若不等式對的所有實數(shù)都成立，求的取值范圍（2）不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍_（3） 若不等式對滿足的所有都成立，則的取值范圍_（4） 若不等式對于任意正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_（5） 若不等式對的所有實數(shù)都成立，求的取值范圍.2). 能成立問題若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上的.如已知不等式在實數(shù)集上的解集不是空集，求實數(shù)的取值范圍_3) . 恰成立問題若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為；若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為.

7、課題2：基本不等式及其應(yīng)用一、基本不等式1、（1）若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）2、 (1)若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）(3)若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）3、若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）; 若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”） 若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）4、若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）5、若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）注意：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定值時，可以求它們的和的最小值；當(dāng)兩個正數(shù)的和為定值時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比較大小、求變量

8、的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面 有廣泛的應(yīng)用二、基本不等式的應(yīng)用應(yīng)用一：1、求值域或最大、最小值問題例1、求下列函數(shù)的值域（1）y3x 2 （2）yx例2、已知，求函數(shù)的最大值。例3、 當(dāng)時，求的最大值。變式：設(shè)，求函數(shù)的最大值。例4、 求的值域。例5、求函數(shù)的值域。變式：求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x 的值.（1）（2） (3) 2、已知，求函數(shù)的最大值.；3、已知：，求函數(shù)的最大值.2、條件求最值問題例6、若實數(shù)滿足，則的最小值是 .例7、已知，且，求的最小值。變式：（1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值例8、已知x，y為正實數(shù)，且x 21，求x的最大值.例9、

9、已知a，b為正實數(shù)，2baba30，求函數(shù)y的最小值.變式：1、已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2、若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。例10、已知x，y為正實數(shù)，3x2y10，求函數(shù)W的最值.變式: 求函數(shù)的最大值。應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式例11、已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證：例12、正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc例13、已知a、b、c，且。求證：應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問題例14、已知且，求使不等式恒成立的實數(shù)的取值范圍。應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：例15、若，則的大小關(guān)系是 .課題3: 運用均值不等式的幾種方法一、

10、拼湊定和：通過因式分解、納入根號內(nèi)、升冪等手段，變?yōu)椤胺e”的形式，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點，均分系數(shù)，拼湊定和，求積的最大值。例、已知，求函數(shù)的最大值。例2、 求函數(shù)的最大值。例3、已知，求函數(shù)的最大值。二、拼湊定積：通過裂項、分子常數(shù)化、有理代換等手段，變?yōu)椤昂汀钡男问?，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點，配項湊定積，創(chuàng)造運用均值不等式的條件例3、設(shè)，求函數(shù)的最小值。例4、已知，求函數(shù)的最大值。例5、已知，求函數(shù)的最小值。三、拼湊常數(shù)降冪例6、若，求證：。例7、若，求的最大值。例8、已知，求證：。四、拼湊常數(shù)升冪例9、若，且，求證。例10、若，求證：。五、約分配湊：通過“1”變換或

11、添項進行拼湊，使分母能約去或分子能降次。例11、已知，求的最小值。 例12、已知，求函數(shù)的最小值。例13、若，求證。六、引入?yún)?shù)拼湊 某些復(fù)雜的問題難以觀察出匹配的系數(shù)，但利用“等”與“定”的條件，建立方程組，解地待定系數(shù)，可開辟解題捷徑。例14、已知，且，求的最小值。七、引入對偶式拼湊： 根據(jù)已知不等式的結(jié)構(gòu)，給不等式的一端匹配一個與之對偶的式子，然后一起參與運算，創(chuàng)造運用均值不等式的條件。例18、設(shè)為互不相等的正整數(shù)，求證。八、確立主元拼湊：在解答多元問題時，如果不分主次來研究，問題很難解決；如果根據(jù)具體條件和解題需要，確立主元，減少變元個數(shù)，恰當(dāng)拼湊，可創(chuàng)造性地使用均值不等式。例19、在中，證明。課后作業(yè)1、已知，且滿足，則xy的最大值為 _。2、設(shè)，則的最小值是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）43、已知x0，y0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是（ ）A. 3 B. 4 C. D. 4、將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平